亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        合力與兩分力夾角的函數(shù)圖像研究

        2020-04-24 00:46:52熊安麗
        物理教師 2020年1期
        關(guān)鍵詞:分力拐點(diǎn)合力

        熊安麗

        (上海市奉賢中學(xué),上海 201499)

        1 問(wèn)題

        在高一力的合成教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)這樣一類(lèi)問(wèn)題,即給出兩個(gè)大小不變的共點(diǎn)力的合力F隨兩分力夾角θ的變化曲線(xiàn),要求出兩分力的大小分別為多少.這時(shí)會(huì)出現(xiàn)有的題目解出的分力情況完全相同,但所配的F-θ曲線(xiàn)卻截然不同,例如圖1和圖2,兩分力的解均為一個(gè)力4 N、一個(gè)力3 N.

        雖然圖線(xiàn)形狀對(duì)求解沒(méi)有什么影響,但物理是一門(mén)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、探索求真的學(xué)科,F-θ的函數(shù)圖像到底是什么形狀、有何規(guī)律,筆者決定一探究竟.[1]

        圖1 配圖實(shí)例1

        圖3 F1、F2合力的示意圖

        2 探究

        2.1 F-θ的函數(shù)關(guān)系

        設(shè)任意兩個(gè)共點(diǎn)分力的大小為F1、F2,兩分力的夾角為θ,則由平行四邊形定則及幾何知識(shí)易求得其合力F的大小與夾角θ的函數(shù)關(guān)系為

        (1)

        2.2 兩分力4 N、3 N的F-θ的曲線(xiàn)

        圖4 兩分力4 N、3 N的F-θ曲線(xiàn)

        由圖可看出:兩分力4 N、3 N的合力F-θ曲線(xiàn)的特點(diǎn)是,當(dāng)θ=π/2或3π/2時(shí),曲線(xiàn)并不與該點(diǎn)處的豎直輔助線(xiàn)相切,所以圖1錯(cuò)誤.另當(dāng)θ=π時(shí),曲線(xiàn)與該點(diǎn)處的水平輔助線(xiàn)相切,呈現(xiàn)平滑的下凹型,并不如圖2那般有明顯地向下尖端,因此圖2也錯(cuò)誤.那么,是否所有的F-θ曲線(xiàn)都是圖4這般模樣,不同分力的F-θ曲線(xiàn)會(huì)不會(huì)有所不同?筆者決定進(jìn)一步研究.

        2.3 F-θ曲線(xiàn)的其它實(shí)例

        為便于對(duì)比,接下來(lái)的實(shí)例筆者選取的是研究“同向相加后合力均為7 N”的兩分力的合力F-θ曲線(xiàn),用幾何畫(huà)板或EXCEL軟件均可依次作出兩分力大小分別為“6.5 N、0.5 N”、“6 N、1 N”、“5.5 N、1.5 N”、“5 N、2 N”、“4.5 N、3.5 N”、“4 N、3 N”和“3.5 N、3.5 N”的F-θ曲線(xiàn)(如圖5),可發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)具有一定的規(guī)律性:即當(dāng)θ=0時(shí),合力始終最大,為F1+F2;在θ∈(0,π)范圍內(nèi),合力F都是隨兩分力夾角θ的增大而減小;當(dāng)θ=π時(shí),合力始終對(duì)應(yīng)最小,為|F1-F2|;在θ∈(π,2π)范圍內(nèi),合力F也都是隨兩分力夾角θ的增大而對(duì)稱(chēng)地增大;當(dāng)θ=2π時(shí),合力又都達(dá)最大值F1+F2,符合預(yù)期的判斷.[3]另有新的發(fā)現(xiàn),即在兩力之和一定的情況下,兩分力大小相差得越大,曲線(xiàn)越平緩;兩分力大小越相接近,曲線(xiàn)則越陡峭,下凹明顯且下凹處逐漸變得尖銳.

        圖5 F-θ曲線(xiàn)其它實(shí)例

        圖6 各曲線(xiàn)的拐點(diǎn)位置及該點(diǎn)切線(xiàn)

        并且F-θ曲線(xiàn)的彎曲程度即斜率也呈一定的規(guī)律性,考慮到曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,現(xiàn)僅討論θ∈[0,π]范圍內(nèi)的曲線(xiàn)規(guī)律,易發(fā)現(xiàn)F-θ曲線(xiàn)(除兩分力相等的那條之外)在[0,π]的范圍內(nèi)均隨θ的增大先逐漸下彎并越來(lái)越陡,后又會(huì)逐漸平緩,直至趨于水平.各條曲線(xiàn)上是否有斜率的極大值點(diǎn),會(huì)有多少個(gè)極大值點(diǎn),可借助幾何畫(huà)板或EXCEL軟件進(jìn)一步研究.用幾何畫(huà)板可直接右鍵點(diǎn)擊F-θ函數(shù),選擇“導(dǎo)數(shù)”,得出F′-θ函數(shù)關(guān)系式并作F′-θ圖,找出(0,π)范圍內(nèi)F′(θ)的負(fù)的極大值位置,但由于筆者所用幾何畫(huà)板版本的問(wèn)題,它無(wú)法直接顯示點(diǎn)的坐標(biāo),而人工估讀誤差較大,所以筆者主要利用EXCEL軟件列表計(jì)算F-θ曲線(xiàn)上各點(diǎn)的斜率值F′(θ)來(lái)研究,并且發(fā)現(xiàn)在θ∈(0,π)的范圍內(nèi),F′(θ)均為負(fù)值且每條F-θ曲線(xiàn)的F′(θ)值僅有一個(gè)負(fù)的極值點(diǎn),找出其所對(duì)應(yīng)的θ角,即可確定每條F-θ曲線(xiàn)上的斜率最大值點(diǎn)的大致位置并作出該點(diǎn)切線(xiàn)(如圖6),在[0,2π]范圍內(nèi)的F-θ曲線(xiàn)斜率的特點(diǎn)可歸納為表1.

        表1 F-θ曲線(xiàn)斜率的特點(diǎn)

        上述結(jié)論具有一定的指導(dǎo)意義,對(duì)于任意兩個(gè)力的F-θ曲線(xiàn)該如何畫(huà),特別是如何彎曲,可參照?qǐng)D5中某條適當(dāng)?shù)那€(xiàn)對(duì)F軸進(jìn)行一定比例的壓縮或拉伸而得.但是,這個(gè)結(jié)論又不夠具有普適性,因?yàn)镋XCEL表格中θ角取值的有限性,以及應(yīng)用π計(jì)算時(shí)取值的精確性,都導(dǎo)致拐點(diǎn)的位置無(wú)法準(zhǔn)確確定,且每對(duì)應(yīng)一條任意大小的兩分力的F-θ曲線(xiàn),均需要列出大量數(shù)據(jù)表格才能大致找出拐點(diǎn),非常繁瑣而困難,因此筆者嘗試在更具有普遍意義的函數(shù)通項(xiàng)式上研究.

        2.4 F-θ曲線(xiàn)的理論研究

        為方便研究,設(shè)任意大小的兩分力F1、F2,且F1≥F2>0,其F-θ的函數(shù)關(guān)系及大小變化趨勢(shì)不再贅述,接下來(lái)

        (1) 研究F-θ曲線(xiàn)的斜率,可對(duì)其求導(dǎo),得

        (2)

        (2) 研究斜率的變化規(guī)律和拐點(diǎn)位置,可對(duì)F′(θ)函數(shù)再求導(dǎo)并化簡(jiǎn),得

        (3)

        圖7 y關(guān)于x的函數(shù)曲線(xiàn)

        圖8 F-θ斜率最大時(shí),力的合成矢量三角形

        3 歸納

        根據(jù)以上的理論推導(dǎo),可得出F-θ曲線(xiàn)的一些規(guī)律,即任意大小的兩個(gè)分力F1、F2,若F1≥F2>0,則其合力F-θ曲線(xiàn)在[0,π]范圍內(nèi)應(yīng)經(jīng)過(guò)4個(gè)特殊狀態(tài)點(diǎn),各狀態(tài)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的分力夾角θ值、合力F值、曲線(xiàn)斜率F′(θ)的情況.

        ① 兩分力同向.θ=0,F=F1+F2,F′=0.

        易見(jiàn),曲線(xiàn)在①、③點(diǎn)之間為上凸,③、④點(diǎn)之間為下凹.拐點(diǎn)③的位置隨F1、F2的取值不同而在(π/2,π]區(qū)間內(nèi)移動(dòng),F2的值相對(duì)F1越小,拐點(diǎn)角θ拐就越小,可無(wú)限逼近π/2;F2與F1大小越接近,θ拐越大,當(dāng)F1=F2時(shí),拐點(diǎn)角最大,為π.即拐點(diǎn)③在②、④兩個(gè)點(diǎn)之間,③點(diǎn)只能逼近②點(diǎn)而不能與②點(diǎn)重合,因?yàn)橐c②點(diǎn)重合就要F2=0,而討論F2=0時(shí)的合力沒(méi)什么意義,因?yàn)楹狭κ冀K為F1;但③點(diǎn)可以與④點(diǎn)重合,即當(dāng)兩分力的大小相等時(shí),此時(shí)曲線(xiàn)沒(méi)有下凹段,在θ=π附近呈現(xiàn)“V”字型.

        4 應(yīng)用

        應(yīng)用上述總結(jié)的規(guī)律,可以驗(yàn)證2.3中所舉的實(shí)例.首先,各曲線(xiàn)的凹凸趨勢(shì)完全符合理論分析,下面著重說(shuō)明[0,π]范圍內(nèi)應(yīng)用理論計(jì)算各拐點(diǎn)坐標(biāo)的方法,并與圖6中各拐點(diǎn)的坐標(biāo)作對(duì)比(如表2).

        仔細(xì)觀察并對(duì)比拐點(diǎn)坐標(biāo)的EXCEL計(jì)算值和理論計(jì)算值,會(huì)發(fā)現(xiàn)幾乎全部都一致,但是有一些誤差,這主要是因?yàn)镋XCEL作圖需列出數(shù)據(jù)表格,再建立函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.在列出分力夾角θ項(xiàng)時(shí),本人只精細(xì)到每隔1°=(1°/180°)×3.141592654rad取一個(gè)點(diǎn),因此取點(diǎn)不夠密集,在尋找斜率負(fù)極大值點(diǎn)時(shí)導(dǎo)致不夠精確,而且在計(jì)算時(shí)應(yīng)用到π值進(jìn)行角度換算時(shí),本人取的是π=3.141592654,也導(dǎo)致了數(shù)據(jù)的不完全精密,特別是在兩分力相等時(shí),EXCEL取點(diǎn)不能無(wú)限地逼近θ=π,導(dǎo)致拐點(diǎn)的位置確定和斜率計(jì)算誤差相對(duì)較大.總之,用EXCEL軟件來(lái)研究拐點(diǎn)的位置是比較麻煩而難以精確的,但是用理論推導(dǎo)則方便、精確得多.另外,F-θ曲線(xiàn)在[π,2π]范圍內(nèi)的拐點(diǎn)坐標(biāo)可利用函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性直接求出:θ拐′=2π-θ拐=π+arccos(F2/F1),此拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)與[0,π]范圍內(nèi)的拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,非常容易和快捷.

        表2 F-θ曲線(xiàn)拐點(diǎn)坐標(biāo)的理論檢驗(yàn)

        目前許多參考書(shū)及題庫(kù)網(wǎng)站上涉及到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)所配的F-θ圖像都是明顯錯(cuò)誤的,望筆者的研究能為各位同行和同學(xué)提供一點(diǎn)幫助.

        猜你喜歡
        分力拐點(diǎn)合力
        “芪”心合力
        秦國(guó)的“拐點(diǎn)”
        新拐點(diǎn),新機(jī)遇
        廣州化工(2020年5期)2020-04-01 07:38:52
        恢復(fù)高考:時(shí)代的拐點(diǎn)
        當(dāng)兩分力的方向不變時(shí),是否分力越大,合力也越大?
        合力
        人走路時(shí)為什么要擺手?
        奧秘(2019年1期)2019-03-28 17:18:47
        外圓車(chē)削中的切削力分力夾角與切削參數(shù)關(guān)系分析
        《廉潔拐點(diǎn)》
        紅巖春秋(2017年6期)2017-07-03 16:43:54
        合力與分力的關(guān)系探究
        av资源在线永久免费观看| 真实国产老熟女粗口对白| 最新四色米奇影视777在线看| 亚洲精品中文字幕观看| 国产麻豆国精精品久久毛片| 99视频在线精品免费观看6| 强行无套内谢大学生初次| 成人xx免费无码| 亚洲一区二区在线视频,| 情爱偷拍视频一区二区| 天天色天天操天天日天天射| 亚洲av乱码一区二区三区按摩| 欧洲日本一线二线三线区本庄铃| 久久国产乱子精品免费女| 亚洲国产一区二区av| 私人vps一夜爽毛片免费| 亚洲成a人片在线观看天堂无码| 日韩无码尤物视频| 粉嫩的极品女神尤物在线| 蜜臀av无码人妻精品| 天天爽夜夜爽夜夜爽| 久久99热精品免费观看欧美| 精品国产一区二区三区av新片| av在线免费观看网站,| 国产精品久久久久9999赢消| 特级黄色毛片视频| 精品蜜桃在线观看一区二区三区 | 亚洲精品国偷拍自产在线| 国语少妇高潮对白在线| 少妇bbwbbw高潮| 国产剧情av麻豆香蕉精品| 激情综合色综合久久综合| 无码人妻精品一区二区三18禁| 无码成年性午夜免费网站蜜蜂| 亚洲国产av一区二区三区| 最新亚洲人成网站在线观看| 亚洲中文字幕无码二区在线| 视频在线亚洲视频在线| 岛国av无码免费无禁网站| 成人伊人亚洲人综合网站222| 蜜桃av一区在线观看|