文郝金良

整式乘法與因式分解是基本而重要的代數(shù)初步知識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算、函數(shù)等的基礎(chǔ)，在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義，同時(shí)，也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等其他學(xué)科時(shí)，不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

對(duì)于整式乘法的學(xué)習(xí)，因?yàn)橛辛苏郊訙p的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，同學(xué)們可以很容易地完成類(lèi)比和遷移，將有理數(shù)乘法的研究思路和方法，與整式乘法聯(lián)系起來(lái)，將“數(shù)”的運(yùn)算擴(kuò)充到“式”的運(yùn)算。但對(duì)于因式分解，很多同學(xué)卻難以理解。因?yàn)橐蚴椒纸獠粚儆凇笆健钡倪\(yùn)算，而是從“逆向”的角度進(jìn)行“式”的恒等變形。只有弄清因式分解的本質(zhì)，才能避免混淆。下面對(duì)常見(jiàn)錯(cuò)誤類(lèi)型進(jìn)行歸納，以幫助同學(xué)們加深理解，提高解題能力。

一、概念理解要清晰，由“和”到“積”莫模糊

例1 因式分解：

（1）（x+y）2-x2；（2）x2-4x+4。

【錯(cuò)解】（1）原式=（x+y+x）（x+y-x）

=（2x+y）y=y2+2xy。

【錯(cuò)因】因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，是由“和”到“積”的過(guò)程。由（1）可以發(fā)現(xiàn)，該同學(xué)會(huì)用平法差公式進(jìn)行因式分解，但在求得結(jié)果后，該同學(xué)又進(jìn)行了整式的計(jì)算，將“積”的形式又化為了“和”的形式。由（2）可以發(fā)現(xiàn)，該同學(xué)直接進(jìn)行了提取，但剩余的多項(xiàng)式并不是整式。這兩種錯(cuò)誤，本質(zhì)原因是對(duì)因式分解的概念不清楚。

【正解】（1）原式=（x+y+x）（x+y-x）=（2x+y）y。

（2）原式=（x-2）2。

二、公因式要找準(zhǔn)，全部提取莫漏“1”

例2 因式分解：

（1）6m2n-9mn；（2）（a+b）2-a-b。

【錯(cuò)解】（1）原式=mn（6m-9）。

（2）原式=（a+b）2-（a+b）

=（a+b）（a+b）

=（a+b）2。

【錯(cuò)因】提公因式法是最基本的，也是最重要的因式分解的方法。由（1）可以發(fā)現(xiàn)，提公因式時(shí)，對(duì)數(shù)字系數(shù)和字母應(yīng)分別進(jìn)行考慮。如果是整數(shù)系數(shù)，就應(yīng)該提最大公約數(shù)。為避免錯(cuò)誤，在學(xué)習(xí)的前期，同學(xué)們可以把公因式單獨(dú)寫(xiě)出來(lái)，以示醒目。由（2）可以發(fā)現(xiàn)，提公因式的本質(zhì)是逆用乘法分配律，所以對(duì)一項(xiàng)進(jìn)行整體提取后，還?！?”，這里一定要避免漏項(xiàng)。我們可以在因式分解完成后，按照整式乘法，把因式再乘回去，看結(jié)果是否與原式相等。如果相同就說(shuō)明沒(méi)有漏項(xiàng)，否則就漏項(xiàng)了。

【正解】（1）6m2n-9mn=3mn（2m-3）。

（2）（a+b）2-a-b=（a+b）（a+b-1）。

三、套用公式要謹(jǐn)慎，認(rèn)清a、b是前提

例3 因式分解

（2）（4a2+b2）2-16a2b2。

【錯(cuò)解】（1）原式

（2）原式=（4a2+b2）2-（4ab）2

=（4a2+b2-4ab）2=（2a-b）4。

【錯(cuò)因】對(duì)于（1），該同學(xué)可以根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解，但對(duì)于平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的運(yùn)用出現(xiàn)了錯(cuò)誤，沒(méi)有認(rèn)清多項(xiàng)式中的a、b。本題應(yīng)先轉(zhuǎn)化的形式。然后我們可以很容易發(fā)現(xiàn)，公式中的“a”，再套用公式，就不易出錯(cuò)。對(duì)于（2），該同學(xué)混淆了平方差公式與完全平方公式，錯(cuò)誤地認(rèn)為a2-b2=（a-b）2。本質(zhì)上還是對(duì)公式的理解不夠透徹，對(duì)公式的認(rèn)識(shí)僅僅停留在記憶層面，對(duì)公式的運(yùn)用僅僅停留在“臨摹”階段，沒(méi)有完全掌握公式的模型特征，更談不上主動(dòng)變形建模。

【正解】

（2）（4a2+b2）2-16a2b2=（4a2+b2）2-（4ab）2

=（4a2+b2+4ab）（4a2+b2-4ab）

=（2a+b）（22a-b）2。

四、恒等變形有技巧，分解一定要徹底

例4 因 式 分 解 ：（2）-12+12x4。

【錯(cuò)解】（1）錯(cuò)誤1：原式；錯(cuò)誤2：原式=-a2b2+4ab-4=-（ab-2）2。

（2）原式=12（x4-1）=12（x2+1）（x2-1）。

【錯(cuò)因】對(duì)于（1），錯(cuò)誤1和錯(cuò)誤2都是沒(méi)有理解因式分解的恒等變形本質(zhì)。錯(cuò)誤1直接改變了式子整體的符號(hào)；錯(cuò)誤2將式子整體擴(kuò)大了4倍。此題因式分解的難點(diǎn)在于前后有兩個(gè)“-”號(hào)，因此，可以提取因數(shù)“-1”，也可以提因數(shù)“，以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的。（2）的主要問(wèn)題是分解不徹底，因式分解的結(jié)果中含有還能再分解的因式。這種情況一般出現(xiàn)在提公因式或者利用公式完成第一步分解后。所以同學(xué)們?cè)谕瓿煞纸夂螅欢ㄒ獙?duì)結(jié)果進(jìn)行思考，看看還能否用其他方法進(jìn)行因式分解，直到不能再分解為止。

【正解】（1）解法1：原式

（2）原式=12（x4-1）

=12（x2+1）（x2-1）

=12（x2+1）（x+1）（x-1）。