張俊芳，周熠烜，周禮剛，肖 箭

安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230601

1 引言

自Zadeh 首次提出模糊集[1]以來(lái)，人們對(duì)其進(jìn)行了廣泛而深入的研究，并提出了一些新的模糊集，例如直覺(jué)模糊集[2]、區(qū)間直覺(jué)模糊集[3]、二型模糊集[3]等。這些研究不僅豐富和發(fā)展了模糊集的理論基礎(chǔ)，而且極大地推廣了模糊集的應(yīng)用范圍，使之能更多地解決實(shí)際問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，Yager[4-5]提出了Pythagorean 模糊集，Torra[6]提出了猶豫模糊集，這兩者均有著各自突出的優(yōu)點(diǎn)和應(yīng)用前景，文獻(xiàn)[7]將兩者結(jié)合給出了一種新的模糊集——Pythagorean 猶豫模糊集。將此二者相結(jié)合不僅擴(kuò)充了模糊集的理論基礎(chǔ)，而且對(duì)實(shí)際問(wèn)題中決策方案的選取也有非常重要的意義。

交叉熵是模糊集理論中的一個(gè)重要課題，它是度量?jī)蓚€(gè)系統(tǒng)間差異程度的重要工具。Shannon[8]首先在信息論中引入了交叉熵。Kullback 和Leibler[9]提出了一種交叉熵距離，用于度量?jī)蓚€(gè)概率分布間的距離。Bhan‐dari[10]給出了一種模糊環(huán)境下的交叉熵測(cè)度。Shang 和Jiang[11]提出了模糊交叉熵，用于度量模糊集間的差異。范建平[12]也提出了一種Pythagorean模糊環(huán)境下基于交叉熵和TOPSIS 的多準(zhǔn)則決策方法。Vlachos 和Sergia‐dis[13]引入了直覺(jué)模糊交叉熵的概念，并且將其應(yīng)用于模式識(shí)別、醫(yī)療診斷和圖像分割中。Ye[14-15]提出了一種基于直覺(jué)模糊交叉熵的多屬性模糊決策方法，并將其類(lèi)比到直覺(jué)模糊交叉熵中，引入了區(qū)間直覺(jué)模糊交叉熵的概念。在區(qū)間直覺(jué)模糊環(huán)境下，文獻(xiàn)[16]基于連續(xù)有序加權(quán)平均算子，定義了一種新的區(qū)間直覺(jué)模糊交叉熵，并提出了一種基于區(qū)間直覺(jué)模糊連續(xù)交叉熵的多屬性決策方法；文獻(xiàn)[17]考慮到從隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個(gè)參數(shù)的角度出發(fā)，給出反映這些參數(shù)的三個(gè)因子：直覺(jué)因子、模糊因子和跨度因子，基于這三個(gè)因子，提出了一種新的區(qū)間直接模糊交叉熵的公式。

多屬性群決策問(wèn)題是決策分析中的一個(gè)重要研究方向，它被廣泛應(yīng)用于解決社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和管理等眾多問(wèn)題中。TOPSIS 法是解決多屬性群決策問(wèn)題的常用方法，其宗旨是用過(guò)度量各方案與正負(fù)理想點(diǎn)間的差異來(lái)計(jì)算貼進(jìn)度，對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。文獻(xiàn)[18]中，Liang和Xu通過(guò)定義一種廣義距離公式，計(jì)算各方案與正負(fù)理想點(diǎn)之間的距離，最后選出最優(yōu)方案并通過(guò)改變參數(shù)α的值，證明方案的有效性。

目前，在Pythagorean 猶豫模糊環(huán)境下，有關(guān)交叉熵的研究還不多。首先本文給出Pythagorean 猶豫模糊交叉熵概念，并提出一種基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法。最后將新方法應(yīng)用到光伏電站選址問(wèn)題中，驗(yàn)證該決策方法的可行性和有效性。

2 基本概念

定義1[7]設(shè)X 為論域，則稱(chēng)三元組A=為Pythagorean 猶 豫 模 糊集（簡(jiǎn)記PHFS），其中MA(x),NA(x)均為[0,1]上的非空有限集合，分別表示元素x屬于A所有可能的隸屬度和所有可能非隸屬度集合，且對(duì)任意的x ∈X，滿 足

由于在Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下，決策者們對(duì)某些領(lǐng)域認(rèn)知的差異，對(duì)于他們所給出的幾個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)會(huì)出現(xiàn)隸屬度集合和非隸屬度集合長(zhǎng)度不等的情況，基于此，Liang 和Xu 采用如下擴(kuò)充方法解決上述長(zhǎng)度不等的問(wèn)題，具體如下。

定義2[18]設(shè)為決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好參數(shù)，則稱(chēng)為可添隸屬 度，為 可 添 非 隸 屬 度，其 中，，分別表示隸屬度集合Mα中 的 最 大 元 和 最 小 元；分別表示非隸屬集合Nα中的最大元和最小元。

由文獻(xiàn)[18]可知，ξ 的取值不同，可添的隸屬度和非隸屬將會(huì)隨之變化。ξ 的取值越接近1，表明決策者越樂(lè)觀；相反，ξ 的取值越接近0，表明決策者越悲觀；當(dāng)ξ=0.5時(shí)，表明決策者是中立的。

3 Pythagorean猶豫模糊交叉熵

下面定義一種Pythagorean猶豫模糊交叉熵。

定義3 設(shè)向量α=(α1,α2,…,αn)，αi均為Pythagorean猶豫模糊數(shù)，則稱(chēng)α為Pythagorean猶豫模糊向量。

（1）0 ≤CE(α,β)≤n ln 2；

（2）CE(α,β)=0當(dāng)且僅當(dāng)α=β。

4 基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的屬性權(quán)重和專(zhuān)家權(quán)重的方法

在決策者lk下，與其他決策者給出的方案評(píng)價(jià)值之間的平均交叉熵為：

根據(jù)交叉熵理論得，在決策者lk下，各屬性下方案評(píng)價(jià)值之間的交叉熵越大，該決策者給出的決策信息量就越多，決策者應(yīng)被賦予的權(quán)重lk就越大。則決策者的權(quán)重可通過(guò)以下方法確實(shí)其權(quán)重lk：

在屬性cq下，方案xp與其他所有方案的平均對(duì)稱(chēng)交叉熵為：

根據(jù)交叉熵理論得，在屬性cq下，所有方案在這一屬性下綜合對(duì)稱(chēng)交叉熵越大，則該屬性提供給決策者的信息量就越多，屬性cq應(yīng)被賦予的權(quán)重就越大。

若屬性權(quán)重wq完全未知，則可由式（6）計(jì)算屬性權(quán)重cq的權(quán)重：

若屬性權(quán)重wq部分已知，令H 表示未知權(quán)重滿足的條件集合。并構(gòu)建如下模型求解屬性權(quán)重：

5 基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法

本文運(yùn)用TOPSIS 法的思想，基于Pythagorean猶豫模糊交叉熵，提出了一種新的基于Theil 不等系數(shù)距離的多屬性群決策方法。

這里，經(jīng)定義2 規(guī)范化處理后#M=#Mα=#Mβ，#N=#Nα=#Nβ。

在Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下根據(jù)TOPSIS 原理，定義Pythagorean猶豫模糊正理想點(diǎn)（PIS）和Pythagorean猶豫模糊負(fù)理想點(diǎn)（NIS）。其原理是找出最優(yōu)方案和最差方案，及為正理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)。該方法主要是通過(guò)計(jì)算方案距離正理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)之間的距離，之后再通過(guò)計(jì)算貼進(jìn)度，對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。

方案xp與負(fù)理想點(diǎn)加權(quán)的基于Theil不等系數(shù)距離為：

其中，wq為屬性cq的權(quán)重。

方案xp的貼進(jìn)度可表示為：

貼進(jìn)度TJp越大，說(shuō)明方案xp越好。

在Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下，本文在Pythagorean猶豫模糊交叉熵以及基于Theil不等系數(shù)距離的TOPSIS法的基礎(chǔ)上提出的多屬性群決策方法具體步驟如下：

步驟1 運(yùn)用定義4 中的方法，對(duì)t 個(gè)決策者給出的決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，規(guī)范化后的矩陣為

步驟2 確定專(zhuān)家權(quán)重L=(l1,l2,…,lt)。根據(jù)專(zhuān)家們提 供 的 Pythagorean 猶 豫 模 糊 決 策 矩 陣，利用公式（2）、（3），計(jì)算專(zhuān)家權(quán)重。

步驟3 確定屬性權(quán)重W=(w1,w2,…,wn)。當(dāng)屬性權(quán)重完全未知時(shí)，利用式（6）計(jì)算屬性權(quán)重；當(dāng)屬性權(quán)重部分已知時(shí)，利用式（7）計(jì)算屬性權(quán)重。

步驟4 利用加權(quán)平均算子和式（9）、（10）計(jì)算各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)Theil不等系數(shù)距離。

步驟5 計(jì)算貼進(jìn)度。利用式（11）計(jì)算各方案的貼進(jìn)度，并對(duì)其進(jìn)行降序排列。

步驟6 排序擇優(yōu)。對(duì)方案進(jìn)行排序，并選出最優(yōu)方案。

6 案例分析

近年來(lái)，在太陽(yáng)能大規(guī)模開(kāi)發(fā)利用下，我國(guó)光伏電站建設(shè)項(xiàng)目蓬勃發(fā)展。光伏電站選址[20]是光伏電站建設(shè)的首要工作，這項(xiàng)工作將直接影響到光伏電站的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。所以在指標(biāo)選取的過(guò)程中，一要滿足光伏電站的基本要求，遵循國(guó)家產(chǎn)業(yè)政策及地區(qū)發(fā)展規(guī)劃；二要全面考慮選址相關(guān)的影響因素；三要選取重要指標(biāo)，使得選擇的指標(biāo)具有代表性?？茖W(xué)的光伏電站選址決策方法將對(duì)光伏電站的良性發(fā)展起到促進(jìn)作用。

現(xiàn)考慮一個(gè)關(guān)于光伏電站選址的多屬性群決策問(wèn)題。某公司準(zhǔn)備投資建設(shè)一光伏電站，現(xiàn)有四個(gè)地區(qū)x1,x2,x3,x4備選，現(xiàn)在三位高層（決策者）d1,d2,d3從統(tǒng)籌性、適應(yīng)性、經(jīng)濟(jì)性、環(huán)保性、高效性等原則出發(fā)，從以下三個(gè)角度（準(zhǔn)則）c1,c2,c3對(duì)這四個(gè)地區(qū)進(jìn)行評(píng)價(jià)：c1：政策條件，主要體現(xiàn)在政府的補(bǔ)貼、稅收優(yōu)惠和上網(wǎng)電價(jià)補(bǔ)助等方面；c2：建設(shè)條件，主要體現(xiàn)在開(kāi)發(fā)規(guī)模、送出條件及土地性質(zhì)等方面；c3：上網(wǎng)電量，主要體現(xiàn)在光照資源、系統(tǒng)轉(zhuǎn)換效率及限電比例等方面。設(shè)決策者的的權(quán)重向量為：L={0.3,0.5,0.2}，第k 個(gè)決策者給出的Pythagorean 猶豫模糊矩陣為R(k)(k=1,2,3)如下：

表1 計(jì)算各專(zhuān)家間的Pythagorean猶豫模糊交叉熵

步驟1 運(yùn)用定義 2 中的方法，對(duì)矩陣(k=1,2,3)作規(guī)范化處理(ξ=0.5)。

步驟2 運(yùn)用式（2）計(jì)算Pythagorean 猶豫模糊交叉熵得到表1。

步驟3 運(yùn)用式（3）計(jì)算專(zhuān)家權(quán)重得：

步驟4 運(yùn)用式（5）計(jì)算,(k=1,2,3)的Pythagorean猶豫模糊交叉熵矩陣CE(R?)3×3：

步驟5 因?qū)傩酝耆粗瑒t利用式（6）計(jì)算屬性權(quán)重得：

步驟6 利用式（9）、（10）計(jì)算方案xp與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)Theil 不等系數(shù)距離，得到表2，其中正負(fù)理想點(diǎn)分別為：

表2 各方案與正負(fù)理想點(diǎn)加權(quán)的基于Theil不等系數(shù)距離

表3 各方案的貼近度

步驟7 利用式（11）計(jì)算方案xp的貼進(jìn)度TJp，得到表3。

表4 各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)距離

步驟8 排序擇優(yōu)。

表5 各方案的貼近度

由表 3 可得，方案的貼近度排序?yàn)椋篢J3＞TJ1＞TJ4＞TJ2，說(shuō)明方案3 最優(yōu)，即應(yīng)在地區(qū)x3設(shè)立光伏電站。

下面將本文的基于Theil 不等系數(shù)的距離公式與現(xiàn)有文獻(xiàn)[18]中的距離公式進(jìn)行比較，當(dāng)α=2時(shí)，各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)距離如表4所示。

基于以上加權(quán)距離可得各方案的貼近度如表5。

由表 5 所知，方案的貼近度排序?yàn)椋篢J3＞TJ1＞TJ4＞TJ2，可得方案3 最優(yōu)，即應(yīng)在地區(qū)x3處設(shè)立光伏電站，說(shuō)明本文提到的方法是可行且有效的。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)屬性權(quán)重完全未知情況下的模糊多屬性群決策問(wèn)題，提出了一種基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法。通過(guò)應(yīng)用交叉熵對(duì)同一決策者及同一屬性下方案的Pythagorean 猶豫模糊矩陣進(jìn)行分析，得到基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的專(zhuān)家權(quán)重和屬性權(quán)重；之后結(jié)合提出的基于Theil 不等系數(shù)的距離公式，逐步對(duì)決策者給出的信息進(jìn)行集結(jié)；最后，運(yùn)用TOPSIS 法求得個(gè)各方案的貼近度，并對(duì)各個(gè)方案的最終決策結(jié)果進(jìn)行排序和擇優(yōu)。最后以光伏電站選址項(xiàng)目為背景，實(shí)例論證了本文提出的Pythag‐orean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法是可行且有效的。

未來(lái)，Pythagorean 猶豫模糊交叉熵也將被運(yùn)用到模式識(shí)別、醫(yī)療診斷、不確定性決策問(wèn)題當(dāng)中。對(duì)于Pythagorean猶豫模糊交叉熵概念的界定、計(jì)算公式的構(gòu)造方法仍有許多極具挑戰(zhàn)性的地方，如何規(guī)范Pythago‐rean 猶豫模糊交叉熵的概念，使之更符合實(shí)際意義是下一步的研究方向。在規(guī)范的Pythagorean 猶豫模糊交叉熵定義下，構(gòu)造簡(jiǎn)潔、全面并合理有效的計(jì)算公式也是今后的研究難點(diǎn)。