王 蕊 梁 棟

(天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué) 301700)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱‘四基’)；提高從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡(jiǎn)稱‘四能’)．”[1]因此，數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，不能以數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用作為唯一的教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)立足問題解決的全過程，真正落實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．事實(shí)上，裂項(xiàng)法的學(xué)習(xí)過程蘊(yùn)含著豐富的啟迪學(xué)生思維的資源．下面筆者談?wù)勛约旱膸c(diǎn)思考．

1 從概念和公式推導(dǎo)過程了解裂項(xiàng)法

人教社A版教材中是用歸納猜想的方式得到等差數(shù)列通項(xiàng)公式的，除此之外，教學(xué)中，多數(shù)教師會(huì)給出下面的方法：

由等差數(shù)列的定義，可知

a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，上面等式兩邊分別相加，得an-a1=(n-1)d，

所以an=a1+(n-1)d．

這種方法難度不大，學(xué)生不存在理解上的困難，同時(shí)還能加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列定義的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)概念在解決問題中的應(yīng)用．這種方法實(shí)質(zhì)是裂項(xiàng)法，即把公差d“裂”為an-an-1，然后求一個(gè)每項(xiàng)都是d的常數(shù)列的前n-1項(xiàng)和，最后得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．常見的用裂項(xiàng)法求和的題目，數(shù)列通項(xiàng)是已知的，“裂”的結(jié)果是確定的．等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中，an是未知的，求和也不是解題目標(biāo)，而是通過求和得到計(jì)算an的公式．但二者采用的方法是相同的，都是通過“裂”和“求和”得到結(jié)果．從這個(gè)意義上說，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法就是裂項(xiàng)法，從這個(gè)推導(dǎo)過程認(rèn)識(shí)裂項(xiàng)法，簡(jiǎn)單自然，以此作為學(xué)習(xí)裂項(xiàng)法的起點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維習(xí)慣．

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法也是裂項(xiàng)法．我們具體分析一下．

教材中是這樣推導(dǎo)的：

一般地，對(duì)等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n項(xiàng)和是Sn=a1+a2+a3+…+an，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，上式可寫成

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1．

①

我們發(fā)現(xiàn)，如果用q乘①的兩邊，可得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，

②

①②的右邊有很多相同的項(xiàng)，用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項(xiàng)，得

(1-q)Sn=a1-a1qn，

當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為

“①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項(xiàng)”，我們把這些消去的項(xiàng)保留下來，便可發(fā)現(xiàn)

(1-q)Sn=(a1-a1q)+(a1q-a1q2)+(a1q2-a1q3)+…+(a1qn-1-a1qn)，

當(dāng)q≠1時(shí)，等式兩邊同除以1-q，得

考慮到教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成和教學(xué)重點(diǎn)的突出，在推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，推導(dǎo)過程中包含的裂項(xiàng)法的思想不必向?qū)W生說明，但在引入裂項(xiàng)法時(shí)，結(jié)合這些推導(dǎo)過程進(jìn)行分析，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力．

2 通過an與Sn的關(guān)系理解裂項(xiàng)法

數(shù)列{an}能否用裂項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和，要看是否存在數(shù)列{bn}，滿足an=bn+1-bn，其中n∈N*．任意給定一個(gè)數(shù)列{an}，設(shè)Sn是其前n項(xiàng)和，則有an=Sn-Sn-1(n∈N*，n≥2)，這個(gè)等式表明，an可以“裂”為Sn-Sn-1，即給出了bn的一個(gè)結(jié)果：bn=Sn-1(n≥2)．由此可知，只要給出一個(gè)Sn，由等式an=Sn-Sn-1就可以得到一個(gè)可用裂項(xiàng)法求和的數(shù)列．例如，

給定Sn=2n+1-1，則Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n+1-2n=2n，n≥2．

這樣，可將2n“裂”為2n+1-2n，用裂項(xiàng)法求等比數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和．

用裂項(xiàng)法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

給定Sn，由an=Sn-Sn-1得到an后，可適當(dāng)對(duì)an的表達(dá)式變形，加大或降低問題的難度，最后得到用裂項(xiàng)法求和的數(shù)列問題．對(duì)學(xué)生而言，他們只知道an，不知道Sn，是已知an求Sn，這無疑是個(gè)難點(diǎn)．在這個(gè)過程中，要以鍛煉學(xué)生的觀察、猜想能力為目標(biāo)，通過對(duì)各種形式“裂”的結(jié)果的探究，積累必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

如果問題難度較大，學(xué)生的解題過程不會(huì)太順利，即使學(xué)生知道an由Sn-Sn-1得到，但還原出這一結(jié)果也是很困難的，因此，教師要盡可能多給出“新穎”的Sn，讓學(xué)生體驗(yàn)不同形式“裂”的結(jié)果，逐漸悟出其中的規(guī)律，思考時(shí)有所遵循．

設(shè)m是常數(shù)，由an=Sn-Sn-1=(Sn+m)-(Sn-1+m)，可知an“裂”的結(jié)果并不唯一．

3 通過數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)法

裂項(xiàng)法的核心是“裂”，找到“裂”的結(jié)果就等于問題得到了解決，由于“裂”的結(jié)果是一個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差，因此教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生觀察一些數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差，發(fā)現(xiàn)“裂”的特征．

從求數(shù)列前n項(xiàng)和的角度看，對(duì)等差數(shù)列{an}，

這是用裂項(xiàng)法求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，其實(shí)質(zhì)和教材中的方法是相同的．

qn-1-qn=qn-1(1-q)也可以看成兩個(gè)數(shù)列{qn-1}和{qn}對(duì)應(yīng)項(xiàng)的差．

對(duì)等差數(shù)列{n}和等比數(shù)列{qn-1}，研究它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積，得到新的數(shù)列{nqn-1}，這是典型的“錯(cuò)位相減法”的模型．進(jìn)一步，考察數(shù)列{nqn-1}相鄰兩項(xiàng)的差，

(n+1)qn-nqn-1=nqn+qn-nqn-1

=(q-1)nqn-1+qn,

于是有(q-1)nqn-1=(n+1)qn-nqn-1-qn．

這個(gè)等式雖不是一般意義上“裂”的形式，但仍可用來求數(shù)列{nqn-1}的前n項(xiàng)和，其思想和裂項(xiàng)法相同．如果求數(shù)列{nqn}的前n項(xiàng)和，只需在上面等式兩邊同乘q即可．

思維的起點(diǎn)是思維過程中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，是學(xué)生思維生長(zhǎng)、發(fā)展的基礎(chǔ)．通過研究一個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差，目的不是為獲取“裂”的結(jié)果，而是讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的過程，總結(jié)“裂”的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)更多有價(jià)值的結(jié)論，消除對(duì)裂項(xiàng)法的神秘感，提高發(fā)現(xiàn)問題的能力，為應(yīng)用裂項(xiàng)法提供思考的基礎(chǔ)．在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)體會(huì)到數(shù)學(xué)方法不是憑空飛出來的，而是有它出現(xiàn)的必然性和自然性．在積累了一定的經(jīng)驗(yàn)之后，面對(duì)具體問題時(shí)，就知道如何通過猜測(cè)和嘗試尋找“裂”的結(jié)果，在一定程度上解決“為什么這樣想”的問題，即解決思維起點(diǎn)的問題．

有了(q-1)nqn-1=(n+1)qn-nqn-1-qn，很自然地提出問題：nqn-1能不能“裂”呢？如果能，“裂”的結(jié)果具有什么特點(diǎn)？

觀察等式兩邊，發(fā)現(xiàn)如果能“裂”，很可能是nqn-1=[a(n+1)+b]qn-(an+b)qn-1的形式，a，b如果存在，可用待定系數(shù)法確定．

上面等式整理得，n=(aq-a)n+aq+bq-b，

所以aq-a=1，aq+bq-b=0，

這樣就得到了nqn-1“裂”的結(jié)果，即

從體驗(yàn)過程、積累經(jīng)驗(yàn)，到觀察猜想、嘗試驗(yàn)證，是學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)法從記憶模仿到靈活運(yùn)用的過程．在這個(gè)過程中，對(duì)學(xué)生思維起決定作用的不是裂項(xiàng)法的解題套路，而是裂項(xiàng)法的思想．另一方面，我們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)要暴露解決問題的思維過程，目的是使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，而不是記憶簡(jiǎn)單的結(jié)論．然而，思維結(jié)果和思維過程是密不可分的，思維過程取決于思維方向，思維方向指向思維結(jié)果．沒有思維結(jié)果，思維過程也就無從談起，每一個(gè)思維過程都是由若干思維結(jié)果構(gòu)成的，思維結(jié)果是新的思維過程的基礎(chǔ)，因此，在向?qū)W生展示思維過程的同時(shí)，還要關(guān)注思維結(jié)果，結(jié)果與過程有機(jī)融合，教學(xué)效益才能最大化．研究數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差，既是一種探索的過程，也包含對(duì)結(jié)果的深入思考．

4 從數(shù)學(xué)方法間的聯(lián)系中提高運(yùn)用裂項(xiàng)法的能力

數(shù)學(xué)知識(shí)、方法之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法也不是一次完成的，因此，教師要把數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的教學(xué)放在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的背景下系統(tǒng)處理，這就要求教師具備揭示數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間內(nèi)在聯(lián)系的意識(shí)，具有挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)、方法間相互聯(lián)系的方法，進(jìn)而提出富有思維深度的數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)的問題情境，促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提升解決問題的能力．

裂項(xiàng)法和數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系．舉個(gè)例子，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明過程中有下面的步驟：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即

那么n=k+1時(shí)，有

把上面最后一行的中間步驟去掉，

③

凸n邊形內(nèi)角和等于(n-2)π，其中n≥3，這是用數(shù)學(xué)歸納法證明的一個(gè)典型題目．借鑒數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，可以用裂項(xiàng)法證明．

設(shè)凸n邊形內(nèi)角和為an(n≥3)．如圖，考察凸k+1邊形A1A2…Ak+1(k≥3)，連結(jié)Ak-1Ak+1，

則凸k+1邊形A1A2…Ak+1的內(nèi)角和等于凸k邊形A1A2…Ak-1Ak+1內(nèi)角和加△Ak-1AkAk+1

的內(nèi)角和，又△Ak-1AkAk+1的內(nèi)角和等于π，于是有ak+1=ak+π，即ak+1-ak=π．

分別令k=3，4，…，n-1(n≥4)，

由ak+1-ak=π，得

a4-a3=π，a5-a4=π，…，an-an-1=π，

上面不等式兩邊分別相加，得an-a3=(n-3)π，

所以an=(n-3)π+a3．

因?yàn)閍3=π，

所以an=(n-2)π，n≥4．

又a3=π滿足an=(n-2)π，

所以an=(n-2)π，n≥3．

上述證明方法和等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法是相同的．由ak+1-ak=π可知，a3，a4，a5，…，an是公差為π的等差數(shù)列，用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可直接得出結(jié)論．就本題的證明而言，采用數(shù)學(xué)歸納法和裂項(xiàng)法效果是相同的，但從思維的角度看，差別還是很大的，因?yàn)榧词共恢?n-2)π這個(gè)結(jié)論，用裂項(xiàng)法也能推出這個(gè)結(jié)論，而數(shù)學(xué)歸納法則是知道結(jié)論的前提下進(jìn)行證明．當(dāng)然，先歸納猜想結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明是另外的問題．

最后指出，雖然等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也可以用裂項(xiàng)法求得，但教材中的方法簡(jiǎn)單易懂且直觀性較強(qiáng)，又蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的教育元素，教學(xué)中應(yīng)以教材中的方法為重點(diǎn)．隨著學(xué)習(xí)的深入，可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用裂項(xiàng)法去探索證明的方法．考慮到課標(biāo)的要求，以上關(guān)于裂項(xiàng)法的內(nèi)容，不一定全向?qū)W生介紹，而應(yīng)根據(jù)教學(xué)實(shí)際，在必要的時(shí)候，有選擇地讓學(xué)生探究．