金成豪 劉云

摘?要：針對初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”部分的知識點多，學(xué)生系統(tǒng)掌握和綜合運用知識比較困難的情況，提出基于思維導(dǎo)圖的教學(xué)方法，并通過科學(xué)的理論和具體案例，論證了該方法在教師進行教學(xué)設(shè)計、學(xué)生建立知識體系、師生之間交流互動過程中，發(fā)揮的有效作用。

關(guān)鍵詞：知識建構(gòu);思維導(dǎo)圖;可視化;教學(xué)設(shè)計

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.14.085

初三一輪復(fù)習(xí)內(nèi)容包括四大塊：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。其中“圖形與幾何”部分的知識點多，學(xué)生綜合運用多個知識點解決幾何問題的能力比較弱。教學(xué)一線教師都在積極地嘗試各種各樣的方法，試圖解決目前所面臨的問題。筆者將自己探索的方法和實踐經(jīng)驗，與廣大同仁分享交流。

1?教學(xué)設(shè)計思想

1.1?指導(dǎo)思想

數(shù)學(xué)課程（2011版）標準中指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇要有利于學(xué)生體驗與理解、思考與探索。課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系;課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性。

1.2?設(shè)計理念

數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維;要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法;在教學(xué)的過程中引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

2?教學(xué)設(shè)計與實施

2.1?教材分析

初三數(shù)學(xué)一輪幾何復(fù)習(xí)主要特點是，知識點較多且較分散，把零散的知識點串起來，建立知識之間的聯(lián)系是一個難題。初中教材中共有12章的幾何內(nèi)容，這些章節(jié)的核心內(nèi)容，是研究圖形中邊、角之間的關(guān)系，邊、角作為圖形的基本元素聯(lián)系非常緊密，充分認識理解圖形中邊、角之間的關(guān)系就是我們研究幾何圖形的核心。

2.2?學(xué)情分析

學(xué)生面對多而分散的幾何知識點，一個個知識點復(fù)習(xí)完之后，面對幾何綜合題的解決學(xué)生依然是無從下手，初三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)完成之后，分析解決問題的水平并沒有顯著的提高，主要原因是學(xué)生不會分析已知條件與問題之間的聯(lián)系，那么學(xué)會如何建立條件與問題之間的聯(lián)系，是學(xué)生提高分析解決問題能力的關(guān)鍵。

2.3?教學(xué)目標

（1）梳理鞏固所學(xué)的幾何概念、性質(zhì)、定理等基本知識;（2）會作圖、識圖，并能說出五個基本作圖的作圖依據(jù);（3）通過基本作圖讓學(xué)生分析復(fù)雜圖形中的基本圖形，培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)圖能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀空間想象能力。

2.4?教學(xué)重點、難點

重點：構(gòu)建證明角等的知識體系，系統(tǒng)地認識證明角等的方法。

難點：結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，由簡單圖形添加輔助線構(gòu)建復(fù)雜圖形。

2.5?教學(xué)準備

準備好圓規(guī)、直尺、幾何畫板、多媒體設(shè)備。

2.6?教學(xué)過程及實施

2.6.1?環(huán)節(jié)一：回顧梳理

問題1：初中數(shù)學(xué)教材中共有哪些章節(jié)，請列舉出來，這些章節(jié)都在研究幾何圖形中的什么核心知識和思想方法，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別。

學(xué)生回顧教材單元內(nèi)容的同時教師用思維導(dǎo)圖整理，如圖1。

學(xué)生回顧幾何部分的核心知識和基本圖形，教師用知識結(jié)構(gòu)圖展現(xiàn)出來，如圖2。

老師：共有12章節(jié)的內(nèi)容。通過回顧各章節(jié)的核心知識和基本圖形，用知識結(jié)構(gòu)圖建立幾何圖形的聯(lián)系，分析提煉出研究幾何問題的本質(zhì)就是研究圖形中邊、角之間的關(guān)系。

設(shè)計意圖：學(xué)生能夠在老師的引導(dǎo)下梳理初中教材中幾何章節(jié)，分析出幾何知識圖形研究的基本元素是邊和角，清楚邊、角之間的關(guān)系在幾何學(xué)習(xí)中的重要性。

2.6.2?環(huán)節(jié)二：整體構(gòu)建證明角等的知識方法體系

問題2：作一個角等于已知角有哪些方法，并說明作圖依據(jù)。

設(shè)計意圖：通過“做一個角等于已知角”這個開放性的問題，讓同學(xué)們積極的思考，調(diào)動大腦中儲存的幾何知識，大膽的建立知識之間的聯(lián)系構(gòu)建角等的圖形結(jié)構(gòu)，很好地發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，學(xué)生在構(gòu)圖中體會幾何輔助線的做法。

學(xué)生呈現(xiàn)出的成果，總結(jié)如下：

方法1： 依據(jù)SSS構(gòu)造全等三角形，全等三角形對應(yīng)角相等（尺規(guī)作圖）。

方法2：同角或等角的余角相等，對頂角相等 ，同角或等角的補角相等。

方法3：構(gòu)造等腰三角形（利用等邊對等角構(gòu)造）。

方法4：利用等腰三角形性質(zhì)，構(gòu)建角平分線的基本圖形、構(gòu)造中垂線基本圖形利用性質(zhì)的邊等再到角等。

方法5：圓中有關(guān)角等的性質(zhì)。

①同（等）弧所對的圓周角相等。

②同（等）弧所對圓心角相等。

③同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。

方法6：構(gòu)造平行線利用平行線性質(zhì)推角等。

方法7：構(gòu)造平行四邊形等圖形，利用其性質(zhì)得角等。

方法8：構(gòu)造相似三角形推角等。

還有軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、位似等圖形的變換呈現(xiàn)出全等形，提供構(gòu)造角等的圖形結(jié)構(gòu)，不再列舉。

2.6.3?環(huán)節(jié)三：反思回顧

問題3：做一個角等于已知角的本質(zhì)是什么？

學(xué)生：就是構(gòu)造角等的圖形，說出角等的依據(jù)就是推理證明角等。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生感受研究幾何圖形的基本方法。組織學(xué)生針對所有學(xué)過證明角等方法，回顧學(xué)過的幾何圖形的性質(zhì)和定理，學(xué)會構(gòu)造證明角等的圖形結(jié)構(gòu)，解決綜合題中做輔助線的難點。

2.6.4?環(huán)節(jié)四：實踐應(yīng)用

例題：請確定滿足條件的點P位置，要求尺規(guī)作圖題。

如圖3，直線L1與L2相交于點O，A，B是L2上兩點，點P是直線L1上的點，且∠APB=30°， 請在圖中作出符合條件的點P。

需要解決的問題：∠APB=30°的頂點不確定，如何保證：點P是直線L1上的點，且∠APB=30°將問題分成子問題鏈：如圖4。

子問題1：頂點不定，但是角兩邊所在的射線上分別有一點已知，什么圖形結(jié)構(gòu)中存在這樣的角之間的等量關(guān)系呢？

子問題2：圓中的角具有這樣的數(shù)量關(guān)系，那么是圓心角還是圓周角呢。

子問題3：如何構(gòu)造30°，尺規(guī)作圖中能很好構(gòu)造的角是60°。

子問題4：構(gòu)造什么圖形可得60°。

具體作法：如圖5。

（1）以AB為邊在L2上方作等邊△ABC。

（2）以C 為圓心，AB長為半徑作⊙C，交直線L1于P1，P2兩點。

則P1、P2就是所作出的符合條件的點P。

該作圖的依據(jù)是等邊三角形的定義、等邊三角形的性質(zhì)、同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。

設(shè)計意圖：通過搭建問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件與問題之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

2.6.5?環(huán)節(jié)五：布置作業(yè)

作業(yè)：用思維導(dǎo)圖整理構(gòu)造角等的方法。

要求：①每一種方法都配相應(yīng)的幾何圖形;②寫出每一種方法構(gòu)圖和推理論證的依據(jù)。

3?教學(xué)反思

本節(jié)課每一個學(xué)生都能夠積極地思考，主動表達自己的想法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣很高。在教師的整體建構(gòu)、問題引領(lǐng)下，學(xué)生不斷地建構(gòu)知識之間的聯(lián)系，完善已有的知識結(jié)構(gòu)和體系。筆者自己有一點思考，與廣大教師同仁商討交流。

3.1?尋求核心問題 統(tǒng)領(lǐng)喚醒知識

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要注重知識的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，弄清知識間的聯(lián)系。所以教師可以在備課時，運用思維導(dǎo)圖梳理所學(xué)知識，通過構(gòu)建知識系統(tǒng)分析出研究幾何圖形的核心內(nèi)容，以及知識背后滲透的思想方法。這樣，有助于教師尋找核心問題，學(xué)生通過思考核心問題，喚醒知識儲備，在核心問題的統(tǒng)領(lǐng)下，幫助學(xué)生構(gòu)建知識系統(tǒng)。在課堂中，學(xué)生通過積極思考，尋找能提供角等的圖形結(jié)構(gòu)、圖形變換，思考每一種構(gòu)造角等方法的合理性，論證過程利用有關(guān)性質(zhì)和定理，能夠理解不同方法之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

3.2?設(shè)置開放型問題 激發(fā)學(xué)生思考

“如何做一個角等于已知角”在初三復(fù)習(xí)階段是一個很開放型的問題，可以是尺規(guī)作圖，也可以不用尺規(guī)作圖，每一學(xué)生都能根據(jù)自身情況，運用初中三年所學(xué)過的幾何知識，構(gòu)造角等的幾何圖形結(jié)構(gòu)，然后運用性質(zhì)定理論證構(gòu)圖的合理性和正確性，基礎(chǔ)不夠扎實的能夠想出4到5種方法，基礎(chǔ)扎實的同學(xué)可以想出十幾種方法，滿足了不同層次的學(xué)生，不同需求的學(xué)生。

3.3?搭建問題鏈 引導(dǎo)學(xué)生思考

幾何綜合題一般思維鏈較長，學(xué)生建立已知條件和問題之間的聯(lián)系不容易，通過搭建問題鏈引導(dǎo)學(xué)生思考，能夠有效促進學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系?！爱嫵鰣D形并說出作圖依據(jù)”這個問題讓每一個同學(xué)需要做一個系統(tǒng)深入的思考，論證自己的想法是否正確。學(xué)生不斷地回顧并靈活運用已學(xué)的幾何性質(zhì)和定理，構(gòu)建了知識體系，掌握解答綜合幾何題目的問題分析方法，條件與問題關(guān)聯(lián)方法，以及輔助線應(yīng)用方法等，提高了分析問題、解決問題的能力， 本節(jié)課成功做到了整體建構(gòu)、問題引領(lǐng)，學(xué)生根據(jù)自己的理解建構(gòu)出了知識方法體系，在班級展示可以說是百花齊放。

4?教學(xué)設(shè)計特色說明

《作一個角等于已知角》在初二初學(xué)時，僅要求學(xué)生運用全等三角形的判定和性質(zhì)，通過尺規(guī)作圖方法解決這個問題。在初三一輪復(fù)習(xí)時，與初二相比，教學(xué)目標及承載的教育價值有很大的不同，站位更高。針對同一個問題，初三學(xué)生能夠綜合所學(xué)的幾何知識探索出更多直接或間接構(gòu)造（證明）角等的方法，能夠站在較高的水平層次去認識初中幾何知識的體系，用新的視角認識邊角作為幾何學(xué)中基本元素的重要性和價值，在學(xué)習(xí)體驗建構(gòu)的過程中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻

[1] 錢德春.關(guān)于“做一個角等于已知角”的教學(xué)設(shè)計與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013，（5）;16-17.