熊安麗

(上海市奉賢中學(xué),上海 201499)

1 問(wèn)題

在高一力的合成教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)這樣一類(lèi)問(wèn)題,即給出兩個(gè)大小不變的共點(diǎn)力的合力F隨兩分力夾角θ的變化曲線(xiàn),要求出兩分力的大小分別為多少．這時(shí)會(huì)出現(xiàn)有的題目解出的分力情況完全相同,但所配的F-θ曲線(xiàn)卻截然不同,例如圖1和圖2,兩分力的解均為一個(gè)力4 N、一個(gè)力3 N．

雖然圖線(xiàn)形狀對(duì)求解沒(méi)有什么影響,但物理是一門(mén)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、探索求真的學(xué)科,F-θ的函數(shù)圖像到底是什么形狀、有何規(guī)律,筆者決定一探究竟．[1]

圖1 配圖實(shí)例1

圖3 F1、F2合力的示意圖

2 探究

2.1 F-θ的函數(shù)關(guān)系

設(shè)任意兩個(gè)共點(diǎn)分力的大小為F1、F2,兩分力的夾角為θ,則由平行四邊形定則及幾何知識(shí)易求得其合力F的大小與夾角θ的函數(shù)關(guān)系為

(1)

2.2 兩分力4 N、3 N的F-θ的曲線(xiàn)

圖4 兩分力4 N、3 N的F-θ曲線(xiàn)

由圖可看出:兩分力4 N、3 N的合力F-θ曲線(xiàn)的特點(diǎn)是,當(dāng)θ=π/2或3π/2時(shí),曲線(xiàn)并不與該點(diǎn)處的豎直輔助線(xiàn)相切,所以圖1錯(cuò)誤.另當(dāng)θ=π時(shí),曲線(xiàn)與該點(diǎn)處的水平輔助線(xiàn)相切,呈現(xiàn)平滑的下凹型,并不如圖2那般有明顯地向下尖端,因此圖2也錯(cuò)誤．那么,是否所有的F-θ曲線(xiàn)都是圖4這般模樣,不同分力的F-θ曲線(xiàn)會(huì)不會(huì)有所不同?筆者決定進(jìn)一步研究．

2.3 F-θ曲線(xiàn)的其它實(shí)例

為便于對(duì)比,接下來(lái)的實(shí)例筆者選取的是研究“同向相加后合力均為7 N”的兩分力的合力F-θ曲線(xiàn),用幾何畫(huà)板或EXCEL軟件均可依次作出兩分力大小分別為“6.5 N、0.5 N”、“6 N、1 N”、“5.5 N、1.5 N”、“5 N、2 N”、“4.5 N、3.5 N”、“4 N、3 N”和“3.5 N、3.5 N”的F-θ曲線(xiàn)(如圖5),可發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)具有一定的規(guī)律性:即當(dāng)θ=0時(shí),合力始終最大,為F1+F2;在θ∈(0,π)范圍內(nèi),合力F都是隨兩分力夾角θ的增大而減小;當(dāng)θ=π時(shí),合力始終對(duì)應(yīng)最小,為|F1-F2|;在θ∈(π,2π)范圍內(nèi),合力F也都是隨兩分力夾角θ的增大而對(duì)稱(chēng)地增大;當(dāng)θ=2π時(shí),合力又都達(dá)最大值F1+F2,符合預(yù)期的判斷．[3]另有新的發(fā)現(xiàn),即在兩力之和一定的情況下,兩分力大小相差得越大,曲線(xiàn)越平緩;兩分力大小越相接近,曲線(xiàn)則越陡峭,下凹明顯且下凹處逐漸變得尖銳．

圖5 F-θ曲線(xiàn)其它實(shí)例

圖6 各曲線(xiàn)的拐點(diǎn)位置及該點(diǎn)切線(xiàn)

并且F-θ曲線(xiàn)的彎曲程度即斜率也呈一定的規(guī)律性,考慮到曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,現(xiàn)僅討論θ∈[0,π]范圍內(nèi)的曲線(xiàn)規(guī)律,易發(fā)現(xiàn)F-θ曲線(xiàn)(除兩分力相等的那條之外)在[0,π]的范圍內(nèi)均隨θ的增大先逐漸下彎并越來(lái)越陡,后又會(huì)逐漸平緩,直至趨于水平．各條曲線(xiàn)上是否有斜率的極大值點(diǎn),會(huì)有多少個(gè)極大值點(diǎn),可借助幾何畫(huà)板或EXCEL軟件進(jìn)一步研究．用幾何畫(huà)板可直接右鍵點(diǎn)擊F-θ函數(shù),選擇“導(dǎo)數(shù)”,得出F′-θ函數(shù)關(guān)系式并作F′-θ圖,找出(0,π)范圍內(nèi)F′(θ)的負(fù)的極大值位置,但由于筆者所用幾何畫(huà)板版本的問(wèn)題,它無(wú)法直接顯示點(diǎn)的坐標(biāo),而人工估讀誤差較大,所以筆者主要利用EXCEL軟件列表計(jì)算F-θ曲線(xiàn)上各點(diǎn)的斜率值F′(θ)來(lái)研究,并且發(fā)現(xiàn)在θ∈(0,π)的范圍內(nèi),F′(θ)均為負(fù)值且每條F-θ曲線(xiàn)的F′(θ)值僅有一個(gè)負(fù)的極值點(diǎn),找出其所對(duì)應(yīng)的θ角,即可確定每條F-θ曲線(xiàn)上的斜率最大值點(diǎn)的大致位置并作出該點(diǎn)切線(xiàn)(如圖6),在[0,2π]范圍內(nèi)的F-θ曲線(xiàn)斜率的特點(diǎn)可歸納為表1.

表1 F-θ曲線(xiàn)斜率的特點(diǎn)

上述結(jié)論具有一定的指導(dǎo)意義,對(duì)于任意兩個(gè)力的F-θ曲線(xiàn)該如何畫(huà),特別是如何彎曲,可參照?qǐng)D5中某條適當(dāng)?shù)那€(xiàn)對(duì)F軸進(jìn)行一定比例的壓縮或拉伸而得．但是,這個(gè)結(jié)論又不夠具有普適性,因?yàn)镋XCEL表格中θ角取值的有限性,以及應(yīng)用π計(jì)算時(shí)取值的精確性,都導(dǎo)致拐點(diǎn)的位置無(wú)法準(zhǔn)確確定,且每對(duì)應(yīng)一條任意大小的兩分力的F-θ曲線(xiàn),均需要列出大量數(shù)據(jù)表格才能大致找出拐點(diǎn),非常繁瑣而困難,因此筆者嘗試在更具有普遍意義的函數(shù)通項(xiàng)式上研究．

2.4 F-θ曲線(xiàn)的理論研究

為方便研究,設(shè)任意大小的兩分力F1、F2,且F1≥F2>0,其F-θ的函數(shù)關(guān)系及大小變化趨勢(shì)不再贅述,接下來(lái)

(1) 研究F-θ曲線(xiàn)的斜率,可對(duì)其求導(dǎo),得

(2)

(2) 研究斜率的變化規(guī)律和拐點(diǎn)位置,可對(duì)F′(θ)函數(shù)再求導(dǎo)并化簡(jiǎn),得

(3)

圖7 y關(guān)于x的函數(shù)曲線(xiàn)

圖8 F-θ斜率最大時(shí)，力的合成矢量三角形

3 歸納

根據(jù)以上的理論推導(dǎo),可得出F-θ曲線(xiàn)的一些規(guī)律,即任意大小的兩個(gè)分力F1、F2,若F1≥F2>0,則其合力F-θ曲線(xiàn)在[0,π]范圍內(nèi)應(yīng)經(jīng)過(guò)4個(gè)特殊狀態(tài)點(diǎn),各狀態(tài)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的分力夾角θ值、合力F值、曲線(xiàn)斜率F′(θ)的情況.

① 兩分力同向.θ=0,F=F1+F2,F′=0.

易見(jiàn),曲線(xiàn)在①、③點(diǎn)之間為上凸,③、④點(diǎn)之間為下凹．拐點(diǎn)③的位置隨F1、F2的取值不同而在(π/2,π]區(qū)間內(nèi)移動(dòng),F2的值相對(duì)F1越小,拐點(diǎn)角θ拐就越小,可無(wú)限逼近π/2;F2與F1大小越接近,θ拐越大,當(dāng)F1=F2時(shí),拐點(diǎn)角最大,為π．即拐點(diǎn)③在②、④兩個(gè)點(diǎn)之間,③點(diǎn)只能逼近②點(diǎn)而不能與②點(diǎn)重合,因?yàn)橐c②點(diǎn)重合就要F2=0,而討論F2=0時(shí)的合力沒(méi)什么意義,因?yàn)楹狭κ冀K為F1;但③點(diǎn)可以與④點(diǎn)重合,即當(dāng)兩分力的大小相等時(shí),此時(shí)曲線(xiàn)沒(méi)有下凹段,在θ=π附近呈現(xiàn)“V”字型．

4 應(yīng)用

應(yīng)用上述總結(jié)的規(guī)律,可以驗(yàn)證2.3中所舉的實(shí)例．首先,各曲線(xiàn)的凹凸趨勢(shì)完全符合理論分析,下面著重說(shuō)明[0,π]范圍內(nèi)應(yīng)用理論計(jì)算各拐點(diǎn)坐標(biāo)的方法,并與圖6中各拐點(diǎn)的坐標(biāo)作對(duì)比(如表2).

仔細(xì)觀察并對(duì)比拐點(diǎn)坐標(biāo)的EXCEL計(jì)算值和理論計(jì)算值,會(huì)發(fā)現(xiàn)幾乎全部都一致,但是有一些誤差,這主要是因?yàn)镋XCEL作圖需列出數(shù)據(jù)表格,再建立函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．在列出分力夾角θ項(xiàng)時(shí),本人只精細(xì)到每隔1°=(1°/180°)×3.141592654rad取一個(gè)點(diǎn),因此取點(diǎn)不夠密集,在尋找斜率負(fù)極大值點(diǎn)時(shí)導(dǎo)致不夠精確,而且在計(jì)算時(shí)應(yīng)用到π值進(jìn)行角度換算時(shí),本人取的是π=3.141592654,也導(dǎo)致了數(shù)據(jù)的不完全精密,特別是在兩分力相等時(shí),EXCEL取點(diǎn)不能無(wú)限地逼近θ=π,導(dǎo)致拐點(diǎn)的位置確定和斜率計(jì)算誤差相對(duì)較大．總之,用EXCEL軟件來(lái)研究拐點(diǎn)的位置是比較麻煩而難以精確的,但是用理論推導(dǎo)則方便、精確得多．另外,F-θ曲線(xiàn)在[π,2π]范圍內(nèi)的拐點(diǎn)坐標(biāo)可利用函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性直接求出:θ拐′=2π-θ拐=π+arccos(F2/F1),此拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)與[0,π]范圍內(nèi)的拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,非常容易和快捷．

表2 F-θ曲線(xiàn)拐點(diǎn)坐標(biāo)的理論檢驗(yàn)

目前許多參考書(shū)及題庫(kù)網(wǎng)站上涉及到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)所配的F-θ圖像都是明顯錯(cuò)誤的,望筆者的研究能為各位同行和同學(xué)提供一點(diǎn)幫助．