山東省汶上縣劉樓鎮(zhèn)中學(xué) 李瑩瑩

由認(rèn)識(shí)到一些事物的某種屬性，特別是本質(zhì)的屬性，推廣到認(rèn)識(shí)同類事物的共同屬性，這種形成概念的一種思維過(guò)程和方法叫作概括。

從以上敘述中，我們發(fā)現(xiàn)概括與歸納有某些相同之處，都是從特殊認(rèn)識(shí)一般的思想方法，但不完全如此，二者有本質(zhì)的區(qū)別。

首先，概括是對(duì)事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)概念都是在抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括而獲得的。比如把兩條直線相交所成的一類角進(jìn)行抽象，揭示其本質(zhì)：兩個(gè)角的邊互為反向延長(zhǎng)線，叫作這兩個(gè)角互為對(duì)頂角，并且得出對(duì)頂角相等的性質(zhì)。數(shù)學(xué)概念都源于概括，如整式與分式、方程、函數(shù)、全等三角形等。上課時(shí)教師請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)“多項(xiàng)式中怎樣的項(xiàng)叫同類項(xiàng)？”不是在賣關(guān)子，而是教我們學(xué)習(xí)概括。善于概括方能深刻理解所學(xué)的概念，經(jīng)過(guò)自己概括學(xué)到的概念，印象特別深刻，不容易遺忘。

其次，概括的對(duì)象包括我們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，是經(jīng)驗(yàn)的升華。善于概括方能掌握解決一類問(wèn)題的基本思路、一般方法。例如經(jīng)過(guò)角平分線上一點(diǎn)，畫角平分線的垂線，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)等腰三角形，經(jīng)歷幾次后，有的同學(xué)就學(xué)會(huì)了構(gòu)造這樣的等腰三角形輔助解題，這是通過(guò)概括才能獲得的。具有反思習(xí)慣的同學(xué)，這樣的經(jīng)驗(yàn)便會(huì)越來(lái)越多，運(yùn)用得心應(yīng)手。

最后，概括是對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的提煉。有的同學(xué)學(xué)了某一章，就能清晰地闡述這一章的主要概念、基本方法、思考策略，這也是概括。華羅庚教授形象地把學(xué)習(xí)過(guò)程比喻成“先把書讀厚，再把書讀薄”的過(guò)程，我的體會(huì)是，在消化知識(shí)階段積累越來(lái)越多，這就把書讀厚了；在理解的基礎(chǔ)上能概括出所學(xué)知識(shí)的精髓，這就把書讀薄了。有的教材每一章結(jié)束時(shí)都選編了若干填空，讓同學(xué)們回顧知識(shí)和方法，這是很有必要的，但還只停留在回顧的水平上。概括的要求更高，還得在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提煉。如果能把各章所學(xué)的一系列知識(shí)進(jìn)行概括，對(duì)知識(shí)的理解將達(dá)到更高的水平。

例如把角平分線和線段中垂線的特征，等腰三角形、等腰梯形的判定和性質(zhì)，圓的垂徑定理、切線長(zhǎng)定理等，都概括為軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)在不同圖形上的體現(xiàn)，就抓住了這些圖形的本質(zhì)，更容易理解這些知識(shí)和方法，自覺應(yīng)用。北師大的曹才翰教授甚至呼吁數(shù)學(xué)教師，與其說(shuō)要為遷移而教，不如說(shuō)要為概括而教，認(rèn)為概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心。

概括有兩種形式：感性概括和理性概括。無(wú)論是感性概括還是理性概括，揭示的都是事物的本質(zhì)屬性，所獲得的命題都是真命題，而歸納得到的結(jié)論就未必是真命題，這也是概括和歸納的重大區(qū)別之一。

例1：過(guò)點(diǎn)P 畫兩條直線，與⊙O分別相交于點(diǎn)A、B 和C、D，討論了∠APC 的度數(shù)與它們?cè)凇袿 上截得的兩弧AC 和BD 度數(shù)的關(guān)系。除了點(diǎn)P在圓上，我們把∠APC 叫作圓周角外，另兩類角分別稱為圓內(nèi)角和圓外角。請(qǐng)概括：什么樣的角叫作圓內(nèi)角？什么樣的角叫作圓外角？它們的度數(shù)與所夾弧的度數(shù)各有什么關(guān)系？

圖1

思考：觀察圖1，圓內(nèi)角的頂點(diǎn)在圓內(nèi)，是這個(gè)圓的兩條弦的交角。因此圓內(nèi)角的定義是：圓的兩條弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，這兩條弦所夾的角叫作圓內(nèi)角。（注意：圓的兩條弦相交于圓上一點(diǎn)的情況被排除）

類似地，經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)畫圓的兩條割線，這兩條割線的夾角叫作圓外角。

再把我們計(jì)算圓內(nèi)角、圓外角度數(shù)的結(jié)論概括如下：

圓內(nèi)角的度數(shù)，等于它與它的對(duì)頂角所對(duì)的兩條弧的度數(shù)之和的一半；

圓外角的度數(shù)，等于它所夾的兩弧度數(shù)之差的一半。

請(qǐng)同學(xué)們自己證明。

做這道題，要善于反思：聯(lián)系過(guò)去做過(guò)的題以及本題的分析，哪些策略具有一般性呢？這就是概括，它能指導(dǎo)我們解決類似的問(wèn)題。

（1）遇到線段倍、半關(guān)系的證明，一般要把較短線段延長(zhǎng)1 倍，或構(gòu)造較長(zhǎng)線段的一半，轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等；（2）證明兩條線段相等，如果它們不在同一個(gè)三角形內(nèi)，常要判定含被證線段的兩個(gè)三角形全等；（3）觀察對(duì)稱圖形是發(fā)現(xiàn)等線段、等角的方便途徑；（4）證明兩個(gè)角相等，常常通過(guò)它們與第三角的關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。我們?cè)S多同學(xué)常常感嘆上課聽得懂，獨(dú)立解題卻束手無(wú)策，就是因?yàn)槲覀內(nèi)鄙俳忸}之后的反思，即對(duì)解題思路缺少必要的概括，最終不能形成能力。積累經(jīng)驗(yàn)就是“把書讀厚”，概括就是“把書讀薄”。