相春艷

【摘要】猜想與驗(yàn)證是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，將猜想與驗(yàn)證放到數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還可以更好地提升數(shù)學(xué)思考。筆者主要闡述了“猜想與驗(yàn)證”助力數(shù)學(xué)思考的三個(gè)方面：由模糊走向清晰、由淺顯走向深刻、由簡單走向嚴(yán)密。

【關(guān)鍵詞】猜想 驗(yàn)證 助力 數(shù)學(xué)思考

猜想是人們根據(jù)一定的經(jīng)驗(yàn)材料和已知事實(shí)，對數(shù)學(xué)問題做出的推測性判斷，可能為真，也可能為假。對于猜想得到的命題，或經(jīng)過演繹證明為真命題，或舉出反例判斷其為假命題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常以舉例的方法來驗(yàn)證猜想所得到的結(jié)論的正確性，只要出現(xiàn)一個(gè)反例則說明猜想是錯(cuò)誤的，如果沒有出現(xiàn)反例則可以說明結(jié)論是正確的。

數(shù)學(xué)思考是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的四個(gè)方面的課程具體目標(biāo)之一，主要是指通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步形成的一種主動(dòng)思考的意識、相對理性的思維方式，以及對數(shù)學(xué)基本思想的感悟。發(fā)展數(shù)學(xué)思考，有助于學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看待問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題、用數(shù)學(xué)的方式解決問題，從而有助于發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)是一門相對枯燥的學(xué)科，而“猜想”又很像他們愛玩的猜謎語游戲，這樣的形式會極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動(dòng)他們的積極性。更為重要的是，豐富學(xué)生猜想與驗(yàn)證的過程，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考具有重要意義。

一、助力數(shù)學(xué)思考由模糊走向清晰

就小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)猜想有時(shí)是在靈感、直覺中閃現(xiàn)出來的，此時(shí)的數(shù)學(xué)思考是相對模糊的，需要在不斷的猜想與驗(yàn)證中逐漸明確、走向清晰。

例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)二年級上冊“認(rèn)識線段”中探究點(diǎn)與線段之間的規(guī)律時(shí)：

師：這里有兩個(gè)點(diǎn)，在這兩點(diǎn)間畫線段，能畫幾條？請你試一試。

生：能畫1條，一眼就看出來了。

師：像這樣把兩個(gè)端點(diǎn)之間的一段連起來就能畫出1條線段。

師：現(xiàn)在有3個(gè)點(diǎn)，在每兩點(diǎn)之間畫一條線段，你能畫出幾條？

生：我覺得可以畫出3條線段，可以在左邊畫出一條，右邊畫一條，下面也可以畫一條，畫出的是三角形。

師：把每兩點(diǎn)連接起來，我們可以畫出3條線段，圍成一個(gè)三角形。

師：這里有4個(gè)點(diǎn)，請你在每兩點(diǎn)之間畫一條線段，先猜一猜，能畫出幾條？

生1：我猜可以畫4條，因?yàn)橄裆厦婺菢訃梢粋€(gè)四邊形就可以了。

（當(dāng)有2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生都可以通過肉眼觀察直接得到畫出幾條線段，并且在腦中產(chǎn)生一種模糊的形象，好像只要把點(diǎn)順勢連起來圍成一個(gè)圖形，就可以得到有幾條線段，所以當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)就會自然猜想可以畫出4條線段，所以學(xué)生的思考是比較模糊的）

師：到底這里能畫出幾條線段呢？還是請你們動(dòng)手來證明吧！

生2：除了外面的一圈之外，還可以在里面畫出線段來。

生3：可以畫6條耶，不止4條，看！

師：別著急，把你的想法與畫法告訴我，好嗎？（出示學(xué)生作品）

（通過動(dòng)手實(shí)踐驗(yàn)證后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)4個(gè)點(diǎn)不止可以畫4條線段，證明之前的猜想是錯(cuò)誤的，并且建立新的想法，不僅要外面圍起來，里面也可以連出線段）

師：現(xiàn)在又多了一個(gè)點(diǎn)，先猜一猜，你能畫出幾條線段？（學(xué)生們悄聲地猜著、比畫著……）

生1：我想，肯定比6條多，因?yàn)楸葎偛哦嗔艘粋€(gè)點(diǎn)，畫出來的線段也會多。

生2：我想，外邊可以連5條，里邊還可以連出好幾條呢，到底有幾條？一下子看不出來。

（有了之前的猜想與驗(yàn)證，當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考逐漸明朗起來，他們會想到：點(diǎn)越多、線段越多，也會想到：從外面、里面來考慮畫出全部的線段）

師：快快動(dòng)手，畫一畫，不就知道了？

生4：我們一共可以畫出10條線段，外邊有5條，里邊也有5條，一共有10條。

師：你們畫得很認(rèn)真，交流得也非常好。有時(shí)，我們在畫和數(shù)的時(shí)候用分層的方法來考慮，就會很清楚地看出一共有多少條線段了，這是一個(gè)非常好的學(xué)習(xí)方法。

對于二年級的學(xué)生來說，在探究點(diǎn)和線段的關(guān)系時(shí)，未必需要他們掌握兩者之間準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系，但是學(xué)生的數(shù)學(xué)思考卻在不斷的猜想與驗(yàn)證中逐漸由模糊走向清晰，找到畫出所有線段的方法。

二、助力數(shù)學(xué)思考由淺顯走向深刻

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)猜想有時(shí)是運(yùn)用歸納法得出的對一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷。學(xué)生通過觀察幾個(gè)事例得到一個(gè)共性的結(jié)論，此時(shí)的數(shù)學(xué)思考是比較淺顯的，只有在經(jīng)歷驗(yàn)證的過程后才能達(dá)到數(shù)學(xué)思考的深刻性。

例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“加法運(yùn)算律”中的加法交換律時(shí)：

1.計(jì)算

師：跳繩的一共有多少人？能列出不同的算式嗎？

生1：28+17=45（人）。

生2：17+28=45（人） 。

師：這兩個(gè)算式的結(jié)果相等，我們可以用等號連起來：28+17=17+28。

師：不計(jì)算怎么知道相等？

生1：都是把28和17加起來。

生2：都是求的跳繩的總?cè)藬?shù)。

小結(jié)：28個(gè)男生，17個(gè)女生，加起來，求的是——跳繩的一共有多少人。

17個(gè)女生，28個(gè)男生，求出跳繩的總?cè)藬?shù)。都是求的跳繩的總?cè)藬?shù)，所以是相等的。

2.提出猜想

師：仔細(xì)觀察這兩個(gè)式子，等號前后什么變了，什么沒變？

生1：數(shù)字的位置變了。

師：怎么變的呢？

生2：等號左邊的數(shù)字的位置互相交換了。

生3：但是它們的結(jié)果不變。

生4：也就是和不變。

師：是呀，這兩組等式，都是兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。

當(dāng)學(xué)生觀察兩組等式后，他們很容易得到“交換加數(shù)位置，和不變”的結(jié)論，這個(gè)結(jié)論非常明顯，但學(xué)生的數(shù)學(xué)思考卻是比較淺顯的，是不是所有的算式都滿足這樣的猜想，有待進(jìn)一步的驗(yàn)證。

3.驗(yàn)證

師：那么是不是其他的加法算式都符合這一規(guī)律呢？可以怎么辦？

生：再寫一個(gè)這樣的式子。

師：能說得具體些嗎？

生：寫一個(gè)加法式子，算出和，再交換這兩個(gè)數(shù)的位置，算出和，看看是不是相等的。

師：聽明白了嗎？自己舉個(gè)例子算算看。

生1：20+37=57，37+20=57。20+37=37+20。

生2：25+43=43+25，都等于68。

師：你們的等式呢？符合規(guī)律嗎？有沒有算出來和不相等的？

生：沒有。

師：現(xiàn)在我們可以下結(jié)論了：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。

當(dāng)全班學(xué)生舉的例子中，都沒有一個(gè)反例時(shí)，才可以基本確定所得猜想的正確性。在經(jīng)歷了猜想與驗(yàn)證的過程后，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考由淺顯走向深刻。

三、助力數(shù)學(xué)思考由簡單走向嚴(yán)密

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)猜想有時(shí)還會運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的猜想。學(xué)生單單通過類比猜想得到的結(jié)論不一定都是正確的，此時(shí)的數(shù)學(xué)思考是相對簡單的。在不斷地猜想與驗(yàn)證后，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考才會變得更加嚴(yán)密。

例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”時(shí)：

1.提出猜想，引導(dǎo)質(zhì)疑

師：我們知道2的倍數(shù)，個(gè)位上是0、2、4、6、8;5的倍數(shù)，個(gè)位上是5和0。那你能猜想一下3的倍數(shù)會有什么特征嗎？為什么這樣想？說說你的想法。

生：3的倍數(shù)可能是個(gè)位上是3、6、9的數(shù)。

師：你們是不是都這樣猜想？利用以前的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)新內(nèi)容是不錯(cuò)的學(xué)習(xí)方法。今天大家聯(lián)系2和5的倍數(shù)的特征，這樣猜想，想法非常好，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)?？梢赃@樣類推。那么這一次的猜想對不對呢？誰來舉個(gè)例子驗(yàn)證一下？

生：16。

師：16個(gè)位上是6，是3的倍數(shù)嗎？

生：不是。

生：還有很多19、23、49都不是3的倍數(shù)。

師：看來，我們這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。

2.利用經(jīng)驗(yàn)，組織探究

師：那現(xiàn)在我們怎么辦？我們學(xué)習(xí)2和5的倍數(shù)特征時(shí)，還有什么經(jīng)驗(yàn)可以利用？（找出倍數(shù)，觀察比較，發(fā)現(xiàn)特征）

現(xiàn)在我們先找出100以內(nèi)3的倍數(shù)，看看能不能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。

（出示百數(shù)表，讓學(xué)生把3 的倍數(shù)圈出來）

學(xué)生受“2、5的倍數(shù)的特征”影響，很快類比得到“3的倍數(shù)可能是個(gè)位上是3、6、9的數(shù)”的猜想。此時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考是簡單的，教師沒有急于否定學(xué)生的猜想，肯定了他們類比的想法，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證。再類比找2和5的倍數(shù)的特征的方法，先找出100以內(nèi)3的倍數(shù)有哪些，從而觀察比較找出規(guī)律。學(xué)生的數(shù)學(xué)思考在類比、驗(yàn)證、再類比中，逐漸由簡單走向嚴(yán)密。

經(jīng)歷“猜想”課堂的學(xué)習(xí)不只是為了記住某些規(guī)律，而是讓學(xué)生在猜想驗(yàn)證的過程中，使他們的數(shù)學(xué)思考走向更深的層次，讓學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更給力。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]潘小福，陳美華. “猜想”應(yīng)用于教學(xué)的問題與對策[J].上海教育科研，2016（7）.