范建平，成 瑞，吳美琴

山西大學 經(jīng)濟與管理學院，太原030006

1 引言

為了適應(yīng)系統(tǒng)的日益復(fù)雜性，更精確地描述并表示信息，Zadeh[1]于1965 年提出了模糊集理論，而后得到廣泛關(guān)注。越來越多的學者對模糊理論進行了擴展，例如直覺模糊[2]、區(qū)間模糊集[3]、Vague 集[4]、區(qū)間直覺模糊集[5]、猶豫模糊集[6]、雙猶豫模糊集[7]、Pythagorean 模糊集[8]、中智集[9]等。其中區(qū)間模糊集理論由Turksen[3]于1986 年提出，是對模糊集理論最為重要的拓展，其用隸屬度上界和隸屬度下界兩個屬性來描述模糊信息，比原有的模糊集理論更具有靈活性。

在某些情況下，上述模糊理論無法對研究對象進行分類，有學者開始考慮軟集[10]理論。Maji等人[11]將軟集理論與模糊集理論相結(jié)合，提出了模糊軟集概念。隨后有直覺模糊軟集[12]、區(qū)間模糊軟集[13]、區(qū)間直覺模糊軟集[14]、Vague 軟集[15]、猶豫模糊軟集[16]、雙猶豫模糊軟集[17]、Pythagorean 模糊軟集[18]、中智軟集[19]等概念的提出。

上述模糊軟集理論被廣泛應(yīng)用，但是它們只能處理數(shù)據(jù)的不確定性，但是無法處理某段時間內(nèi)數(shù)據(jù)的波動性，生活中，可以經(jīng)?？吹诫S著時間的推移周期性變化的數(shù)據(jù)。為了解決適應(yīng)這種情況，Ramot 等人[20]提出了復(fù)模糊集的概念，添加了描述信息周期性變動的相位項，復(fù)模糊集的隸屬度取值不限于[0，1]，而是擴展到復(fù)平面中的單位圓，從而將隸屬度由實數(shù)擴展到復(fù)數(shù)。Alkouri 和Salleh[21]將復(fù)模糊集概念擴展到復(fù)直覺模糊集。Greenfield 等人[22-23]提出了區(qū)間復(fù)模糊集概念并隨后給出了區(qū)間復(fù)模糊集的相關(guān)運算。Selvachandran 等人[24]將區(qū)間復(fù)模糊集應(yīng)用于馬來西亞經(jīng)濟中。

隨后，上述理論逐漸發(fā)展，Selvachandran 等人[25]將復(fù)模糊集、軟集、Vague 集結(jié)合提出了復(fù)Vague 軟集及其距離測度。隨后，Selvachandran 等人[26]給出復(fù)Vague 軟集的關(guān)系。Selvachandran 等人[27]提出了區(qū)間復(fù)模糊軟集的概念。

在距離測度方面，Wang和Xin[28]提出了直覺模糊集的相似測度和距離測度。Zhang[29]提出了直覺模糊集和區(qū)間直覺模糊集的新距離測度方法。Yang和Hussain[30]基于Hausdorff 測度開發(fā)了猶豫模糊集的距離和相似性測度，并將這些測度應(yīng)用于多準則決策和聚類分析。Singh[31]提出了雙猶豫模糊情況下基于距離和相似性測度的多屬性決策。Zeng 等人[32]提出了Pythagorean 模糊集和Pythagorean 模糊數(shù)的不同距離測度。Muharrem[33]為區(qū)間直覺模糊集開發(fā)了一種新的距離測度方法，并將其應(yīng)用于具有不完全權(quán)重信息的群決策問題。Khalid和Abbas[34]提出了直覺模糊軟集和區(qū)間直覺模糊軟集的距離測度和運算。Peng 和Yang[35]提出了區(qū)間模糊軟集的信息測度。Wang 和Qu[36]提出了模糊軟集的熵，相似性測度和距離測度。

由Yoon 和Hwang[37]定義的TOPSIS 算法是一種被廣泛使用的算法。TOPSIS 法通過最大化正理想解距離和最小化負理想解距離的決策規(guī)則來選擇最佳目標。Chen[38]將TOPSIS 應(yīng)用于模糊環(huán)境。Ashtiani 等人[39]提出了基于區(qū)間模糊集的TOPSIS算法。Kumar和Garg[40]在區(qū)間直覺模糊環(huán)境下提出了基于集對分析的TOPSIS算法。Peng 和Yang[41]提出了一種基于最大化偏差法和區(qū)間猶豫模糊軟集的TOPSIS 的算法。Sun 等人[42]提出了基于猶豫模糊相關(guān)系數(shù)的TOPSIS算法并給出了相關(guān)應(yīng)用。Tan 和Zhi[43]提出了直覺猶豫模糊集環(huán)境下的TOPSIS算法。

在現(xiàn)有文獻中，沒有關(guān)于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測度的研究，并且沒有基于區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測度的TOPSIS 算法。因此，本文研究了區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測度，以及區(qū)間復(fù)模糊軟集的加法、乘法、部分隸屬度和部分非隸屬度的運算。本文還研究了區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測度的運算性質(zhì)，并給出了證明。此外，提出了基于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測度的TOPSIS 算法。最后，將這種算法應(yīng)用于經(jīng)濟分析中。

2 相關(guān)概念

定義1[3]給定論域U，A是U 上的區(qū)間值模糊集，定義為：

定義2[13]F( )

U 為給定論域U 上的冪集，E 為參數(shù)集且A ?E，F(xiàn) 是F:A →F(U )的映射，( F,A) 是U 上的區(qū)間模糊軟集，定義為：

定義3[22]給定論域U，A是U 上的區(qū)間復(fù)模糊集，定義為：

定義4[27]給定論域U，E為參數(shù)集且A ?E，F(xiàn)(U )為給定論域U 上的冪集，F(xiàn) 是F:A →F(U )的映射，( F,A)為U 上的區(qū)間復(fù)模糊軟集，定義為：

定義5[27]對于任意兩個區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A )和( G,B)，基本運算定義如下：

（1）對于任意x ∈U 滿足下列 條件，則(F,A )?( G,B)：

定義6[27]區(qū)間復(fù)模糊軟集( )

F,A 的補集定義為：( F,A)C=( FC,A)=

定義7[27]區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A )和( G,B )的交運算（并運算）得到的集合為區(qū)間復(fù)模糊軟集( H,C)，定義為：

其中，對于任意a ∈A,b ∈B,x ∈U 且C=A ?B。

定理1[27]區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A),( G,B),( H,C )的運算定義為：

（1）( F,A )∨( G,B)=( G,B )∨( F,A)

（2）( F,A )∧( G,B)=( G,B )∧( F,A)

（3）( ( F, A) ∨( G,B ))∨( H,C )=( F,A) ∨(( G,B )∨ ( H ,C))

（4）( ( F, A) ∧( G,B ))∧( H,C )=( F,A) ∧( ( G, B )∧( H,C))

定理2[27]對于任意兩個區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A),( G,B )滿足De Morgan定律：

（1）( ( F, A) ∨( G,B))C=( F,A)C∧( G,B)C

（2）( ( F, A) ∧( G,B))C=( F,A)C∨( G,B)C

3 區(qū)間復(fù)模糊軟集的運算性質(zhì)和距離測度

3.1 區(qū)間復(fù)模糊軟集的運算性質(zhì)

定義8 區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A )和( G,B )之間的加法，乘法，部分隸屬度，部分非隸屬度的運算定義如下：

定 理3 給定區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A)，2( F,A)=( F,A )⊕( F,A),3( F,A)=( F,A) ⊕( F,A )⊕( F,A) …可得：

定理4 給定區(qū)間復(fù)模糊 軟集( F,A) ，( F,A)2=( F,A )?( F,A),( F,A)3=( F,A) ?( F,A) ?( F,A )…可得：

3.2 區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測度

定義9 對于任意兩個區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,E),( G,E)之間的距離測度應(yīng)當滿足下列性質(zhì)：

（1）0 ≤ |d( ( F, E),( G,E ))|≤1。

（2）d( ( F, E),( G,E ))=0 ?( F,E )=( G,E)。

（3）d( ( F, E),( G,E ))=1 ?對 于?ei∈E,xj∈U，滿足下列條件：

情形1

情形2

情形3

且

情形4

（4）d( ( F, E),( G,E ))=d( ( G, E),( F,E))

（5）( H, E )∈IV-CFSS(U ),若( F,E )?( G,E )?( H, E), 則d( ( F, E),( H, E ))≥max(d( ( F, E),( G,E )),d( ( G, E),( H, E)))

定理5 定義10 中的距離測度是區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的有效距離測度。

證明若定義10 中的區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測度是有效距離測度，它需要滿足定義9 中的性質(zhì)（1）～（5）。 考 慮 兩 個 區(qū) 間 復(fù) 模 糊 軟 集( F,E )={F( ei)|i=1 ,2 ,… ,m },( G,E )={G (ei)|i=1,2,… ,m}則：

（1）因為

可得：

所以0 ≤ |d1( ( F, E),( G,E ))|≤1。

情形1

情形2

情形3

情形4

（5）若( F,E )?( G,E )?( H,E),則

因此

所以，d1( ( F, E),( H,E ))≥d1( ( F, E),( G,E))

同理可得，d1( ( F, E),( H,E ))≥d1( ( G, E),( H,E))

所以，d1( ( F, E),( H, E ))≥max(d1( ( F, E),( G,E )),d1( ( G, E),( H,E)))

證畢。

區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測度和區(qū)間復(fù)模糊軟集Hamming距離測度的證明同上。

定義11 對以上三種距離測度進行拓展可以得到廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測度、廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean距離測度：

同區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測度的證明相同，以上區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測度為有效距離測度。

當λ=1時，廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測度，廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集Hamming 距離測度；當λ=2時廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測度。

定 義12 假 設(shè)ei∈E 的 權(quán)重 為wi，wi∈[0,1 ],i=1,2, … ,m，則可以得到廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Hausdorff 距離測度、廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Eu‐clidean距離測度：

定義13 當定義12 中廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Hausdorff 距離測度和廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclid‐ean距離測度中λ=1時，得到區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Haus‐dorff 距離測度和區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Hamming 距離測度：

證明省略。

定義14 當定義12 中廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclidean 距離測度中λ=2時，廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclidean 距離測度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclidean距離測度：

證明省略。

3.3 距離測度的運算性質(zhì)

本文提出了多種區(qū)間復(fù)模糊的距離測度公式，下面定理只給出區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測度的證明，其他測度證明類似。

定理6(U ,E )上的區(qū)間復(fù)模糊軟集：

（1）若( F,E )=?,則d( ( F, E),( F,E)C)=1

（2）若( F,E )=1,則d( ( F, E),( F,E)C)=1

（3）若( F,E )=( F,E)C,則d( ( F, E),( F,E)C)=0

證 明（1）若 ( )F,E =?，則 對于任 意，那么：

所以對于區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff距離測度：

（2）性質(zhì)（2）的證明同性質(zhì)（1）的相同。

（3）性質(zhì)（3）顯然成立，證明省略。

定理7 區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的距離測度滿足下列性質(zhì)：

（1）d( ( F, E),( G,E)C)=d( ( F, E)C,( G,E))

（2）d( ( F, E),( G,E ))=d( ( F, E )∧( G,E),( F,E )∨( G,E))

（3）d( ( F, E),( F,E )∧( G,E ))=d( ( G, E),( F,E )∨( G,E))

（4）d( ( F, E),( F,E )∨( G,E ))=d( ( G, E),( G,E )∧( G,E))

證明

（2）性質(zhì)（2）顯然成立，證明省略。

（3）根據(jù)定義7可得：

那么

（4）性質(zhì)（4）的證明同性質(zhì)（3）相同。

定理8 區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的距離測度滿足下列性質(zhì)：

證明根據(jù)定義8可得：

所以

證畢。

同理，對于上述定義的其他區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測度，上述定理仍然成立，所以d( ( G, E),( F,E )⊕( G,E ))。

定理9( F,E )為區(qū)間復(fù)模糊軟集，可得：

證明因為

則

同理，在上述所定義的其他區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離

表1 區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,E)

4 基于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測度的TOPSIS算法

步驟1 構(gòu)建區(qū)間復(fù)模糊軟集的決策矩陣，其表示所有的決策信息，如表1所示。

步驟2 基于最大偏差法，通過以下公式確定屬性權(quán)重wi,i=1,2,… ,m：

其中，di定義為區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測度：

然后將wi標準化，得到：

步驟3 確定正理想解I+=( I1+,I2+, …,Im+)和負理想 解 I-=( I1-,I2-…, ,Im-)，其 中 Ii+( i= 1,2, …,m )是{ I( u1i),I( u2i),… ,I( uni)}中的正理想值，對成本型指標為最小值，對效益型指標為最大值。Ii-( i= 1,2,… ,m )是{ I( u1i),I( u2i), …,I( uni)}中的負理想值，對成本型指標為最大值，對效益型指標為最小值。

步驟4 本文定義計算區(qū)間復(fù)模糊軟集Ij與正理想解I+=( I1+,I2+,… ,Im+)和 負 理想 解I-=( I1-,I2-,… ,Im-)的加權(quán)Euclidean距離d10( Ij,I+)和d10( Ij,I-)：

步驟5 通過下列公式計算與正理想解的貼近度：

其中，0 ≤Cj≤1,j=1,2, ,n。

步驟6 根據(jù)計算所得的貼近度，對方案進行降序排列，確定最理想目標。

5 算例

第4 章中給出的算法可以對國家經(jīng)濟政策對省份的影響作用進行排序。本章給出一個經(jīng)濟分析算例來說明第4章中所提出的算法的可行性。

表2 區(qū)間復(fù)模糊軟集形式的M國經(jīng)濟政策對省份的影響信息

假設(shè)U={u1=A省,u2=B省,u3=C省,u4=D省,u5= E 省 }，表 示 M 國 的5 個 省 份 集 合，E={e1=政策A,e2=政 策 B,e3=政策C} 表示M 國的政策的參數(shù)集，本文運用區(qū)間復(fù)模糊數(shù)來表示經(jīng)濟政策對某一省份的影響程度。現(xiàn)在，要對M國的經(jīng)濟政策對于哪個省份影響最大，且產(chǎn)生作用周期最短進行排序，選擇綜合影響最大的省份。

步驟2 根據(jù)第4 章給出的公式計算屬性權(quán)重得w1=0.23,w2=0.22,w3=0.54。

表3 和

表3 和

d10( Ij,I-)d10( Ij,I+)u11.485 21.722 0 u21.833 71.833 7 u33.462 60.646 4 u42.598 71.304 3 u51.256 82.800 3

表4 計算所得貼近度

表5 區(qū)間模糊軟集形式的M國經(jīng)濟政策對省份的影響信息

步驟4 計算Ij與正理想解與負理 想 解的 加 權(quán)Euclidean 距 離d10( Ij,I+)和d10( Ij,I-)的結(jié)果如表3所示。

步驟5 計算貼近度，并對貼近度進行降序排列，如表4 所示，得到u5?u1?u2?u4?u3，所以M 國的綜合經(jīng)濟政策對E省影響最突出。

由于區(qū)間復(fù)模糊軟集為提出的新概念，在區(qū)間復(fù)模糊軟集環(huán)境下，目前還沒有與本文方法類似的多屬性決策方法的研究。所以本文將鄒斌等人[44]提出的基于區(qū)間模糊軟集的多屬性決策方法與本文提出的基于區(qū)間復(fù)模糊軟集的TOPSIS多屬性決策方法進行比較。將上述經(jīng)濟分析中的區(qū)間復(fù)模糊軟集形式的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間模糊軟集形式，保留幅度項，舍去相位項，轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)在表5 中給出。根據(jù)文獻給出的決策方法，得到排序結(jié)果：u3?u1?u5?u2?u4。

顯然，本文提出的方法的排序結(jié)果與鄒斌等人[44]提出的方法的排序結(jié)果不同。最大不同在于經(jīng)濟政策對于E 省綜合影響的排序，在本文提出的決策方法中經(jīng)濟政策對于E 省的綜合影響排最后，而鄒斌等人[44]提出的方法經(jīng)濟政策對于E 省的綜合影響排第一。導(dǎo)致這種完全相反的排序結(jié)果的原因在于給定的數(shù)據(jù)舍棄了可以反映經(jīng)濟政策對經(jīng)濟影響的時間滯后的描述，即相位項，而經(jīng)濟政策對于E 省的影響的時間滯后明顯短于其他省份，所以得到了相反的排序結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，本文給定的決策方法對于數(shù)據(jù)的描述更為全面、客觀，可以得到更為合理的排序結(jié)果。

6 結(jié)論

本文定義了區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的多種距離測度，包括Hausdorff 距離、Hamming 距離、Euclidean 距離、廣義Hausdorff 距離、廣義Euclidean 距離、廣義加權(quán)Haus‐dorff 距離、廣義加權(quán)Euclidean 距離、加權(quán)Hausdorff 距離、加權(quán)Hamming距離、加權(quán)Euclidean距離。并提出了區(qū)間復(fù)模糊軟集的加法、乘法、部分隸屬度和部分非隸屬度運算以及區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測度的相關(guān)性質(zhì)。此外，提出了一種基于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測度的TOPSIS 算法。最后，通過算例說明了該算法在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用。本文還存在一些不足之處，如給定數(shù)據(jù)存在一定主觀隨機性。在以后的研究中，重點研究復(fù)模糊軟集在其他模糊集中的推廣和應(yīng)用。