□章勤瓊 郭 盼

百分?jǐn)?shù)的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，百分?jǐn)?shù)在生活中的應(yīng)用十分廣泛。理解百分?jǐn)?shù)的意義是學(xué)生學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)以及運(yùn)用百分?jǐn)?shù)解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的必備前提條件。[1]對(duì)于百分?jǐn)?shù)參與運(yùn)算的結(jié)果，存在不同意見(jiàn)。如10%+10%，大多數(shù)人認(rèn)為可以轉(zhuǎn)化成小數(shù)0.1+0.1，結(jié)果為0.2；也有人認(rèn)為，百分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，不可以將其放在算式中進(jìn)行運(yùn)算，所以10%+10%沒(méi)法計(jì)算。除這兩種觀點(diǎn)之外，利用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算“10%+10%”，會(huì)出現(xiàn)不同的計(jì)算結(jié)果0.11。那么，10%+10%不同的計(jì)算結(jié)果指向小學(xué)階段百分?jǐn)?shù)的哪些意義？在教學(xué)中需要注意什么？我們應(yīng)該對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對(duì)教學(xué)有進(jìn)一步的思考。

一、10%+10%為什么等于0.11

一般情況下，在進(jìn)行有關(guān)百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的計(jì)算時(shí)，需要先將百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)或小數(shù)，再按照分?jǐn)?shù)與小數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算結(jié)果。如10%+10%=0.1+0.1=0.2，這樣的計(jì)算并不存在什么難度，似乎也不應(yīng)該有爭(zhēng)議。然而，在用手機(jī)上的計(jì)算器對(duì)10%+10%進(jìn)行計(jì)算時(shí)，卻顯示10%+10%=0.11。這樣的結(jié)果顯然是令人驚訝的。對(duì)于這個(gè)結(jié)果，該如何解釋？

我們?cè)谟?jì)算時(shí)，按照小學(xué)數(shù)學(xué)四則運(yùn)算的邏輯順序，將10%看成也就是0.1，再做加減，結(jié)果為0.2。用計(jì)算器計(jì)算百分?jǐn)?shù)的加法，之所以出現(xiàn)不同的結(jié)果，是因?yàn)榘俜痔?hào)是個(gè)特殊的符號(hào)。百分?jǐn)?shù)也叫百分率，這里的百分率是以哪個(gè)數(shù)為基數(shù)，也就是我們通常所說(shuō)的單位“1”，即加上10%需要考慮的是加上哪個(gè)量的10%。計(jì)算出0.2 的結(jié)果時(shí)，我們是將10%的單位“1”就當(dāng)作數(shù)字1。然而，如果這里對(duì)10%的基數(shù)作不同的思考，就能得到10%+10%=0.11。如果繼續(xù)加上10%，可以得到這樣的結(jié)果：10%+10%+10%=0.121，10%+10%+10%+10%=0.1331；10%+10%+10%+10%+10%=0.14641……我們可以看出，后面所加的10%，都不是按照0.1 的值來(lái)計(jì)算，每次加的10%的值分別是0.01，0.011，0.0121，0.01331，如果將增加的值與前面的和進(jìn)行比較，可以得到如表1所示的結(jié)果。

表1 用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算10%相加的結(jié)果

通過(guò)對(duì)表1 的觀察，容易發(fā)現(xiàn)，每個(gè)算式與上一算式結(jié)果的差正好等于上一算式和的10%，即所加上的10%是以原來(lái)的加數(shù)作為基準(zhǔn)量，即將原來(lái)的加數(shù)看作單位“1”，再加上這個(gè)數(shù)的10%。如

10%+10%=10%×（1+10%）=0.11，10%+10%+10%=

（10%+10%）×（1+10%）=0.11×1.1=0.121……如果計(jì)算減法，也會(huì)得到類似的結(jié)果，如10%-10%=0.09，這是10%×（1-10%）的結(jié)果。而10%-10%-10%=（10%-10%）×（1-10%）=0.081。事實(shí)上，加上或減去一個(gè)百分?jǐn)?shù)，可以這樣計(jì)算：a±b=a?(1±b%)，這里的a是指±b%之前所有的數(shù)的和。事實(shí)上，想利用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算兩個(gè)10%的數(shù)值的和，也是可以實(shí)現(xiàn)的。只需在10%外面分別加上括號(hào)就行，用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算（10%）+（10%）的結(jié)果即為0.2，括號(hào)里面作為整體，自然不會(huì)以括號(hào)外面的結(jié)果作為基準(zhǔn)進(jìn)行百分率的計(jì)算。

因此，手機(jī)計(jì)算器的這種行為是對(duì)算法邏輯的不同選擇，而不是計(jì)算錯(cuò)誤。那為什么在手機(jī)計(jì)算器中一般要采用10%+10%=0.11 這樣的算法呢？最早的電子計(jì)算器并沒(méi)有百分號(hào)“%”，后來(lái)加入之后，在一定程度上解決了計(jì)算場(chǎng)景中常有的難點(diǎn)。人們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常遇到計(jì)算小費(fèi)、利息、折扣等場(chǎng)景，這樣的計(jì)算邏輯會(huì)變得非常實(shí)用，而且更貼近人們的日常語(yǔ)言。例如，早餐8 元，需要額外支付小費(fèi)10%，利用計(jì)算器只需要輸入“8+10%”，即可得到8.8元，而不需要輸入“8+8×10%”或者“8×(1+10%)”，后面這兩種輸入，顯然要煩瑣得多，而且解釋起來(lái)也更加復(fù)雜。這樣的例子在生活中還有很多，如存入5000元，利息5%，到期所得只需輸入“5000+5%”，就可算出5250 元。減法也是如此，如某件商品500 元，打八折銷售，只需輸入“500-20%”，就能得到400元。而讓計(jì)算器計(jì)算500-20%=499.8這樣的算式，反倒沒(méi)有什么實(shí)際意義。

如果用計(jì)算器來(lái)計(jì)算乘法和除法，跟我們習(xí)慣的運(yùn)算結(jié)果沒(méi)有差別，如10%×10%=0.01,10%÷10%=1。這是因?yàn)樵诔顺?jì)算中，不需要涉及加上或減去哪個(gè)量的10%的問(wèn)題，在生活中也不需要處理這樣的場(chǎng)景。因此，如果了解百分?jǐn)?shù)作為“百分率”的意義，并聯(lián)系在生活中實(shí)際場(chǎng)景的實(shí)用價(jià)值，就能理解用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算10%+10%為什么等于

0.11。

二、小學(xué)階段百分?jǐn)?shù)的意義

百分?jǐn)?shù)的英語(yǔ)為percentage，詞根為“cent”，來(lái)自拉丁語(yǔ)centum（一百），percentage的意思為“每一百中的部分”。西方在15 世紀(jì)就已經(jīng)開(kāi)始使用百分?jǐn)?shù)的形式“perco”，在17 世紀(jì)中葉的一本著作中，已經(jīng)出現(xiàn)了用的符號(hào)表示百分號(hào)，后來(lái)把前面的“per”也去掉了，而“%”這個(gè)符號(hào)的使用，則是現(xiàn)代的事了。[2]在數(shù)學(xué)辭海中，將“百分?jǐn)?shù)”定義為一種特殊的分?jǐn)?shù)，指分母是100 的分?jǐn)?shù)，或表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。[3]之所以說(shuō)百分?jǐn)?shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，是因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)是分母為100的繁分?jǐn)?shù)。當(dāng)N是一個(gè)數(shù)時(shí)，繁分?jǐn)?shù)通常讀作百分之N，也寫(xiě)作N%。[4]這里的N 可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)和分?jǐn)?shù)。跟平常一般需要將分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)為分子分母為互質(zhì)整數(shù)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)不同，在百分?jǐn)?shù)中，需要保證分母為100，至于分子是什么形式，并不重要。

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)具有份數(shù)、商、測(cè)量、運(yùn)算子、比這五種意義。[5]百分?jǐn)?shù)可以有和分?jǐn)?shù)一樣的意義。分?jǐn)?shù)在表示“份數(shù)”時(shí)，其核心在于平均分以及部分與整體的關(guān)系，百分?jǐn)?shù)顯然也有這樣的意義；當(dāng)計(jì)算20÷100 時(shí)，得數(shù)可以為

然而，對(duì)百分?jǐn)?shù)的意義的關(guān)注，又與分?jǐn)?shù)有較大的不同，需要突出其表示“關(guān)系”的意義，這是百分?jǐn)?shù)這個(gè)內(nèi)容的重要價(jià)值，也是百分?jǐn)?shù)之所以產(chǎn)生的最大原因。早在1984年，就有研究者指出，在實(shí)際的生產(chǎn)、生活及研究中，百分?jǐn)?shù)多是用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系，而不是表示一個(gè)具體量，所以在教學(xué)時(shí)應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”這一意義。[6]在實(shí)際應(yīng)用中，統(tǒng)一用100作為分母，并且記作%的好處是顯而易見(jiàn)的。比如在一場(chǎng)籃球比賽中，某隊(duì)上下半場(chǎng)進(jìn)球數(shù)和總投球數(shù)的比分別是若想知道哪個(gè)半場(chǎng)的命中率更高，如果直接比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小顯然不是特別方便。此時(shí)將分?jǐn)?shù)化為百分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)，即52.4%和58.6%，結(jié)果一目了然。

在現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中對(duì)百分?jǐn)?shù)的定義如表2所示。

表2 教材中對(duì)于百分?jǐn)?shù)的定義

在三個(gè)版本的教材中，都提到了“百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比”這樣的表述，著重強(qiáng)調(diào)了百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)的“比率關(guān)系”的意義。百分?jǐn)?shù)在表示兩數(shù)關(guān)系時(shí)，主要有兩層含義。一是表示部分和整體的關(guān)系，這時(shí)百分?jǐn)?shù)的范圍只能在100%以內(nèi)，如手機(jī)電量20%，代表的意義是將剩余電量和總電量相比較而得；二是表示兩個(gè)獨(dú)立數(shù)量的關(guān)系，這時(shí)百分?jǐn)?shù)的值可以超過(guò)100%，如某工廠這個(gè)月的產(chǎn)量是上個(gè)月產(chǎn)量的120%。此外，百分?jǐn)?shù)的分母雖為100，但不表示分母的數(shù)量剛好是100。如“一種商品的好評(píng)率是95.7%”，這里的100與95.7顯然不是具體給出評(píng)價(jià)的人數(shù)，95.7%真正的含義是“每100 個(gè)人里有95.7 個(gè)人給了好評(píng)”，其中的“每”字表示這是一種給好評(píng)的人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比率關(guān)系。

因此，百分?jǐn)?shù)一般用來(lái)表示兩個(gè)量之間的比率關(guān)系，不能表示一個(gè)具體量，因此百分?jǐn)?shù)后面不可以出現(xiàn)單位，不能以名數(shù)的形式出現(xiàn)。如一瓶1千克的牛奶，喝了80%，不能說(shuō)喝了80%千克的牛奶，只能說(shuō)喝了0.8 千克或者千克的牛奶，如果要用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示，需要說(shuō)成“喝了1千克的80%”。

由于百分?jǐn)?shù)具有不同的意義，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些歧義，例如“100 增加50%是多少？”如果將50%看作單純的一個(gè)數(shù)，算式應(yīng)為100+50%=100+0.5=100.5，但如果將50%理解為與100 的關(guān)系，也就是增加的比率，那算式應(yīng)為100+100×50%=150。因此，在遇到增加百分之幾的問(wèn)題時(shí)，需要關(guān)注百分?jǐn)?shù)所代表的意義，也要特別注意是增加了哪個(gè)量的百分之幾。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

第一，在教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解，認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)意義的異同。在表示“率”的意義時(shí)，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)在本質(zhì)上是一樣的，都是表示兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。[10]但是，分?jǐn)?shù)既可以表示分率，也可以表示具體的量，后面能帶單位；百分?jǐn)?shù)雖然在理論上也具有跟分?jǐn)?shù)同樣的意義，但百分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是有其實(shí)際背景的，在意義上應(yīng)該更加強(qiáng)調(diào)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，不用來(lái)表示一個(gè)具體量，后面不帶單位。此外，百分?jǐn)?shù)可以和分?jǐn)?shù)一樣在算式中進(jìn)行計(jì)算，但在實(shí)際情境中，需依照具體情況來(lái)確定百分?jǐn)?shù)所代表的真正含義，很多時(shí)候百分?jǐn)?shù)代表的都是百分率的意義。但需要指出的是，對(duì)于百分?jǐn)?shù)的意義，不宜通過(guò)規(guī)定的方式直接告知學(xué)生，建議在具體的情境中讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)之間關(guān)系的特殊意義的理解，體會(huì)其在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值。

第二，在教學(xué)中，可將百分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容作為拓展資源，發(fā)展學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)能力。譬如，可以提供像10%=0.1，10%+10%=0.11，10%+10%+10%=0.121這樣的資源，讓學(xué)生觀察它們的特點(diǎn)與變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上探究10%+10%+10%+10%等于多少，并進(jìn)一步思考這里的“%”可能是怎樣的運(yùn)算方式，幫助學(xué)生更好地理解百分?jǐn)?shù)的不同意義，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，嘗試發(fā)現(xiàn)并定義新的運(yùn)算方式，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和代數(shù)思維。此外，如果將表1中各算式的和的小數(shù)部分寫(xiě)下來(lái)，可以得到圖1 這樣的數(shù)字排列，每一行的數(shù)字，按照?qǐng)D中箭頭方向加上10%就可以得到下一行的數(shù)。對(duì)圖1 稍作調(diào)整就能得到楊輝三角（圖2），將楊輝三角的每一行與幾個(gè)10%相加進(jìn)行對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)，就能讓學(xué)生更好地理解不同的運(yùn)算方式，并為建立不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)結(jié)打下良好的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，如果利用圖2 讓學(xué)生繼續(xù)思考6 個(gè)10%相加的結(jié)果。學(xué)生容易寫(xiě)出楊輝三角的第6 行應(yīng)為1，5，10，10，5，1。但在寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某些位置上已經(jīng)出現(xiàn)了數(shù)字10，不可以作為某個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。學(xué)生需要思考在數(shù)字10的地方要寫(xiě)0并進(jìn)1，進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整之后可知，按照上面的運(yùn)算方式，6 個(gè)10%相加的結(jié)果為0.161051。這樣的思考對(duì)于學(xué)生更深入地理解位值制以及提升數(shù)學(xué)的整體聯(lián)系能力是有益處的。

圖1

圖2