何重飛

(廣州市鐵一中學(xué) 510600)

文[1]將一些特殊平面圖形或空間幾何體的定值性質(zhì)的一系列研究([2]～[4])結(jié)論推廣到三角形、四邊形、正多邊形、四面體的“重心圓(或重心球)”，即

命題1[1]以三角形(平面四邊形、平面正多邊形、四面體)的重心為圓(球)心的任意圓周(球面)上的點(diǎn)到三角形(平面四邊形、平面正多邊形、四面體)各頂點(diǎn)的距離的平方和為定值.

上述命題的證明筆者采用純幾何法，這并未反映結(jié)論成立的實(shí)質(zhì)條件，難于推廣. 本文作者從另一個(gè)角度，引入?yún)?shù)，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，將結(jié)論進(jìn)一步推廣到圓錐曲線中，得到更一般情形下的定值性質(zhì).

定理1設(shè)G為平面(或空間)有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,An}的重心，則以G為中心的橢圓上的任意一點(diǎn)到A1,A2,…,An距離的平方和與該點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離的乘積的n倍之和為定值.

|PAi|2=(acosθ-xi)2+(bsinθ-yi)2

且由橢圓焦半徑公式知

|PF1|·|PF2|=(a+ccosθ)(a-ccosθ)

=a2-c2cos2θ=a2-a2cos2θ+b2cos2θ，

當(dāng)A1,A2,…,An是空間內(nèi)給定的n個(gè)點(diǎn)時(shí)，易知結(jié)論依然成立，證明與平面情形類似，在此不再累述.

當(dāng)橢圓退化成圓，即當(dāng)a=b=|PF1|=|PF2|=r時(shí)，則有

推論1設(shè)G為平面(或空間)有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,An}的重心，則以G為中心，r為半徑的圓上的任意一點(diǎn)到A1,A2,…,An距離的平方和為定值.

把圓當(dāng)成橢圓的退化形式時(shí)，

則有a=b=|PF1|=|PF2|=r，

由三角形(平面四邊形、正多邊形，四面體)重心的性質(zhì)及推論1即可推得命題1[1].

定理2設(shè)G為平面(或空間)有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,An}的重心，則以G為中心的雙曲線上的任意一點(diǎn)到A1,A2,…,An距離的平方和與該點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離的乘積的n倍之差為定值.

且由雙曲線焦半徑公式知

|PF1|·|PF2|=|csecθ+a||csecθ-a|

=c2sec2θ-a2=a2sec2θ+b2sec2θ-a2，

當(dāng)A1,A2,…,An是空間內(nèi)給定的n個(gè)點(diǎn)時(shí)，結(jié)論也成立，證明與平面情形類似.

定理3設(shè)G為平面(或空間)有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,An}的重心，則以G為焦點(diǎn)的拋物線上的任意一點(diǎn)到A1,A2,…,An距離的平方和與該點(diǎn)到其準(zhǔn)線距離的平方的n倍之差為定值.

|PAi|2=(2pt2-xi)2+(2pt-yi)2

又由拋物線的定義知|PH|2=|PG|2=

所以有

當(dāng)A1,A2,…,An是空間內(nèi)給定的n個(gè)點(diǎn)時(shí)，易知結(jié)論也依然成立，證明同樣與平面情形類似. 定理得證.

顯然，本文的定理1、2、3中的橢圓、雙曲線、拋物線上的任意一點(diǎn)均可分別推廣到橢球面、雙曲面、拋物面，限于篇幅，其證明留給感興趣的讀者.