龍正武 秦玉波

(1. 人民教育出版社課程教材研究所 100081；2.山東省日照市教育科學(xué)研究中心 276826)

與2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱“實(shí)驗(yàn)版課標(biāo)”)相比，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”)顯著加強(qiáng)了高中學(xué)生的代數(shù)培養(yǎng)要求．例如，課標(biāo)給出的高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包含函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四條主線，代數(shù)的地位有所突出；課標(biāo)在必修內(nèi)容中，設(shè)置了“預(yù)備知識(shí)”主題，明確了“以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，結(jié)合集合、常用邏輯用語(yǔ)、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)作學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識(shí)技能等方面的準(zhǔn)備，幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)渡”[1]的要求，這在本質(zhì)上也是要求學(xué)生提高運(yùn)用代數(shù)知識(shí)解題的能力．

課標(biāo)的這些要求，是對(duì)近些年來(lái)一線教學(xué)需求的反映．事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)版課標(biāo)實(shí)施以來(lái)，有關(guān)訪談表明：“初中不講，高中不會(huì)”的現(xiàn)象，突出表現(xiàn)在代數(shù)運(yùn)算公式和方法等內(nèi)容．絕大多數(shù)教師同意增補(bǔ)初高中銜接內(nèi)容，需要增補(bǔ)的內(nèi)容按頻次由高到低的前七項(xiàng)依次是：因式分解、韋達(dá)定理、二次函數(shù)、十字相乘、二次不等式、乘法公式、配方法．[2]這些多與代數(shù)相關(guān).

另一方面，近些年的高考中，也特別注重學(xué)生代數(shù)解題能力的考察．例如，2019年高考數(shù)學(xué)中，全國(guó)II卷的文理科第4題，借助有關(guān)的物理背景給出了等式

筆者們?cè)?jīng)多次在教師教材培訓(xùn)現(xiàn)場(chǎng)和教研現(xiàn)場(chǎng)與相關(guān)教師討論如何加強(qiáng)高中學(xué)生的代數(shù)解題能力，大家給出的答案往往局限于讓學(xué)生多做題、多訓(xùn)練．實(shí)際上，考慮到代數(shù)處理的主要對(duì)象是數(shù)學(xué)符號(hào)，因此提升代數(shù)解題能力首先要做的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，這可以通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力來(lái)實(shí)現(xiàn)[3]．除此以外，我們認(rèn)為，還可以緊貼課標(biāo)要求，通過(guò)采取如下具體措施，從基礎(chǔ)知識(shí)著手，逐步提升高中學(xué)生的代數(shù)解題能力．

1 提倡代數(shù)知識(shí)與其他知識(shí)的結(jié)合，提升代數(shù)思維能力

例如，在講解全稱量詞時(shí)可以指出，初中階段學(xué)過(guò)的公式a2-b2=(a-b)(a+b)等，本質(zhì)上是一個(gè)全稱量詞命題，只不過(guò)省略了“任意給定實(shí)數(shù)a，b”即“?a,b∈R”．對(duì)于公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，也可以用類似的方式進(jìn)行呈現(xiàn)．通過(guò)這種方式，就能讓學(xué)生借助新學(xué)到的內(nèi)容不知不覺(jué)地夯實(shí)代數(shù)恒等式等基礎(chǔ)知識(shí)．

還可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算尋找不同的解題思路，讓學(xué)生養(yǎng)成計(jì)算之前先觀察和思考的習(xí)慣，幫助學(xué)生達(dá)到高考有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的“能根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑”[4]要求．例如，2013年高考數(shù)學(xué)安徽卷文科第17題如下：

為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：

(Ⅰ)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率(60分及60分以上為及格)；

2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考全國(guó)課標(biāo)卷第21題第二問(wèn)，給出了函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x，g(x)=f(2x)-4bf(x)，以及x>0時(shí)g(x)>0的條件，要考生求b的最大值．在解答過(guò)程中，考生在得出g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]的基礎(chǔ)上，必須注意到上式的右邊，如果將ex+e-x看成一個(gè)整體就可以看成一元二次的形式，從而可以用十字相乘法分解因式，即得到g′(x)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2)．

考生如果注意不到這一點(diǎn)，解題難度就大大增加了．

以上兩個(gè)例子，從表面上看起來(lái)是考察函數(shù)導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，但是毫無(wú)疑問(wèn)，如果學(xué)生看不出來(lái)題目中隱藏的二次形式，有關(guān)代數(shù)基礎(chǔ)并不牢固的話，是不太可能順利得出相關(guān)答案的，而很多高考題其實(shí)都具有這個(gè)特征．高中學(xué)生代數(shù)能力的培養(yǎng)，是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，一線的教學(xué)中，要處處注意鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)知識(shí)解題，提高學(xué)生的代數(shù)解題能力．

2 以不等式為載體訓(xùn)練多種能力

課標(biāo)將不等式的有關(guān)內(nèi)容放在了必修部分的“預(yù)備知識(shí)”主題中，所以在高中開(kāi)始階段，就可以結(jié)合簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式、一元二次不等式等的教學(xué)，鍛煉學(xué)生的分類討論、配方、數(shù)形結(jié)合等能力，并在后續(xù)教學(xué)內(nèi)容中不斷強(qiáng)化訓(xùn)練.

一線的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，上述絕對(duì)值不等式、一元二次不等式求解等知識(shí)往往講得非?？?，有些教師會(huì)將其中涉及的分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)留到函數(shù)導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容時(shí)再進(jìn)行講解和訓(xùn)練．但我們認(rèn)為，從高中一年級(jí)開(kāi)始就有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生多種能力，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，效果也更好．有了持續(xù)的訓(xùn)練過(guò)程，學(xué)生需要使用這些方法解決復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，才更有可能從容面對(duì)．

總而言之，課標(biāo)突出了對(duì)高中學(xué)生代數(shù)解題能力的要求，該能力的提升應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，幫助學(xué)生加強(qiáng)各數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并從高一年級(jí)開(kāi)始將代數(shù)能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)高中階段．順帶提及的是，根據(jù)課標(biāo)編寫(xiě)并通過(guò)國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核的《普通高中教科書(shū) 數(shù)學(xué)(B版) 必修 第一冊(cè)》[6]，是按照上述思路呈現(xiàn)有關(guān)代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的，感興趣的一線教師可以進(jìn)一步參考．