李海

【摘 要】估算圓周率一直以來都是數(shù)學研究者感興趣的話題。本研究利用R語言，運用已知的數(shù)學關系，設計常用的計算機模擬思路，估算π值，以探討圓周率的多種可行性估算方法，以期啟發(fā)、訓練R語言編程思維。

【關鍵詞】R語言;實驗;圓周率

【中圖分類號】G642 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2020）04-0229-02

在小學階段學習圓的相關知識時，必然會提及圓周率，隨著進一步的學習，發(fā)現(xiàn)有關圓周率π的學習幾乎貫穿了整個受教育過程，涉及的學科和用途也是十分廣泛。π取自希臘語，表示圓的周長與直徑的比值。歷史上，許多中外數(shù)學家都試圖尋求圓周率π的近似值，而中國數(shù)學家劉徽和祖沖之采用幾何法也分別對圓周率進行過估算，得出圓周率π的估計值，并一步一步將精確位數(shù)提升。2019年3月，谷歌利用現(xiàn)有計算機技術將圓周率精確到小數(shù)點后31.4萬億位。當然也有很多民間數(shù)學愛好者借助計算機軟件技術來估算圓周率值，唐永鴿[1]用office辦公軟件excel、程登彪[2]和周輝[3]則利用數(shù)學軟件mathematica分別對圓周率進行估算。

R語言作為一個自由、免費、源代碼開放的軟件，是一個用于科學繪圖和統(tǒng)計計算的優(yōu)秀工具[4]。該軟件將數(shù)學思維與計算機程序設計重要思想完美結合。采用R語言軟件，根據(jù)不同數(shù)學估算公式估計圓周率的值，最終以圖形的方式呈現(xiàn)。

1 ? 估算方法

1.1 ?“劃分網(wǎng)格”估算法

“劃分網(wǎng)格”估算法：此方法類似著名的蒙特卡羅法，不同的是將正方形分成n2個小正方形，統(tǒng)計落在內接圓內的小正方形個數(shù)占所有正方形的比例，利用四分之一個圓來研究，看落入其中的小正方形有多少個，并計算概率，再用概率反推π的值，即π=4N/n2（N表示落入單位圓內小正方形的個數(shù)），如圖1所示。

通過計算機模擬，運行下列程序：

mianji=function（n）{

kk=matrix（0，n，n）

o=1/n

for（x in 1：n）{

for（y in 1：n）{

zb=c（x*o，y*o）

kk[x，y]=ifelse（sqrt（sum（zb^2））<=1，1，0）

}

}

sum（apply（kk， 1， sum））/n^2*4

}

pi=rep（0，1000）

for（s in 1：1000）{

pi[s]=mianji（s）}

plot（1：1000，pi，ylim = c（2.5，4））

abline（h=3.14，col=2）

隨著n的變大，π的值越趨于穩(wěn)定，如圖2：

1.2 ?“三角形”估算法

“三角形”估算法：利用已證明的結論，任意寫兩個小于1的數(shù)（x，y），將它和1組成一個數(shù)對（x，y，1），則由x、y和1作為線段長度，能構成一個鈍角三角形的概率為P=（π-2）/4。利用計算機選取1到1000的隨機數(shù)，并計算此概率，并反推π值，即π=4P+2。通過R軟件運行如下程序：

pi=rep（0，1000）

for（s in 1：1000）{

i=rep（0，10000）

for（j in 1：10000）{

bianchang=runif（2，0，1）

i[j]=ifelse（sum（（bianchang）^2）<1&&sum（bianchang）>1，1，0）

}

pi[s]=4*mean（i）+2

}

plot（1：1000，pi，ylim = c（2.5，4））

abline（h=3.14，col=2）

模擬的π值大致分布如圖3：

1.3 ?“互質”估算法

“互質”估算法：利用數(shù)論和概率知識可知，任意兩個自然數(shù)互質的概率為P=6/π2，即π=。利用計算機選取1到1000當中的任意兩個自然數(shù)，并計算這兩個自然數(shù)互質的概率，從而進一步估算π值。通過R軟件運行如下程序：

for（j in 1：1000）{r=rep（0，1000）

for（i in 1：1000）{

r[i]=husu（sample（1：1000，2））

}

z[j]=sum（r）

pi[j]=sqrt（6*1000/z[j]）}

plot（1：1000，pi，ylim = c（2.5，4））

abline（h=3.14，col=2）

模擬的π值大致分布如圖4：

2 ? 結論

隨著社會的高速發(fā)展，計算機的普及，越來越多的數(shù)學問題都可以采用計算機解決，再加上各種軟件的產(chǎn)生，給數(shù)學愛好者帶來了很多的樂趣，更是加強了各類學科之間的融合，有利于學習者開展創(chuàng)造性的工作，促進整個科學事業(yè)的進步。利用各種計算機軟件程序將圓周率推導公式進行驗證，得到了直觀的結果，如以上三種估算方法中。若將n值增大，圖形呈現(xiàn)將會更加明顯，這是人工算法無法比擬的。因此，將數(shù)學和計算機結合的學習方法，將是培養(yǎng)學習者核心素養(yǎng)的一個重要途徑，能充分顯示“數(shù)形結合”的魅力，體現(xiàn)“實踐是檢驗真理的唯一標準”的哲學思想，更能真正體會數(shù)學之美，幫助學習者更好的學習，更快樂的學習。

【參考文獻】

[1]唐永鴿.用計算機模擬的方法估計圓周率的值[J].文理導航（中旬），2011（2）.

[2]程登彪.計算機模擬蒲豐投針試驗近似計算圓周率研究[J].福建電腦，2012（11）.

[3]周輝.關于圓周率π的幾種計算方法[J].科技致富向導，2011（5）5.

[4]薛毅等.R統(tǒng)計建模與R軟件.北京：清華大學出版社，2007.