魏新

[摘 ?要] 經(jīng)過(guò)多年從事教育事業(yè)的摸索與實(shí)踐，筆者深深體會(huì)到：學(xué)生解題后反思習(xí)慣的養(yǎng)成，可以成為解題的一種指導(dǎo)思想，可以有效提高解題效率，可以提升學(xué)習(xí)效果，也可以發(fā)展思維品質(zhì). 在解題教學(xué)中，通過(guò)題后反思培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生反思易錯(cuò)之處，追根溯源解決學(xué)生的困惑;反思解題方法規(guī)律，實(shí)現(xiàn)在原有經(jīng)驗(yàn)中的生長(zhǎng);反思思維能力，實(shí)現(xiàn)發(fā)展性思維的拓展.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué);解題;題后反思;思維品質(zhì)

孔子云：“學(xué)而不思則罔”，此處的“罔”就是迷惑而無(wú)所得，將此名言進(jìn)行推廣和引申，則不難體會(huì)出解題后反思的意義所在了. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)解題的根本價(jià)值并不在于學(xué)生做題的數(shù)量，而在于通過(guò)解題活動(dòng)促進(jìn)知識(shí)的整合、規(guī)律的探究及思維的提升，這才是教學(xué)的價(jià)值取向. 以思維為主線的題后反思是對(duì)知識(shí)和方法的鞏固提煉，是對(duì)分析和解決問(wèn)題策略的抽象概括，是對(duì)所蘊(yùn)含的思想方法的不斷總結(jié). 因此，解題教學(xué)中教師需從思維的視角播種反思，重構(gòu)解題的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)解題的價(jià)值，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，不斷形成新方法，不斷生長(zhǎng)新經(jīng)驗(yàn)，不斷擴(kuò)展新思維.

反思易錯(cuò)之處，追根溯源解決學(xué)生的困惑

學(xué)生對(duì)問(wèn)題理解的最佳狀態(tài)就是“悟”，而悟的過(guò)程就是感悟的過(guò)程，也是反思的過(guò)程，是在不斷反思中尋求錯(cuò)因的過(guò)程，也是在追根溯源中解除困惑的過(guò)程. 這就需要教師在易錯(cuò)之處為學(xué)生創(chuàng)造更多的反思機(jī)會(huì)，在教師的有效提問(wèn)指引下，在生生互動(dòng)的相互補(bǔ)充下，找尋錯(cuò)誤的根源，助力學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

案例1 ?在講解完“負(fù)負(fù)得正”這一規(guī)則后，教師呈現(xiàn)以下例題：

計(jì)算：（-3）×（-4）=______.

生1：我得出的答案是9.

師：不對(duì)，有沒(méi)有其他結(jié)果？

生2：我算出的答案是12.

師：很好，可否給大家講解一下計(jì)算過(guò)程？

……

教學(xué)分析 ?此案例是早年筆者聽(tīng)過(guò)的一節(jié)公開(kāi)課中的一個(gè)片段. 在下課后，筆者對(duì)生1進(jìn)行了訪談，問(wèn)及答案的緣由時(shí)，生1說(shuō)：“我是將此題放在數(shù)軸上進(jìn)行思考的，也就是位于（-3）上的一點(diǎn)，需乘以（-4），則可以理解為沿著數(shù)軸相反方向移動(dòng)4次，每次移動(dòng)3格，因此可以得出答案9. ”筆者不禁為該生的思路拍手稱好，盡管他得出了一個(gè)錯(cuò)誤答案，但他的思維方向真是創(chuàng)意無(wú)限. 那么，他錯(cuò)誤的根源是什么呢？此想法的依據(jù)又是什么呢？該如何糾正呢？綜合以上分析，筆者認(rèn)為，從思維方向進(jìn)行思考，上述案例中的“錯(cuò)誤”資源是一個(gè)很有價(jià)值的教學(xué)資源. 若是在教學(xué)過(guò)程中，執(zhí)教者可以把握如此鮮活的錯(cuò)誤資源，通過(guò)以上三問(wèn)來(lái)延展學(xué)生的反思和探究，則可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考既具有橫向的寬度，又富有縱向的深度. 然而，執(zhí)教者忽略式應(yīng)對(duì)，使得原本可以引發(fā)“火熱思考”的思維之火被冷水澆滅，甚是可惜！

在七年級(jí)代數(shù)的教學(xué)中，計(jì)算問(wèn)題無(wú)疑是學(xué)生的“一道坎”，如何突破這一教學(xué)難點(diǎn)是廣大數(shù)學(xué)教師潛心探究的核心問(wèn)題. 一些教師在例題教學(xué)中巧借反思這一路徑，消除了學(xué)生的困頓，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生能力的提升.

案例2 ?在執(zhí)教“單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘除法”時(shí)，教師設(shè)計(jì)以下例題：

（1）請(qǐng)分別指出以下各式的意義：①（-2）2;②-2×2;③-2-2;④2-2.

（2）試辨析以下各式是否正確：①a2+a2=a4;②a4÷a2=a4÷2=a2;③-a3·（-a）2=（-a）3+2 =-a5;④（-a）0÷a3=0;⑤（a-2）3·a=a-2+3+1=a2.

在解題完成后，以如下問(wèn)題為載體實(shí)施反思小結(jié)：

（1）哪些方面的錯(cuò)誤是計(jì)算中時(shí)常出現(xiàn)的？

（2）這些錯(cuò)誤產(chǎn)生的根本原因是什么？

（3）如何“根除”這些錯(cuò)誤？

教學(xué)分析 ?這樣引導(dǎo)學(xué)生，既有助于學(xué)生走出錯(cuò)誤的窠臼，獲得計(jì)算能力上的提升，同時(shí)也為學(xué)生提供了基本套路上的指引. 在討論和反思中，學(xué)生充分剖析錯(cuò)誤根源，并且有針對(duì)性地給出了解決策略，這樣一來(lái)，不僅使學(xué)生明確了“病因”，明晰了修正方法，還避免了類似錯(cuò)誤的“復(fù)發(fā)”，從而為學(xué)生計(jì)算正確率和速度的提升奠定了良好的基礎(chǔ).

反思解題方法規(guī)律，實(shí)現(xiàn)在原有經(jīng)驗(yàn)中的生長(zhǎng)

在解題教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生反思多種解題的方法，在猜測(cè)、揣摩、總結(jié)、歸納和提煉中，探求最優(yōu)解法，培養(yǎng)思維的靈活性. 教師還可充分挖掘例題的延展性，有意識(shí)地設(shè)計(jì)遞進(jìn)式變式題，體現(xiàn)層次性特征，激發(fā)深度思考，拉長(zhǎng)思維鏈，增長(zhǎng)解題方法策略，拓展思維品質(zhì).

案例3 ?一等腰三角形的腰長(zhǎng)為4，底長(zhǎng)6，試求該等腰三角形的周長(zhǎng).

本題的難度較小，學(xué)生很快形成解題策略，完善解題步驟，得出結(jié)論. 筆者以變式題組訓(xùn)練來(lái)生長(zhǎng)學(xué)生的思維：

變式1 ?一等腰三角形的腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，試求該等腰三角形的底長(zhǎng).

變式2 ?一等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為6，試求出該等腰三角形的周長(zhǎng).

變式3 ?一等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，試求出該等腰三角形的周長(zhǎng). （此題通過(guò)“三角形的三邊關(guān)系”，可以得出長(zhǎng)為3的邊是底邊）

變式4 ?一等腰三角形的一腰長(zhǎng)是x，試求出該等腰三角形的底邊長(zhǎng)y的取值范圍.

變式5 ?一等腰三角形的一腰長(zhǎng)是x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)為14，請(qǐng)寫(xiě)出x與y的函數(shù)關(guān)系式，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出圖像. （相較于變式4，此變式又有了新的生長(zhǎng)，尤其是需要深入理解并合理運(yùn)用好“0

教學(xué)分析 ?上述例題中，由“三角形的三邊關(guān)系”出發(fā)，生長(zhǎng)層次性較強(qiáng)的問(wèn)題鏈，促進(jìn)思維場(chǎng)的形成. 在變式的過(guò)程中，引領(lǐng)學(xué)生從解決此類問(wèn)題的基本支架出發(fā)，從不同視角和不同路徑進(jìn)行探究，從而完善解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性. 然后，由特殊到一般變式，有助于學(xué)生思維變通性的培養(yǎng)，同時(shí)讓學(xué)生感悟到解題策略本質(zhì)的不變性.

反思思維能力，實(shí)現(xiàn)發(fā)展性思維的拓展

眾所周知，好奇是源于人們對(duì)某些問(wèn)題的關(guān)注，疑問(wèn)主要是興趣所致. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的好奇以及探求問(wèn)題、尋求方法的疑問(wèn)是學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的前提. 低階的教師一味地為學(xué)生排難解惑，而真正高明的教師則是巧妙地、不著痕跡地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)只有深入思考才能突破的思維障礙，引發(fā)學(xué)生的好奇與疑問(wèn)，讓學(xué)生時(shí)時(shí)產(chǎn)生思維沖突，而與此同時(shí)又獲得思考的快樂(lè)，從而實(shí)現(xiàn)發(fā)展性思維的拓展.

案例4 ?在執(zhí)教完“一次函數(shù)”之后，教師可設(shè)計(jì)以下例題：

一物流公司需將A、B兩種貨品運(yùn)送至某地，其中A種貨品1240噸，B種貨品880噸，現(xiàn)以一列貨車運(yùn)輸. 已知該貨車掛有甲和乙兩種規(guī)格的貨車車廂40節(jié)，使用每節(jié)甲型車廂的費(fèi)用是6000元，使用每節(jié)乙型車廂的費(fèi)用是8000元.

（1）設(shè)運(yùn)送A、B兩種貨品的總費(fèi)用是y萬(wàn)元，該貨車掛甲型車廂x節(jié)，試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）若一節(jié)甲型車廂最多可裝A種貨品15噸和B種貨品15噸，一節(jié)乙型車廂最多可裝A種貨品25噸和B種貨品35噸，那么按以上要求裝載這批貨物時(shí)，有幾種安排車廂的方案？

（3）以上幾種方案中，哪一種方案最省運(yùn)費(fèi)？最少運(yùn)費(fèi)是多少萬(wàn)元？

教學(xué)分析 ?在探究問(wèn)題（1）時(shí)，不少學(xué)生可以很快獲得解題思路，并得出答案y=-0.2x+32. 而問(wèn)題（2）中涉及的知識(shí)為“不等式組的整數(shù)解”，在親歷思考、探究、討論、計(jì)算等過(guò)程中，學(xué)生得出以下方案：①甲型24節(jié)，乙型16節(jié);②甲型25節(jié)，乙型15節(jié);③甲型26節(jié)，乙型14節(jié). 通過(guò)問(wèn)題（2）的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題（3）就輕而易舉了.

在解題過(guò)程中，學(xué)生深入認(rèn)識(shí)、透徹理解及學(xué)會(huì)反思是學(xué)好數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的保障. 反思與分析促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展性思維.

總之，在以思維活動(dòng)為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)題后反思的過(guò)程中，教師需充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到反思活動(dòng)中去，這樣的過(guò)程可以讓學(xué)生更加全面地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)、數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更加充分的認(rèn)識(shí)和理解，并且獲得各方面能力的提升.