□方蘇云

分?jǐn)?shù)與整數(shù)在意義、讀寫(xiě)和計(jì)算方法上都有很大差異，分?jǐn)?shù)的“量”“率”的含義，學(xué)生很難準(zhǔn)確理解，這使得分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)成為小學(xué)生較難掌握的一塊內(nèi)容。

一、透析現(xiàn)象，聚焦問(wèn)題

在小學(xué)五、六年級(jí)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的高頻率的“量”與“率”混淆不清的現(xiàn)象主要有以下這些。

（一）分?jǐn)?shù)作為具體量的理解欠缺

從中可以看出，學(xué)生不習(xí)慣將分?jǐn)?shù)作為具體量進(jìn)行運(yùn)用。如圖1中，學(xué)生將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)來(lái)計(jì)算；圖2中，學(xué)生將“用去”當(dāng)“率”來(lái)用，不理解這個(gè)分?jǐn)?shù)表示的是具體量。

（二）分?jǐn)?shù)的“量”“率”含義混淆

從圖3、圖4 的錯(cuò)誤中可以看出，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“率”“量”的含義混淆不清。如何解決這一問(wèn)題呢？筆者認(rèn)為在初識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)就要注重學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”與“率”的理解。

二、審視教學(xué)，追溯根源

筆者對(duì)人教版教材中有關(guān)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容進(jìn)行了梳理，做了深入的解讀分析，并借助前測(cè)分析學(xué)情，以此追根溯源。

（一）教材反觀，明晰單元立意

1.分?jǐn)?shù)教材的整體關(guān)聯(lián)

三上“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”對(duì)后繼五、六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)起著重要的奠基作用。整體關(guān)聯(lián)可用下面的框架圖表示。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”所有涉及的內(nèi)容直接影響著五下的“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”的教學(xué)；“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算”中高頻率地出現(xiàn)幾分之一，為五下“分?jǐn)?shù)的加法和減法”算理的理解和算法的掌握積累豐富的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的“種子課”；“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》新增的內(nèi)容，對(duì)“1”代表多個(gè)物體的理解及求一個(gè)數(shù)的幾分之幾的簡(jiǎn)單問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是六上分?jǐn)?shù)乘、除法的雛形。

2.分?jǐn)?shù)教材的具體分析

分析三上的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”、五下的“分?jǐn)?shù)的意義與加減法”、六上的“分?jǐn)?shù)乘法除法”的例題素材，分?jǐn)?shù)作為“量”與“率”意義的學(xué)習(xí)以明線的形式推進(jìn)，整理如下：

學(xué)生在初次接觸分?jǐn)?shù)階段，沒(méi)有切入具體量的學(xué)習(xí)，這在很大程度上影響了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的理解，也影響了學(xué)生用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題思路的形成。因此在初識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)可以將具體量切入，多維度理解分?jǐn)?shù)內(nèi)涵。

（二）學(xué)情實(shí)證，立足兒童視角

筆者課前借助前測(cè)對(duì)學(xué)情進(jìn)行了調(diào)查分析。

1.前測(cè)分析

筆者隨機(jī)選取了本區(qū)的一所城鎮(zhèn)小學(xué)，對(duì)該校三年級(jí)312名學(xué)生做了單元前測(cè)，內(nèi)容包含分?jǐn)?shù)含義、分?jǐn)?shù)大小比較、分?jǐn)?shù)加減法三個(gè)方面，對(duì)典型題進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。

（1）分?jǐn)?shù)作為“量”出現(xiàn)

正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

填寫(xiě)人數(shù)合計(jì)畫(huà)圖表征半個(gè)138 0.5個(gè)14 1 2 個(gè)42 194 1 2人數(shù)images/BZ_34_1482_2548_1570_2632.pngimages/BZ_34_1641_2539_1760_2641.pngimages/BZ_34_1810_2548_1975_2632.pngimages/BZ_34_2010_2540_2150_2640.png137 18 18 2合計(jì)175

從表中可以看出，62%的學(xué)生寫(xiě)出了正確答案：“半個(gè)”“0.5個(gè)”“個(gè)”，其中能用“個(gè)”表示結(jié)果的約占全部人數(shù)的13%；約有56%的學(xué)生能用圖表示。由此可見(jiàn)，部分學(xué)生已經(jīng)知道半個(gè)可以用個(gè)來(lái)表示，具備了畫(huà)圖表征半個(gè)及個(gè)的經(jīng)驗(yàn)。

正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

填寫(xiě)人數(shù)合計(jì)1 2 41半倍34 0.5倍13 88

（3）分?jǐn)?shù)大小比較

正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

人數(shù)百分率題（1）36 11.5%題（2）113 36.2%題（3）：畫(huà)圖33 10.6%題（3）：比較36 11.5%

從表中可以看出，在有具體圖形的幫助下，分?jǐn)?shù)大小比較的正確率也是低的，其中同分母分?jǐn)?shù)大小比較的正確率約是同分子分?jǐn)?shù)大小比較的3倍。

2.知識(shí)銜接的分析

筆者對(duì)學(xué)生之前學(xué)習(xí)中積累的有助于分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的知識(shí)整理如下。

年級(jí)二下三上內(nèi)容第二、四單元“表內(nèi)除法”第五單元“倍的認(rèn)識(shí)”知識(shí)聯(lián)系平均分比率

平均分是理解分?jǐn)?shù)含義的基礎(chǔ)；比率大于1用“幾倍”來(lái)表示，小于1 一般用分?jǐn)?shù)表示。從“教材的排序”來(lái)看，比率與本單元初識(shí)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系不是很密切，但對(duì)五下分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)有重要影響。從前測(cè)情況看，從平均分引出分?jǐn)?shù)“量”和從“幾倍”引出分?jǐn)?shù)“率”的學(xué)習(xí)都是可行的。

三、立足兒童，整合設(shè)計(jì)

在審視教材與學(xué)情的基礎(chǔ)上，筆者整合設(shè)計(jì)了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的單元架構(gòu)并進(jìn)行了嘗試實(shí)踐。

（一）“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.尊重兒童認(rèn)知思維

學(xué)生在三年級(jí)之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中積累了大量的整數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與思維，教學(xué)可從平均分物入手，借用除法含義，引出分物時(shí)得不到整數(shù)個(gè)可以用分?jǐn)?shù)個(gè)表示，以此作為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的思維起點(diǎn)。

2.立足單元文本價(jià)值

立足“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中分?jǐn)?shù)的含義、計(jì)算與應(yīng)用三個(gè)知識(shí)內(nèi)容與后繼分?jǐn)?shù)知識(shí)的關(guān)聯(lián)度，將本單元學(xué)習(xí)課時(shí)進(jìn)行重組、調(diào)整（見(jiàn)下表），讓學(xué)生在初識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)能多角度、多維度對(duì)分?jǐn)?shù)含義進(jìn)行深度感悟與理解。

整合前內(nèi)容整合后內(nèi)容分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)幾分之一認(rèn)識(shí)幾分之幾分?jǐn)?shù)加法和減法練習(xí)課分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題練習(xí)課分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用認(rèn)識(shí)幾分之一（例1、例2）幾分之一大小比較（例3）認(rèn)識(shí)幾分之幾（例4、例5）同分母分?jǐn)?shù)大小的比較（例6）分?jǐn)?shù)加法、減法（例1、例2）1減幾分之幾（例3）多個(gè)同一事物組成的集合作為單位1（例1）解決問(wèn)題求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少（例2）整理與復(fù)習(xí)課時(shí) 1 1 1 1 1 1 1 1 1拓展課整理與復(fù)習(xí)修整課單元評(píng)價(jià)課時(shí) 1 1 1 1 1 1 1 1

（二）“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”單元主要新授課教學(xué)思路架構(gòu)

本單元教學(xué)內(nèi)容是由整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)的概念更為抽象。它可以從部分到整體、分物、測(cè)量、比、算式和商等多個(gè)角度加以理解，是對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的一次飛躍。

1.“認(rèn)識(shí)幾分之一”教學(xué)思路——“量”“率”并行

平均分物，結(jié)果不能用整數(shù)個(gè)表示時(shí)，可以用分?jǐn)?shù)個(gè)來(lái)表示；著眼點(diǎn)在分?jǐn)?shù)表示具體量的理解，再?gòu)木唧w量引出分?jǐn)?shù)作為“率”的含義。“認(rèn)識(shí)幾分之幾”的教學(xué)思路與“認(rèn)識(shí)幾分之一”基本一致。

2.“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算”教學(xué)思路——重“量”弱“率”

沿用認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)含義建立平均分物的思路展開(kāi)，搬用五下年級(jí)的分?jǐn)?shù)加減法的具體量教材素材，大幅度減少本冊(cè)“率”分?jǐn)?shù)加減的素材，在分?jǐn)?shù)“量”下理解分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單加減法，在操作中深刻感悟“相同的分?jǐn)?shù)單位”才能相加減的策略。

3.“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”教學(xué)思路——輕“量”重“率”

本節(jié)課側(cè)重于用分?jǐn)?shù)“率”解決問(wèn)題，特別是多個(gè)相同物體作為“1”，求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。引導(dǎo)學(xué)生在可視化的表征中理解掌握解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的多樣化策略，進(jìn)一步鞏固分?jǐn)?shù)作為“分率”的含義。

（三）教學(xué)實(shí)踐——以“認(rèn)識(shí)幾分之一”為例

由于篇幅限制，在此具體展開(kāi)“認(rèn)識(shí)幾分之一”的實(shí)踐過(guò)程。教學(xué)中，應(yīng)注重“量”“率”并行，引領(lǐng)學(xué)生在平均分物中充分感受分?jǐn)?shù)的多樣含義。

1.教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)（略）

2.教學(xué)過(guò)程

（1）談話導(dǎo)入：同學(xué)們記得平均分嗎？

（2）互動(dòng)游戲：用拍手來(lái)表示平均分到的個(gè)數(shù)。

a.把6個(gè)月餅平均分給2人，每人（ ）個(gè)。算式怎么列？4 個(gè)呢？2 個(gè)？1 個(gè)？此時(shí)追問(wèn)為什么不拍手？

b.半個(gè)。列出算式。

（4）揭示課題：分?jǐn)?shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)與直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，在平均分物的結(jié)果不能用整數(shù)個(gè)表示時(shí)，引出用分?jǐn)?shù)個(gè)表示。學(xué)生對(duì)“半個(gè)”有充分的生活經(jīng)驗(yàn)和操作經(jīng)驗(yàn)，因此在直接追問(wèn)中找出個(gè)，以此來(lái)溝通整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)也可以用來(lái)計(jì)數(shù)，表示一個(gè)具體量。）

（2）展示作品，交流評(píng)價(jià)。

（4）思考：如果要平均分給4 人，每人得到幾個(gè)？平均分給5人呢？6人呢？你認(rèn)為還可以平均分給幾個(gè)人，每人分得幾個(gè)？

（2）觀察并思考：為什么形狀、大小、顏色各不相同，都表示這個(gè)物體的呢？（這些圖形都是把1 個(gè)圖形平均分成2份，表示其中的1份）

（3）思考：把4 個(gè)月餅平均分成2 份，這其中的1份，可以用表示嗎？為什么？四人小組交流，再集體反饋。

（4）追問(wèn)：把2 個(gè)月餅平均分成2 份，這其中的1份，可以用表示嗎？6個(gè)呢？8個(gè)呢？10個(gè)呢？那只要怎么樣我們都可以用表示呢？

（設(shè)計(jì)意圖：用一句“還可以說(shuō)”將分?jǐn)?shù)從表示具體數(shù)量自然引入到表示“率”，在思考、觀察、圖形表征、思辨中認(rèn)識(shí)的含義，在追問(wèn)中深度理解“不管是1個(gè)還是幾個(gè)，只要平均分成2份，其中的1份就用表示”。）

思考：這些分?jǐn)?shù)有什么共同特點(diǎn)？幾分之一，就是平均分成幾份，表示其中的1份。

（3）選取學(xué)生中的1 份作業(yè)，1 份表示幾分之一，2份呢？3份呢？

（4）鞏固溝通：老師把1 米長(zhǎng)的繩子平均分，……得到了幾個(gè)分?jǐn)?shù)？一起來(lái)說(shuō)一說(shuō)。選出其中2個(gè)分?jǐn)?shù)比一比，說(shuō)說(shuō)這樣比的理由，有什么發(fā)現(xiàn)？（設(shè)計(jì)意圖：再次利用前面的素材個(gè)月餅，引出并由學(xué)生選擇喜歡的分?jǐn)?shù)用畫(huà)圖方式表征出來(lái)，在這個(gè)過(guò)程中側(cè)重“率”的理解；接著利用學(xué)生畫(huà)的素材引出后面幾分之幾的學(xué)習(xí)，同時(shí)根據(jù)鞏固練習(xí)隨機(jī)融入分?jǐn)?shù)的大小比較。）

本課立足兒童視角，切準(zhǔn)單元立意，借助“量率并行”這一策略認(rèn)識(shí)幾分之一，但每個(gè)環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)“量”“率”的側(cè)重不一樣。

四、后測(cè)分析，實(shí)踐反思

（一）后測(cè)分析

通過(guò)對(duì)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”單元整合設(shè)計(jì)實(shí)踐后，在沒(méi)有整理與復(fù)習(xí)的前提下，筆者對(duì)同一所學(xué)校三年級(jí)的86個(gè)學(xué)生做了后測(cè)，數(shù)據(jù)見(jiàn)下表。

維度具體內(nèi)容后測(cè) 前測(cè)人數(shù)百分率看圖寫(xiě)幾分之幾85 98.84%分?jǐn)?shù)計(jì)算分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算83 96.51百分率分?jǐn)?shù)的含義看圖寫(xiě)幾分之一85 98.84%13.46%分?jǐn)?shù)大小比較看圖分?jǐn)?shù)大小比較80 93.02%11.80%% 0分?jǐn)?shù)應(yīng)用分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用70 81.40%1.20%

從表中可以看出，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)含義（看圖寫(xiě)分?jǐn)?shù)）和分?jǐn)?shù)大小比較（雖然是在結(jié)合看圖寫(xiě)分?jǐn)?shù)及分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單計(jì)算或解決簡(jiǎn)單問(wèn)題中進(jìn)行學(xué)習(xí)）都掌握得較好；對(duì)之前沒(méi)有任何接觸的分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單計(jì)算，正確率也比較高；分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用相對(duì)較難，但從后測(cè)卷來(lái)看，學(xué)生還是能用圖形、算式等策略來(lái)解決問(wèn)題的。

（二）實(shí)踐反思

此次思考與實(shí)踐，在給筆者帶來(lái)收獲的同時(shí)也促發(fā)了筆者的深入思考。教學(xué)立足學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)平均分的經(jīng)驗(yàn)，讓他們深刻而充分地感悟到在平均分后不能用整數(shù)表示時(shí)，可用分?jǐn)?shù)來(lái)表示；將分?jǐn)?shù)表示一個(gè)具體的量（分?jǐn)?shù)個(gè)）直接切入，實(shí)質(zhì)上做了一個(gè)“分?jǐn)?shù)”大單元的融合，將分?jǐn)?shù)概念作為一個(gè)體系，以整體的角度來(lái)研究學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念。在整合設(shè)計(jì)中，希望學(xué)生腦海中有一張逐漸清晰的分?jǐn)?shù)概念圖。學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解不是一蹴而就的，教學(xué)任重道遠(yuǎn)。