蔣詩泉，劉思峰，劉中俠

(1.銅陵學院 數(shù)學與計算機學院，安徽 銅陵 244000；2.南京航空航天大學 經(jīng)濟與管理學院，江蘇 南京 210016)

一、引 言

自從Zadeh于1965年提出模糊集理論以來，該理論在各個領域被廣泛應用[1]。Atanassov等拓展了傳統(tǒng)的模糊集理論，提出直覺模糊集(intuitionstic fuzzy set，IFS)和區(qū)間直覺模糊集[2]。隨著對直覺模糊集理論研究的深入，成果越來越豐碩。廖虎昌等對直覺模糊信息的集成理論進行了系統(tǒng)研究，其研究成果在多屬性決策問題中得到廣泛應用[3-4]。隨著理論研究和應用研究不斷擴展，學者們提出了猶豫模糊集(Hesitant fuzzy set，HFS)和區(qū)間猶豫模糊集(Interval hesitant fuzzy set，IVHFS)[5]?；依碚撝饕浴安糠中畔⒁阎?，部分信息未知”的“少數(shù)據(jù)、貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象[6]。由于實際問題的背景、獲取信息手段和方法等具有復雜性，所以獲取信息同時包含模糊性和灰性等復雜不確定性。為此有研究者試圖將灰理論與模糊理論進行有機融合與集成?，F(xiàn)有研究集中在兩個方面：一是直覺模糊理論與灰色關聯(lián)度模型有機集成構(gòu)建決策模型，劉勇等構(gòu)建了一種動態(tài)的區(qū)間直覺模糊數(shù)的灰色關聯(lián)度決策模型，李鵬等針對決策信息為直覺模糊數(shù)時，提出一種基于灰色關聯(lián)分析和MYCIN不確定因子灰色直覺模糊的決策方法[7-8]。Zhang提出了一種基于梯形直覺模糊數(shù)的灰色關聯(lián)投影決策方法[9]。二是將直覺模糊理論與灰色預測和灰色聚類模型進行集成，向鵬成等將直覺模糊層次分析法和灰色聚類方法結(jié)合，提出基于灰色直覺模糊層次分析法的風險評價模型[10]。李鵬等基于灰數(shù)“核”與“灰度”的內(nèi)涵，將直覺模糊數(shù)的猶豫度和記分函數(shù)結(jié)合構(gòu)建了直覺模糊數(shù)序列GM(1，1)預測模型，從而實現(xiàn)了直覺模糊數(shù)的預測[11]。這些研究不但不成體系而且處于初級階段，沒有實現(xiàn)理論的深度融合，很多理論有待進一步探究。在實際決策問題中猶豫模糊信息、灰信息和模糊信息往往相互滲透，很難準確界定。為此，Li等提出了灰色猶豫模糊集，把灰集看作是灰色猶豫模糊集的一個拓展[12]。由于信息受多源因素的影響，常表現(xiàn)為復雜不確定性，為精確描述復雜不確定信息，劉思峰教授提出了一般灰數(shù)的概念，從而解決復雜信息的準確表征問題，但是由于一般灰數(shù)結(jié)構(gòu)復雜，所以其運算法則、距離測度和排序等問題都沒有得到很好的解決[13]。也有學者基于灰數(shù)的內(nèi)涵和產(chǎn)生的背景，構(gòu)建了一般灰數(shù)距離測度公式及相應的決策模型[14-16]。為有效克服一般灰數(shù)運算系統(tǒng)沒有被滿意解決這一現(xiàn)狀，本文試圖規(guī)避一般灰數(shù)的運算，利用灰數(shù)可能度函數(shù)和模糊集成理論等方法，定義直覺灰數(shù)(intuitionstic grey number，IGN)和直覺灰數(shù)集(intuitionstic grey set，IGS)，將一般灰數(shù)中每個小區(qū)間灰數(shù)用一個直覺灰數(shù)來表征，一般灰數(shù)就被等值轉(zhuǎn)換為一個直覺灰數(shù)集。為此，本文定義了兩個直覺灰數(shù)集之間的運算，以便實現(xiàn)一般灰數(shù)運算的轉(zhuǎn)換，在此基礎上分析了直覺灰數(shù)的運算法則、集成算子、距離測度等內(nèi)容。最后，利用一個實際決策案例，通過方法比較，驗證了該方法的科學性、合理性和可行性。

二、一般灰數(shù)及直覺灰數(shù)基本理論

定義4：用來描述一個灰數(shù)取某一數(shù)值的“可能性”，或某一具體數(shù)值為灰數(shù)真值的“可能性”的連續(xù)函數(shù)稱為灰數(shù)可能度函數(shù)。其中，取某個值的可能性大小習慣記為P(?i)，常用一個規(guī)定起點、終點確定左升、右降的連續(xù)函數(shù)為典型可能度函數(shù)。

在實踐運用時，為了編程和計算方便，多數(shù)情況下L(x)和R(x)簡化為直線方程，所以其典型灰數(shù)可能度函數(shù)如圖1所示：

圖1 典型灰數(shù)可能度函數(shù)

其一般的數(shù)學表達式為：

定義5建立了一般灰數(shù)與一個直覺灰數(shù)集等值轉(zhuǎn)換的方法，也表明可以將直覺灰數(shù)看作一般直覺模糊數(shù)的擴展，直覺灰數(shù)集理論也是一般直覺模糊理論的拓展。從而實現(xiàn)了灰理論與模糊理論的有機融合，利用灰理論來解決模糊理論中“少數(shù)據(jù)、貧信息”的不確定性問題。

三、直覺灰數(shù)的運算法則與集成算子理論

利用t-conorm公式Sp(x1，x2)=x1+x2-x1x2和t-norm公式Tp(y1，y2)=y1y2具有單調(diào)遞增性有界性等和灰數(shù)的灰度不減原則，定義直覺灰數(shù)的運算法則與直覺灰數(shù)的集成算法理論。

定義6：設α=(P(?i)，go(?i))，α1=(P(?1)，go(?1))，α2=(P(?2)，go(?2))為直覺灰數(shù)，則

1.α1∩α2=(min(P(?1)，P(?2))，max(go(?1)，go(?2))

2.α1∪α2=(max(P(?1)，P(?2))，max(go(?1)，go(?2))

3.α1⊕α2=(P(?1)+P(?2)-P(?1)P(?2)，go(?1)go(?2))

4.α1×α2=(P(?1)·P(?2)，go(?1)+go(?2)-go(?1)·go(?2))

5.λα=(1-(1-P(?))λ，go(?)λ)，λ>0

6.αλ=(P(?)λ，1-(1-go(?))λ)，λ>0

定理2：經(jīng)過由IGWA的算子作用后的直覺灰數(shù)滿足廣義灰度不減公理。

四、基于直覺灰數(shù)集的一般灰數(shù)距離測度

通過定義5實現(xiàn)一般灰數(shù)與直覺灰數(shù)集之間的等值轉(zhuǎn)換，以此為基礎定義一般灰數(shù)間的距離測度的一般性公式。

證明：(略)。

五、基于直覺灰數(shù)集的灰色多屬性決策方法步驟

在一般灰數(shù)代數(shù)運算系統(tǒng)還沒有滿意解決的前提下，通過把一般灰數(shù)等值轉(zhuǎn)換為直覺灰數(shù)集，實現(xiàn)科學決策，提高決策的精準度。同時，該方法可以規(guī)避一般灰數(shù)間比較和指標規(guī)范化處理等運算問題。

STEP1：基于灰數(shù)可能度函數(shù)構(gòu)造原理，并結(jié)合實際問題背景，構(gòu)建灰數(shù)可能度函數(shù)；

STEP2：將一般灰數(shù)表征的決策信息等值轉(zhuǎn)換為含直覺灰數(shù)的直覺灰數(shù)集表征；

STEP3：將每個屬性指標的直覺灰數(shù)集轉(zhuǎn)換為一個直覺灰數(shù)；

STEP4：求出最優(yōu)理想方案及相應各屬性的直覺灰數(shù)值；

STEP5：求每個方案與最優(yōu)理想方案的距離，并進行排序，距離值越小，方案越優(yōu)。

六、應用案例分析

隨著人們對物質(zhì)生活和健康的意識提升，老年保健品生產(chǎn)企業(yè)現(xiàn)有產(chǎn)品功能已經(jīng)不能滿足中老年人群需求，出現(xiàn)了難于銷售，經(jīng)濟效益下降等現(xiàn)象，經(jīng)公司高層研究決定，擬準備研發(fā)功能齊全的保健品，在產(chǎn)品研發(fā)之前，首先，公司確定由市場部進行研發(fā)前的市場前期調(diào)研。為了保證調(diào)研數(shù)據(jù)真實性，分兩隊人員對擬開發(fā)的三種類型產(chǎn)品進行獨立前期調(diào)研。其次，組成專家論證組將兩隊調(diào)研結(jié)果進行綜合分析后。最后，用產(chǎn)品銷售量、產(chǎn)品市場占有率、產(chǎn)品開發(fā)成本三個指標對三種類型產(chǎn)品進行評價，根據(jù)評價排序結(jié)果，選擇一種產(chǎn)品進行投資。由于不同調(diào)研隊對同一指標所獲得結(jié)果不一致，為了精確地表達這些決策信息，本文采用一般灰數(shù)將其信息表征出來。為了簡化起見，將案例簡述為：一家企業(yè)，現(xiàn)要在這三種產(chǎn)品A1，A2，A3中選擇一種產(chǎn)品進行開發(fā)投資，其評價指標分別為：S1表示產(chǎn)品銷售量，S2表示產(chǎn)品市場占有率，S3表示產(chǎn)品開發(fā)成本，指標權重為W=(w1，w2，w3)，經(jīng)專家評價三個指標的權重范圍為w1∈[0.2，0.4]，w2∈[0.2，0.5]，w3∈[0.1，0.3]，具體指標數(shù)據(jù)見表1，三個評價指標的討論域分別是[0，20]，[5，25]，[80，130]。分析該企業(yè)如何在這三個產(chǎn)品中選擇一款產(chǎn)品進行開發(fā)投資。

表1 決策矩陣

STEP1：根據(jù)本問題的實際情況，結(jié)合可能度函數(shù)的構(gòu)造原理，通過多輪專家討論，確定三個屬性指標的可能度函數(shù)分別為：

STEP2：將方案的每個指標的一般灰數(shù)值轉(zhuǎn)換為直覺灰數(shù)集。

項目(方案)A1中的S1={〈0.916，0.1〉，〈0.833，0.1〉}，S2={〈0.938，0.05〉，〈0.889，0.1〉}，S3={〈0.934，0.06〉，〈0.7，0.1〉}；

項目(方案)A2中的S1={〈0.75，0.1〉，〈1，0.1〉}，S2={〈0.75，0.1〉，〈0.909，0.1〉}，S3={〈0.652，0.2〉，〈0.9，0.1〉}；

項目(方案)A3中的S1={〈0.792，0.15〉，〈0.833，0.1〉}，S2={〈0.75，0.1〉，〈0.818，0.1〉}，S3={〈0.435，0.2〉，〈0.913，0.12〉}。

項目A1的各屬性集成為直覺灰數(shù)分別為：

S1=〈0.916，0.1〉⊕〈0.833，0.1〉=〈0.882，0.099〉，S2=〈0.938，0.05〉⊕〈0.889，0.1〉=〈0.917，0.071〉，S3=〈0.934，0.06〉⊕〈0.7，0.1〉=〈0.896，0.077〉。

類似地，項目A2中的各屬性集成為直覺灰數(shù)分別為：

S1=〈0.5，0.099〉，S2=〈0.849，0.099〉，S3=〈0.814，0.099〉。

項目A3中的各屬性集成為直覺灰數(shù)分別為：

S1=〈0.814，0.122〉，S2=〈0.787，0.099〉，S3=〈0.902，0.155〉。

將各方案指標屬性的直覺灰數(shù)值用一個矩陣表示，詳見表2。

表2 集成直覺灰數(shù)信息矩陣

STEP4：求出理想方案及相應各屬性的直覺灰數(shù)值。按照可能度值取最大，灰度值取最小確定理想方案，并記為A+。

A+=(〈0.882，0.099〉，〈0.917，0.071〉，〈0.902，0.077〉)

STEP5：求每個方案與理想方案的Euclidean距離，把每個方案的所有指標屬性的直覺灰數(shù)值看作一個直覺灰數(shù)集，利用直覺灰數(shù)集之間的Euclidean距離公式進行計算，即

計算各方案與理想方案的距離：

同理，可以計算出d(A+，A2)=0.162 1；d(A+，A3)=0.069 4。按照與理想的距離對各方案進行排序為：A1?A3?A2。

為了說明該方法的科學性和合理性，本文利用劉中俠等人的廣義灰數(shù)的雙向投影灰靶決策方法對方案也進行排序選優(yōu)。他們的方法排序為A1?A2?A3，本文中利用各備選方案與理想之間的距離排序為A1?A3?A2。本文與劉中俠等人研究中排序不完全一致，但是兩種方法的最優(yōu)方案是完全一致的。他們是以基于“核”與“灰度”，構(gòu)建一般灰數(shù)距離及的運算規(guī)則。本文是基于灰數(shù)“核”的可能度函數(shù)和“灰度”理論，構(gòu)建直覺灰數(shù)和直覺灰數(shù)集，計算各方案與理想方案的距離并按距離進行排序，避免了一般灰數(shù)的運算[16]。

七、結(jié)論及啟示

復雜不確定性問題的研究是灰色理論研究的熱點領域，主要包括復雜不確定信息的表征、復雜不確定信息的運算、灰色不確定信息下的建模技術、幾類不確定性理論的深度融合等問題。本文將灰理論與模糊理論兩個不確性理論進行融合研究，將灰數(shù)“核”的可能度函數(shù)與“灰度”的理論和直覺模糊理論與集成理論進行深度融合，構(gòu)建直覺灰數(shù)和直覺灰數(shù)集，并構(gòu)建一般灰數(shù)與直覺灰數(shù)集等值轉(zhuǎn)換的方法、直覺灰數(shù)的運算法則、直覺灰數(shù)的集成算子、距離測度等內(nèi)容。在此基礎上構(gòu)建了基于直覺灰數(shù)的灰色多屬性決策模型及決策步驟，并利用一個實際應用案例驗證了該決策模型可行性與合理性。本文中直覺灰數(shù)(集)理論既能利用一般灰數(shù)在信息表征上的優(yōu)點，又規(guī)避一般灰數(shù)運算系統(tǒng)不完善所產(chǎn)生的計算誤差和信息丟失等問題，為研究一般灰數(shù)信息下決策、預測、控制、動態(tài)規(guī)劃、聚類評估、博弈等模型提拱了一個全新研究視角。