【摘 ? 要】“概念”一詞具有語義和思維的雙重含義。如今數學教學更多關注的是語言意義的傳授與獲得，忽略其作為思維形式的生成性。概念的生成過程包括：感知中的意義生成;意義間的關聯(lián)生成類的思維;類的思維生成為概念。要讓學生在數學學習中，有機會經歷這樣的認知過程和活動，使概念認知過程成為思維發(fā)展過程。

【關鍵詞】概念;生成;意義;類;感知;認知

我國數學課程與教學的傳統(tǒng)，通常把課程內容的教學分為概念教學、計算教學、解題教學等。其中的概念通常指的是用某詞匯表達的對象或關系，比如分數概念、比的概念、平行的概念、周長的概念、面積的概念等?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011課標》）中，類似于此的表述共出現38處。

這樣的表述，表達的是概念在語言和內容方面的意義，是把概念視為前人“既定（Pre-given）”的、寫在教科書里的知識，處于認知主體身外、等待獲取或“被教（Be Taught）”的“對象（Object）”。

事實上，“概念”一詞除了這種“外在（External）”的意義，還有“內在（Internal）”的、思維的意義。概念是認知主體在認知過程中逐漸形成的思維形式，是一種生成（Enactive）或建構（Construction）。為了把這樣的認識用于數學課程與教學中學習活動的設計，首先需要梳理這種生成的過程。

一、感知生成意義

數學學習的過程實質是“認知（Cognition）”的過程，自然也是認知主體提升認知能力的過程。研究認知過程的科學叫作“認知科學（Cognitive Science）”。認知過程的起始是“感知（Sensation）”，利用身體上的感覺器官去感覺。在此基礎上實現“知”，也即使得認知對象在人頭腦中“有意義（Sense Making）”。

（一）三個反例

如果視覺中出現漢字“円”，這個漢字就是認知對象，如果之前對這個漢字毫無經驗，此時通過視覺可以“感覺（Feel）”到這個漢字的存在。除此之外，對于這個漢字的發(fā)音、含義、用途以及與其他漢字的關系等等，均一無所知。也就是感覺到其存在的同時，頭腦中沒有出現任何活動（Action in mind）。這種感知的過程，對于作為認知主體的人來說，就沒有生成意義。可以稱之為“有感無知”的過程。

數學認知中，低齡兒童初次看到數字符號“3”，分數符號“[12]”等，其實就處于這樣一種有感無知的狀態(tài)。

再比如，乘坐諸如地鐵等公共交通工具時，經常會聽到播音通知：“下一站將開啟右側車門?！甭牭竭@句話，人們仍然難以判斷下一站會開哪一側門，雖然有意義，但意義模糊，對于“右側”這個詞匯的感知不清晰。

原因是諸如左、右這樣描述空間位置的詞匯，具有“涉身（Embodied）”的特點，涉身也可以叫作“具身”，意思是“涉及身體”。站在地鐵車廂中，身體面向行駛方向和背向行駛方向，右側所指的方位是不同的。因此感知過程中生成的意義出現差異，也叫作歧義。雖然有意義，但“意義模糊（Ambiguity）”。

小學二年級學生剛剛開始學習乘法時，可以知道“乘”表示相同加數求和。如果把漢字“乘”看作學生的認知對象，學生并不是第一次感知，已有經驗中有“乘車”或“乘風破浪”的意義。這樣的意義與“相同加數求和”，從感官上找不到任何關系，頭腦中也無法使二者建立聯(lián)系，學生自然會產生難以接受或疑惑的感覺。這反映出感知中的意義相離或相悖的現象，也就是所感與所知相互沖突的現象，可以叫作“認知沖突（Cognitive Conflict）”。

以上三個案例分別歸納出感知過程中的三類現象：有感無知、意義模糊和認知沖突。這些現象都是負面的，都具有“不明白”的特征。對這些現象的挖掘與分析，可以從反面提升對于感知過程的理解。因此需要進一步研究的問題（Research Question）是：

l如何能夠使得感知過程自然而然地生成意義？換言之，意義生成需要什么樣的條件？

（二）意義生成

面對孤立的漢字“円”，人們會出現有感無知的現象。如果以日元紙幣（如圖1）加以呈現，那么視覺中出現的不再是孤立的漢字“円”，而是一張日元紙幣，紙幣中不僅包含漢字“円”，還包含許多其他內容，這些內容提供的信息相互關聯(lián)，成為一個類似于上、下文關系的“背景（Context）”，對認知主體呈現出更豐富的“供給（Affordance）”。使得認知主體自然而然地、無意識地生成“円”的意義。比如：

l“円”是表達日元錢幣的單位。

l“円”與中國錢幣中“元”或“圓”的作用類似。

因此，將認知對象“嵌入（Embedding）”它所在的背景，就成為感知過程中意義生成的條件或方法之一。

在地鐵車廂中聽到的播音“下一站將開啟右側車門”這句話，如果增加一個“提示（Prompt）”：身體面向行駛方向。這時“下一站將開啟右側車門”這句話中的“右側”，就與身體的姿態(tài)建立了聯(lián)系，成為“我的右側”，利用身體上“右臂、右手”的指向，生成了“右側”的意義。

這個涉身的感知過程，未必一定要在地鐵車廂中親身經歷，可以在頭腦中想象，這種對真實狀態(tài)想象的過程，叫作“思維模擬（Mind Simulation）”。

關于“乘”的認知沖突現象，如果增加一個提示：漢字通常具有象形的特點，“乘”最初的形狀是“人在樹上”[1]。人從地面爬到樹上，隱含著“升高”的意義，因此可以想到“乘車”與“乘風破浪”中的“乘”，都有升高的意思，這或許也是通常語言中常說“上車”和“下車”的原因。自然數的乘法，表示相同加數求和，也就是成倍增加的意思，與升高意義接近。這樣就使得“乘”的字義與數學術語的意義建立了聯(lián)系。

“人在樹上”體現的是人的身體與樹的一種“空間關系（Spatial Relation）”，這樣的關系讓人頭腦中呈現出“爬樹”的過程，爬樹的過程給出了人身體“升高”的信息，升高就是“增加高度”的意義。因此使得“人在樹上”的狀態(tài)，與作為語言文字的“乘”的字義建立了對應（Mapping），這樣的對應在認知科學中叫作“隱喻（Metaphor）”。

（三）參照

綜上可以總結出使得感知過程有意義的三種條件。第一是將感知對象“嵌入”背景，使得認知對象與相關對象之間的關系顯現出來;第二是將認知對象“涉身”，也即使認知對象與認知主體的身體以及身體的活動建立聯(lián)系，借助身體以及身體活動的經驗使得意義生成;第三是“隱喻”，將認知對象與另外一個熟知領域的對象建立對應關系，利用熟知領域對象的意義，使得認知對象的意義得以生成。

更概括地說，使得認知對象的意義生成需要有關聯(lián)的“參照（Referents）”。“嵌入”的參照是嵌入的背景以及其中的內容;“涉身”的參照是自身的身體;“隱喻”的參照是另外一個熟知領域以及其中的對象。

意義生成是感知的關鍵，是認知過程逐步深入不可逾越的階段。教師的教學應當特別重視每一位學生感知過程中的意義生成。課程設計的一個重要維度，是對于每一位學生在感知過程中意義生成的活動進行設計。

二、意義生成類思維

意義生成之后，不是以靜態(tài)的形式，孤立地存在于頭腦之中，而是以動態(tài)的形式，與已有經驗中的其他意義相互連接、相互影響，因此就形成了“類（Classification）”的思維形式。

（一）類思維

看見“白馬”，會出現兩個意義：第一是顏色“白”的意義;第二是動物“馬”的意義。如果與經驗中其他的白色動物、事物建立聯(lián)系，就形成以顏色“白”的意義為主的類的思維;如果與經驗中的動物“馬”建立聯(lián)系，就形成以“馬”的意義為主的類的思維。

這里所說的“類”，并非一種客觀存在的事物，人運用感覺器官是無法感知到類的存在的，看見馬，只是個別的馬，而不是馬的類。因此“類”是在感知過程中，伴隨著意義生成的同時，意識中出現的思維形式，是由多種思維活動交織而成的。接下來的問題是，“類”作為思維形式所蘊含的思維活動是什么樣的？

對于漢字“円”，在日元紙幣作為參照時，生成“日元單位”的意義，這樣的意義生成與認知主體關于其他貨幣單位的經驗直接相關，比如人民幣單位、美元單位、英鎊單位等。因此“円”作為日元單位的意義是與已有經驗中其他貨幣單位并存與互動的。類的思維形式可以進一步細化為如下的思維活動：求同（Identification）、辨別（Discrimination）、提?。ˋbstraction）、泛化（Generalization）。

（二）“類”的思維活動

求同的思維活動，指的是從差異中意識到相同屬性的思維活動，也叫作“異中求同”，“類”作為一種思維形式，隱含著異中求同的思維活動?？匆姲遵R、黑馬、黃馬，自然想到其共同意義，都是“馬”。

日元、人民幣、美元、英鎊等，在紙幣形式、圖案、內容、價值等許多方面都有差異，但無論哪個國家的貨幣，其共同意義都是“錢”，作用是相同的，都是交易的媒介、價值的象征?！皟摇币饬x生成的過程，其實伴隨著與經驗中其他貨幣共同屬性相互聯(lián)系的思維活動，也就是異中求同的思維活動。這樣的思維活動往往是自然而然、無意識地發(fā)生的。

“辨別”作為思維活動，實質是“求異”，就像從一箱蘋果中挑揀出爛蘋果的過程?？匆姲遵R和黑馬，知道雖然都是馬，但顏色不同。日元紙幣對于感知主體，給出許多信息，包括形狀、大小、顏色、圖案等;除了“円”，還有諸如“日本銀行”“1000”等漢字和數。從諸多信息中辨別出“円”有“日元單位”的意義，關鍵是“千円”的表達方式，“千”作為表達數的漢字，與“円”并列相鄰成為一個詞匯，使得“円”作為單位的意義得以體現。

像這樣，在諸多信息以及信息之間的關聯(lián)中，生成滿足自身需求的意義的思維活動，就是辨別。就像面對一對雙胞胎同學，大家會不由自主地去關注他們的差異，因此“辨別”也可以叫作“同中求異”。

“提取”作為思維活動，也叫作“抽象”，是在求同與辨別的基礎上，依據個人需求或偏好（Preference），忽略一些意義，專注于個別意義的思維活動?？匆姲遵R，既可以提取“白”的意義，也可以提取“馬”的意義。對于日元紙幣，忽略形狀、樣式、顏色、大小、漢字、數、人物等，僅關注“日元單位”這個意義，這樣的關注實質是與經驗中其他貨幣單位的意義求同，所以抽象從字面上可以理解為“抽取相像”。

“泛化”也可以叫作“一般化”或“推廣”，是將較小范圍的意義擴充為更大范圍意義的思維活動，是前面求同、辨別和提取活動的綜合。如果從白馬提取出“白”的意義，自然就會泛化到“白貓、白熊”等一切具有白色的動物、事物。

從日元單位聯(lián)想到人民幣單位、美元單位、英鎊單位，這樣的聯(lián)想是求同的思維活動;忽略國別的意義，是辨別和提取的思維活動。在此基礎上，思維中形成了更大的、具有相同屬性的意義，這個更大的意義可以涵蓋所有國家的貨幣單位。日元單位、人民幣單位、美元單位、英鎊單位等等，都成為“貨幣單位”這一意義下的個案。像這樣把“日元單位”拓展為“貨幣單位”的思維活動，就是泛化的思維活動。

（三）整體與部分

“類”作為思維形式，概括來說，就是感知與經驗中“多”與“一”相互關聯(lián)、相互轉化的思維?！耙弧笔且粋€“整體（Whole）”，“多”中的每一個都是整體中的一個“局部（Part）”?！鞍遵R、黑馬、黃馬”等很多馬，都是“馬”這個整體的局部;“日元、人民幣、美元、英鎊”等很多國家的錢，都是“貨幣”這個整體的局部。

地鐵中聽到的“右側”，從涉身的角度，身體有“右”，自然還有“左”。更進一步還有：上、下、前、后。這些以身體為參照的“方位（Orientation）”，自然就歸為一個整體，上、下、前、后、左、右分別成為“方位”這個整體的局部，其共同意義在于確定涉身的方向與位置，成為以“我”的身體為中心的空間關系。

前面所說的“乘”，有“人在樹上”的意義，由此聯(lián)想到爬樹的動作，進一步聯(lián)想到身體和物體的“運動（Movement）”或“變換（Transformation）”。諸如方向、時間、位置、距離、速度、平移、旋轉、對稱等，都與運動與變換有關，都可以歸為“運動”和“變換”的整體之中。

凡此，都反映出類的思維形式，可以概括出四點認識：第一，類的思維源于感知對象的意義生成;第二，類的思維是感知與經驗中意義的關聯(lián)與互動;第三，類的思維是諸如“求同、辨別、提取、泛化”等多種思維活動的交互;第四，類的思維實質是整體與局部的關系的思維。

三、類思維生成概念

（一）概念

人通過感知，對于感知對象生成意義，進而通過意義之間的關聯(lián)，形成“類”的思維。這種頭腦中類的思維逐漸穩(wěn)定、確定下來，就形成了“概念（Concept）”，也就是“概括的觀念”。因此可以說：概念就是聚焦于某種意義的類的思維形式。

如果給這樣的概念賦予語言或符號的名稱，就形成了外在于頭腦，具有語言意義的概念，可以通過語言意義的傳遞，成為所有人思維中共同的概念。因此，通常所說的“概念”這一詞匯，有兩方面的含義：第一，是頭腦中類的思維形式;第二，是語言或符號所指稱對象的意義（以下簡稱“語義”）。

數學教學與數學的發(fā)生與發(fā)展不同，學生是從教科書或教師提供的語言、符號的感知開始，而且感知過程往往脫離了語義本身的認知來源，造成的結果是認知停留在語義和語義間的轉換，并沒有通過親身的感知過程形成思維形式的概念。

比如對于分數符號“[12]”，如果僅僅知道“把單位一平均分為2份，表示其中的1份的數是[12]”，脫離涉身的“分”的活動，頭腦中沒有形成與分的活動相關的類的思維，那么這種符號的語義，并不能讓學生形成關于“[12]”思維形式的概念。因此，概念的形成僅有語義是不夠的，還需要前面提及的“參照”。

語義概念的來源，大致有兩種：具體的（Grounding）和抽象的（Abstract）。概念屬性的差異導致其形成方式也是不同的。

（二）具體

如果概念的語義指稱的對象可見（Visible）、可觸（Touchable），也就是“可感知（Sensible）”的，這樣的概念就叫作“具體的”。

比如飲水是人日常反復出現、非常熟悉的涉身活動，提及“水杯”，即便面前沒有實物，也會不知不覺、無意識地（Unconsciously）在頭腦中浮現出類似于“”的影像。因此“水杯”這一詞匯所表達的概念，對于具有飲水經驗的人來說，就是具體的。

面對表達具體概念的詞匯，頭腦中所產生的影像，也叫作“意象（Image）”。需要指出的是，概念指稱的對象不是一個，而是一類。由于不同的人飲水的經驗會有差異，熟悉的飲水工具也有不同，因此意象具有主觀性和差異性，同樣的“水杯”，不同的人產生的意象也會有差異。

還有一類詞匯指稱的對象，不是像水杯那樣“靜態(tài)（Static）”的對象，而是“動態(tài)（Dynamic）”的一系列“動作（Action）”。比如“喝水”，其中就會包括“拿水杯―舉水杯—水入嘴”等動作，這樣一系列的動作反映在頭腦中的影像，不是一個孤立存在的意象，而是若干意象的動態(tài)連接。

這樣一系列意象動態(tài)連接的影像，可以叫作“意境（Imagery）”，即意念中的情境。與意象類似，同樣具有可感知、具體的特點。具體概念的特點是具有涉身性，直接與人在具體環(huán)境中的感知活動相關，因此相對比較易于理解。

（三）建構

除了具體的概念，還有一種概念，其語義所指對象不具備具體、可感知的特征，是人依據需求或偏好，在已有概念基礎上，人為規(guī)定出來的，是從概念生成出來的新概念，也叫作“建構（Construction）”。

比如人用餐時用到“碗”，因此有碗的概念，同時還會用到“筷子、勺子”等，類似于“碗、筷子、勺子”這樣的概念所指稱的對象，從感知的角度說，顏色、形狀、材料等都不相同，但用餐活動中都會使用，都隸屬于“用餐”活動，其共性為“用餐工具”，這種求同的思維活動就建構出新的概念，可以命名為“餐具”，將所有用餐中使用的工具統(tǒng)一為一個更大的類。

邏輯學中把這個表達更大類的概念叫作“屬概念（Genus）”，產生這個屬概念的概念叫作“種概念（Species）”。二者指稱的對象具有包含與被包含的關系，也就是前面論及的整體與局部的關系。就像由碗、筷子、勺子這些概念產生了餐具的概念，餐具就是屬概念，碗、筷子、勺子就是相應的種概念。種概念與屬概念構成了局部與整體的關系。

建構概念的過程是“人為的（Artificial）”，往往脫離客觀世界的感知，更多依賴人的情感、思維、習慣、需求、偏好等人文因素。對于此類概念的深入理解，實質是對“人文性（Humanity）”的理解。

比如英文詞匯“Breakfast”是人建構出來的概念，表達中文詞匯“早餐”的意思，這樣的理解僅僅是停留在語義轉換上，并沒有生成人文性的意義。如果把“Breakfast”變形為兩個詞匯的組合：“Break-Fast”，其中“Break”有“打破”的意思，“Fast”作為名詞有“齋戒”的意思，此時“Breakfast”就是“結束齋戒”的意思。宗教文化中，齋戒期間禁食，齋戒結束自然是開始進食的意思，因此用“Breakfast”指稱每天第一餐，也就順理成章了。中文一日三餐是用“早、午、晚”的時間進行區(qū)分，而英文并非如此。這也反映出建構概念的人文性差異，也可以叫作文化差異。

數學課程內容中建構的概念極其普遍，比如在自然數概念的基礎上，古希臘時期的人，希望找到制約無限多自然數最少、最微小的元素，就把像“2，3，5”這樣不能分解為兩個因數乘積的數（1除外），視為最微小的元素，從全體自然數中提取出來成為一個類，命名為“質數（Primary Number）”，建構出了質數的概念。不是質數的數，也就是可以再分的數，成為與之相對的另外一個概念，叫作“合數（Composite Number）”，歷史上并沒有“1既不是質數，也不是合數”的說法，起初人們是把“1”當作質數的。[2]類似這樣的概念，與人的感知活動沒有直接關系，是人為的建構，這樣的建構源于人的心理愿望，這樣的愿望體現了建構過程的人文性，也就是概念的參照。

（四）思想與概念

還有一些概念也是人為建構的，指稱最原始的范疇。這些概念不是在已有概念基礎上建構的，而是源于人的“思想（Thought）”，是最原始的“意識（Idea）”，幾乎沒有任何“參照”與之直接相關。比如空間（Space）、時間（Time）、數（Number）。

英國18世紀科學史學家胡威立（William Whewell，1794-1866）在《科學思想史》一書中專門論述，像“空間、時間、數”這些概念，在現實世界中全然感知不到，是思想中的意識所形成的概念，叫作“先驗的（Transcendental/Priori）”。書中將人的認知對象分為“思想（Thought）”和“東西（Thing）”，“東西”指的是可感知的對象，而思想是“……屬于自己的;是在自身中發(fā)生的;是自己思考的;是頭腦中的行動”。[3]這樣的思想既可以看作結果，也可以看作過程。美國20世紀哲學家約翰·杜威（John Dewey，1859-1952），把“數”這樣先驗的概念叫作“理性過程（Rational Process）”，而非“事實感知（Sense Fact）”。[4]

l如果問：什么是數？

l可能的回答：“6”是數。

事實上，6是表達某數的符號，是數的一種“表征（Representation）”形式，本身并不是數，類似的表征形式還可以是“六、Six”等。數作為先驗的概念，是存在于人意識中的思想，也可以視為思想的產物。約翰·杜威專門寫了一本名為《數的心理學及其教學應用》的書，討論數這一概念作為思想，其產生的心理基礎。

類似的例子在社會科學中極其普遍，比如“Life”，可以知道對應的中文是“生活”或“生命”等，但頭腦中很難出現相對確定的意象或意境與之對應。同樣也很難找到比較明確的種概念或屬概念與之構成種屬關系，這樣的概念都是先驗的，同時也是空無的，就像“天空”一詞，因為“天”是一個先驗的概念，所以“天”的意義是“空”。關于“空間”一詞，人們對自己周圍的認識只能通過對象與對象“間”的關系進行描述，其他都為“空”。

《2011課標》前言第一句話是：“數學是研究數量關系和空間形式的科學?！边@也就意味著，數學學習需要學習如何研究數量關系和空間形式。鑒于其中的“數”和“空間”都是原始的、思想的概念，究竟應當如何理解，其實是需要認真研究的問題。

綜上，概念一詞具有雙重含義，一種是思維形式的概念，另一種是語義的概念。《2011課標》中出現的38個概念，并不是認知過程中思維形式的概念，而是語義的概念。對于語義的概念，僅依賴“被教”獲得語義是不夠的，需要通過認知過程的親歷，成為思維中的生成，真正成為思維形式的概念。

概念教學設計的基本思路是感知生成意義，意義關聯(lián)生成類，固化命名建構概念。通過這樣的過程，將概念的雙重含義統(tǒng)一起來，讓概念成為學生頭腦中的生成，成為思維形式的概念，這樣就可理解為：概念認知過程同時也是思維發(fā)展過程。

參考文獻：

[1]郜舒竹.小學數學這樣教[M]. 上海：華東師范大學出版社，2015：34.

[2]郜舒竹.問題解決與數學實踐[M]. 北京：高等教育出版社，2012：159.

[3]WHEWELL. History of scientific idea. Volume 1[M]. London： John W. Parker Andson， West Strand， 1858： 24.

[4]DEWEY J. The psychology of number and its application to methods of teaching arithmetic[M]. New York： D. Appleton And Company， 1909： 23.

（首都師范大學初等教育學院 ? 100048）