□羅永軍

教材是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體，它的編寫依據(jù)是國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，因此，研究課程標(biāo)準(zhǔn)與教材中數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的相關(guān)內(nèi)容就顯得非常有價值。本文試圖從數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的角度，對中美兩國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及教材做出分析與比較。

一、課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有哪些

在我國，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是由國家教育行政部門制定和頒發(fā)的,具有很強(qiáng)的規(guī)范性和指導(dǎo)性，當(dāng)下使用的是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱中國課標(biāo)）。而在美國，課程標(biāo)準(zhǔn)由各州自行組織制定，這樣做的優(yōu)點是靈活度較大，缺點是較難保證普遍的高質(zhì)量，因此美國當(dāng)?shù)匾恢毕Ｍ苡腥珖y(tǒng)一的課程標(biāo)準(zhǔn)。2010 年面向全美的《跨州共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（Common Core State Standards For Mathematics）》（以下簡稱CCSS 課標(biāo)）應(yīng)運而生。

就CCSS課標(biāo)來說，第一部分就是“實踐標(biāo)準(zhǔn)”，也可直接譯為數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它置于“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”之前，每一項都用“精通數(shù)學(xué)的學(xué)生能/會/表現(xiàn)出……”這樣的句式提出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與結(jié)果，共有8項。

中國課標(biāo)雖然沒有直接說明什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但有10 個核心詞，其中8 個和數(shù)學(xué)素養(yǎng)直接相關(guān)，另外2個分別是“應(yīng)用意識”和“創(chuàng)新意識”，作為基礎(chǔ)素養(yǎng)貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如表1所示。這些核心詞與“四基四能”以及之后提出的“三會”構(gòu)成了數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的整體。

表1 中美數(shù)學(xué)課標(biāo)中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)概覽

對比之后，我們可以發(fā)現(xiàn)中美兩國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都非常重視“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)模型”等素養(yǎng)的培養(yǎng)。以“模型思想”為例，兩國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)學(xué)模型”的描述基本一致，即從現(xiàn)實問題抽象出數(shù)學(xué)問題，求解后還原到現(xiàn)實問題中去進(jìn)行驗證與調(diào)整的建模過程。不同的是，中國課標(biāo)采用了內(nèi)涵描述的方法，CCSS 課標(biāo)則給出了學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)具有的行為描述：精通數(shù)學(xué)的學(xué)生可以運用他們掌握的數(shù)學(xué)來解決日常生活、社會和工作場所中出現(xiàn)的問題。在早期，這可能如列個加法等式來描述一個情境一樣簡單。在中年級，學(xué)生可以運用比例推理來計劃學(xué)校活動或分析社區(qū)中的問題。在高年級，學(xué)生可能會使用幾何來解決設(shè)計問題或使用函數(shù)來描述一個數(shù)量如何決定另外一個量，等等。雖然兩者實質(zhì)相同，但如果能知道學(xué)生行為的具體描述，則對于教師教學(xué)的指導(dǎo)性會更強(qiáng)。

二、教材中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)如何落地

（一）把數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為教材編排主線

教材是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要落腳點。中國課標(biāo)在“實施建議”中明確提出了教材編寫建議：“教材的整體設(shè)計要體現(xiàn)內(nèi)容領(lǐng)域的核心。本標(biāo)準(zhǔn)在設(shè)計思路中提出了幾個核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，它們是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心，也是教材的主線。因此，教材應(yīng)當(dāng)圍繞這些核心內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計和編排?！敝袊n標(biāo)對教材編寫提出了直接而又明確的要求，那么具體是如何體現(xiàn)的呢？在本文中我們選取了使用較廣的人民教育出版社出版的《數(shù)學(xué)》（以下簡稱人教版）教材來分析。

CCSS課標(biāo)雖然沒有對教材的編寫進(jìn)行直接規(guī)定，但教材的出版也是需要通過州的課程委員會/教材審定委員會的審核，然后公開展示接受公眾評價，修訂之后才能被推薦給州的教育行政機(jī)構(gòu)，最后再推薦給學(xué)區(qū)或?qū)W校，由學(xué)校決定選用。通過CCSS 課標(biāo)審核的教材在封面上都醒目地印刷著“CCSS”標(biāo)志。我們選用的教材是My Math（以下簡稱MM版），主要原因是這套教材的前身是《加州數(shù)學(xué)：概念、技能和問題解決》，有較大影響。此套教材內(nèi)容豐富、形式活潑，科學(xué)性和可操作性都較強(qiáng)，國內(nèi)的不少國際學(xué)校都選用過這套教材。

（二）數(shù)學(xué)素養(yǎng)在教材中的普遍滲透和專題編排

數(shù)學(xué)素養(yǎng)在這兩版教材中都是通過普遍滲透和專題編排來體現(xiàn)的。普遍滲透是指教材在編排小學(xué)數(shù)學(xué)知識的同時把素養(yǎng)嵌入呈現(xiàn)過程和呈現(xiàn)方式中，讓教材從重視羅列知識的前后編排，變?yōu)椴坏⒅刂R體系，而且重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)生長的過程。專題編排是指通過編排專門的主題來突出某一數(shù)學(xué)思想方法，如人教版教材中專設(shè)了“數(shù)學(xué)樂園”內(nèi)容，編排了雞兔同籠、植樹問題等專題來發(fā)展模型思想、幾何直觀等素養(yǎng)。MM版教材則專設(shè)了“Problem-Solving Investigation”專題，以此來發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀等素養(yǎng)。

1.通過情境設(shè)置來滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng)

問題情境在兩版教材中都是經(jīng)過精心挑選的，主要有個人情境、教育情境、職業(yè)情境、公共情境和科學(xué)情境等，體現(xiàn)了與學(xué)生的生活現(xiàn)實、數(shù)學(xué)現(xiàn)實、其他學(xué)科現(xiàn)實的聯(lián)系。

以“單位分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”為例，兩版教材都將這一內(nèi)容安排在三年級學(xué)習(xí)。人教版教材以“秋游分享食品”為主題情境，如圖1所示，抽取其中的分月餅情境來引入學(xué)習(xí)。類似的，MM版教材出示了分燕麥棒的問題情境，如圖2所示。

圖1

圖2

兩版教材都是從認(rèn)識單位分?jǐn)?shù)開始引導(dǎo)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，分別結(jié)合了生活實例和生活經(jīng)驗“平分”“一半”以抽象出等分?jǐn)?shù)的讀法、寫法、意義以及解決相關(guān)的問題。這實際上是讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀—抽象—直觀”的閉環(huán)過程，即首先從生活現(xiàn)實引出具體的數(shù)學(xué)實例，然后對實例進(jìn)行豐富與拓展，進(jìn)而抽象出概念定義（MM 版教材都會給出一個通俗的定義），再把數(shù)學(xué)對象返回到現(xiàn)實情境中。像這樣從現(xiàn)實情境出發(fā)再回到現(xiàn)實情境的編排方式，用于教材中每一個知識點的學(xué)習(xí)，學(xué)生一次又一次地經(jīng)歷“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界（抽象），用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界（推理），用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實世界（建模）”，潛移默化地提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在情境的創(chuàng)設(shè)方面，人教版教材采用單元主題情境形成知識鏈的編排方法。MM 版教材沒有主題情境，各個知識點嵌入的情境也不盡相同，不過在每個單元的前幾頁都有與本單元相關(guān)的已學(xué)數(shù)學(xué)詞匯、將要掌握的數(shù)學(xué)詞匯、使用建議、本單元涉及的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等說明，清晰醒目，值得參考。

2.通過多元表征來豐富數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在具體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對象和方法時，兩版教材都十分注重通過多元表征來建構(gòu)相關(guān)概念、關(guān)系和算法，在意義理解中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在表征方式上兩版教材也有諸多相似之處。

如“數(shù)的認(rèn)識”這一內(nèi)容，常用表征方式有：具體的實物如食物、動物、植物等學(xué)生在生活中常見的物品；半具體半抽象的立方體、正方形；進(jìn)一步抽象的方格圖、點子圖；抽象形式化的數(shù)。以“6 和7的認(rèn)識”為例，人教版教材引入了：①小朋友的人數(shù)；②比5多1的點子圖；③小棒，搭建多邊形；④計數(shù)器，撥算珠；⑤直尺，找刻度；⑤在比較大小中認(rèn)識數(shù)。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行問題解決“魚缸中的魚有幾條”，從基數(shù)和序數(shù)兩方面促進(jìn)學(xué)生對6和7的認(rèn)識，多維度地提升數(shù)感。

圖3

MM 版教材中“6 和7 的認(rèn)識”這一內(nèi)容是安排在Kindergarten（相當(dāng)于學(xué)前班，但正常上課）進(jìn)行學(xué)習(xí)的，學(xué)習(xí)對象為5周歲兒童?？紤]到學(xué)生的年齡特點，教學(xué)時主要通過實物表征來幫助學(xué)生認(rèn)識，表征方式比較單一。值得注意的是，MM 版教材編排了整整6 頁來讓學(xué)生“數(shù)一數(shù)，畫一畫”，數(shù)的東西有水果、食物、日常用品等生活中常見的物品。

教材在給出表征方式的同時實際上也推薦了學(xué)習(xí)路徑。人教版教材提供的學(xué)習(xí)路徑是：①一個一個地數(shù)，數(shù)人數(shù)；②以5 為基數(shù)認(rèn)數(shù)，數(shù)點子、搭小棒、撥算珠；③比大小，點子圖，看直尺圖（數(shù)軸）；④問題解決，理解數(shù)的基數(shù)與序數(shù)屬性。教材期望通過這一系列的學(xué)習(xí)活動達(dá)成學(xué)生對數(shù)的意義的理解，提升數(shù)感。相較于人教版教材提供的豐富活動，MM 版教材提供的學(xué)習(xí)路徑只有“數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）—畫數(shù)”。筆者見到外教同事就是這么簡簡單單地教學(xué)，就同一表征方式讓學(xué)生充分地活動,學(xué)生在整節(jié)課中的主要活動就是“數(shù)數(shù)”和“涂色塊”，如圖4所示，學(xué)得不亦樂乎。

圖4

除了以上舉的例子，教材提供的表征方式還有很多，如在培養(yǎng)運算能力時，教材常常呈現(xiàn)小方塊、數(shù)棒（以十為單位，以百為單位）、數(shù)表等，在培養(yǎng)空間觀念、邏輯推理等素養(yǎng)時，教材常常呈現(xiàn)線段圖、面積圖、方格圖等，這些都為發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了很好的教學(xué)路徑支持。

3.通過設(shè)置數(shù)學(xué)專題來促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展

教材在安排各個知識點的學(xué)習(xí)時普遍滲透的方法還有很多，如學(xué)習(xí)方式的普遍提示，在中美教材中都會給出動手操作、獨立思考（MM 版教材專設(shè)一個欄目Independent Practice）、同伴交流、合作分享等提示，期望學(xué)生能積累充分的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而生成感悟、提升素養(yǎng)。除普遍滲透外，兩版教材都設(shè)置了專題學(xué)習(xí)來促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展。

人教版教材從二年級開始設(shè)置“數(shù)學(xué)廣角”，小學(xué)階段這一板塊共設(shè)有例題22個。這些專題的重點不在于學(xué)習(xí)新知識，而主要是利用直觀操作等手段來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行專門的數(shù)學(xué)思想方法感悟。這些專題內(nèi)容中有19個例題是針對專門的數(shù)學(xué)思想的，如植樹問題的模型思想、鴿巢問題的抽屜原理、烙餅問題中的同余和策略優(yōu)化、田忌賽馬和沏茶問題中的運籌優(yōu)化、找次品中的優(yōu)化和推理、搭配中的排列組合、雞兔同籠中的枚舉假設(shè)等。另外3個是普適的數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)：二年級下冊的有序思考、推理，三年級上冊的集合，六年級上冊的數(shù)與形等。

MM 版教材從學(xué)前開始就在每個單元中設(shè)置“Problem-Solving Investigation”專題。和人教版教材不同的是，這個專題主要是學(xué)習(xí)思維策略（Strategy），如畫格子、制作表格等，都是普適性的思想方法。MM 版教材中每冊的問題解決策略種類并不多，大部分是重復(fù)使用，如表2 所示。教材提供了不同的問題情境讓學(xué)生不斷地重復(fù)學(xué)習(xí)與運用這些策略，從而達(dá)到熟練掌握的程度。到了高年級，教材還安排了對同一問題使用不同策略的比較，讓學(xué)生進(jìn)一步體會策略之間的區(qū)別與聯(lián)系。重視思維策略在解決現(xiàn)實問題中的應(yīng)用，以此提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這是MM版教材的一大特色。

表2 MM版教材中問題解決策略概覽

綜上所述，中美教材的編排都相當(dāng)重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以說是知識點全滲透，策略方法再強(qiáng)化，覆蓋了所有的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（三）重視思維的程序與步驟，促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展

除了知識點的學(xué)習(xí)外，問題解決也受到了中美教材的重視。人教版教材不僅在單元主題中、問題情境中以“你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)學(xué)問題”“你能提出數(shù)學(xué)問題并解答嗎”“你還能提出什么數(shù)學(xué)問題”等方式培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，更是從一年級上冊開始就讓學(xué)生學(xué)習(xí)并體會解決一個數(shù)學(xué)問題所要經(jīng)歷的步驟。類似的，MM版教材也處處讓學(xué)生體會問題解決的一般步驟，不斷重復(fù)，形成素養(yǎng)。

以小學(xué)高年級重點內(nèi)容“分?jǐn)?shù)乘除應(yīng)用問題”為例，人教版教材將此編排在六年級上冊，“分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題”被分為兩個階段學(xué)習(xí)：第一階段是結(jié)合分?jǐn)?shù)乘除的運算嵌入一步計算的簡單應(yīng)用，第二階段是專題學(xué)習(xí)，教材為此專門設(shè)置了“問題解決”課型。這一階段，學(xué)習(xí)目標(biāo)從“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”。如果僅僅是“解題”，那么學(xué)生只要學(xué)會“找類型，抓特征”就可以了。解題能不能成功，就看技巧有沒有掌握。學(xué)生在解題時不需要看背景理解題意，只要找到句子中“占”“是”后面的單位1，如果單位1的數(shù)量在條件中已知就用乘法，如果未知則用除法，這套方法快捷便利。不過，這樣的機(jī)械解題方式時間一長就容易被學(xué)生忘記，還有可能熟能生“笨”，很難生成素養(yǎng)。

教材設(shè)置了問題解決，就要讓學(xué)生首先關(guān)注問題本身，然后去發(fā)現(xiàn)、梳理問題中各要素之間的聯(lián)系，進(jìn)而抽象為數(shù)學(xué)模型從而解決問題。技巧不是不重要，而是要讓學(xué)生自己悟得，如此才能生長為素養(yǎng)。那么，教材是如何編排的呢？除了上文提到的數(shù)學(xué)方法策略之外，兩版教材都特別提供了問題解決的程序和步驟，如表3所示。

表3 中美教材中有關(guān)問題解決的程序和步驟舉例

續(xù)表

從上表中我們可以看到，中美教材中的四個步驟基本相同，都是借鑒了波利亞的解題步驟。整個步驟從理解題意、擬訂計劃、分析解答再把結(jié)果放回問題中檢查，形成了一個閉環(huán)。人教版教材對傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)都作了如此改編，MM版教材則在整個小學(xué)階段的每一單元末放置這項專題，不斷重復(fù)。

解決問題的程序和步驟看上去不起眼，為什么中美教材都這么重視？一方面它是讓學(xué)生更關(guān)注問題本身，而不是去借用“記題型”“套題型”的思維腳手架；另一方面是希望學(xué)生能借此形成一種理性思維習(xí)慣，以應(yīng)用在除數(shù)學(xué)之外更廣闊的場景中，成為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

綜上，教材把素養(yǎng)發(fā)展作為編排的出發(fā)點和重要目標(biāo)，處處滲透，時時著墨，下了很多功夫。特色編排之處還有很多，本文只是選取了其中的一些角度進(jìn)行透視，目的在于探討教材對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的促進(jìn)之處，蜻蜓點水，難免有諸多不當(dāng)之處，權(quán)當(dāng)拋磚引玉，希望能得到更多的討論。