【摘 要】本文闡述了π的精妙發(fā)現(xiàn),并利用泰勒展開式給出了π的無理性證明,旨在借助數(shù)學(xué)之美激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣。
【關(guān)鍵詞】泰勒展開式;圓周率;無理數(shù)
【中圖分類號(hào)】G642 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437(2020)04-0017-02
1 ? π的發(fā)現(xiàn)
數(shù)學(xué)中把圓的周長與直徑的比值定義為圓周率,并用希臘字母π表示。早在公元前200年,阿基米德就用迭代算法與大、小兩個(gè)方向上數(shù)值逼近的方法,理論上得到了圓的周長,給出了π的求法,稱得上是“計(jì)算數(shù)學(xué)”的鼻祖。公元263年,我國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率,他說:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣。”這提供了求圓周率π的科學(xué)方法。
但是,以上都是用近似逼近的方法求得π的數(shù)值,縱觀數(shù)學(xué)的歷史長河,會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的故事——布豐投針問題。法國數(shù)學(xué)家布豐有一天邀請(qǐng)?jiān)S多親朋好友到家做客,他先取一張白紙,在上面畫上許多條距離為的平行線鋪在桌上,然后請(qǐng)客人把一根長度為的針隨機(jī)地扔向白紙,布豐在旁邊記錄了2212次,發(fā)現(xiàn)共有704次針與平行線有交點(diǎn),而且,他還斷言,扔的次數(shù)越多,相交數(shù)與投擲數(shù)之比越接近π。這個(gè)實(shí)驗(yàn)讓人驚訝,看起來毫不相關(guān)的圓周率在投針試驗(yàn)中竟然有所體現(xiàn)[1-3]。其實(shí),這里運(yùn)用到了幾何概率的知識(shí),這是用偶然性方法來做定性計(jì)算的典型范例,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美麗與奇特。就像美國數(shù)學(xué)家維納所說:“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種。”
2 ? 預(yù)備知識(shí)
2.1 ?無理數(shù)和反證法
無理數(shù)是指不能寫作兩整數(shù)之比的數(shù)。大多用反證法,即假設(shè)它可以表示成分?jǐn)?shù),但是推出矛盾,從而證明假設(shè)不成立。
2.2 ?連分?jǐn)?shù)
步驟3:由于,1不是無理數(shù),所以不能寫為分?jǐn)?shù)形式,即不是有理數(shù),故π是無理數(shù)。
【參考文獻(xiàn)】
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.
[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.
[3]陳景潤.初等數(shù)論.1[M].北京:科學(xué)出版社,1978.
【作者簡(jiǎn)介】
耿柳(1993~),女,漢,江蘇徐州人,碩士,助教,研究方向:數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。