嚴(yán)建麗

(浙江省湖州中學(xué),浙江 湖州 313000)

1 原試題的呈現(xiàn)和分析

圖1

(1) 求靜電分析器中圓弧軌跡處的電場強(qiáng)度E0和磁分析器中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B;

(2) 求質(zhì)量為0.5m的離子打在探測板上的位置與O點(diǎn)間的距離l;

解析:題中帶電粒子在直線邊界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動在中學(xué)里是為大家之熟悉,而徑向電場則突破了以往定量計(jì)算帶電粒子運(yùn)動的勻強(qiáng)電場．此題將徑向電場和直線邊界勻強(qiáng)磁場完美地結(jié)合,充分體現(xiàn)了考題設(shè)計(jì)的智慧．試題的場景和設(shè)問,考生是熟悉的,入口也很柔．第(1)問求離子運(yùn)動軌跡處的徑向電場強(qiáng)度以及磁分析器中的磁感應(yīng)強(qiáng)度,由徑向電場力和洛侖茲力分別提供離子做圓周運(yùn)動的向心力,就能得到結(jié)果,簡單直接．第(2)問鑒于考綱的限制,并沒有糾纏于離子在電場中運(yùn)動的路徑,試題通過直接給出質(zhì)量為0.5m離子從徑向電場出射時(shí)的位置和方向,只討論在磁場中運(yùn)動的情況,成為離子以一定角度入射直線邊界磁場中的典型問題．第(3)小題作為試卷最后的壓軸之問,集中了質(zhì)譜儀模型中不同質(zhì)量離子以不同速度、不同方向、在不同位置入射時(shí),因磁場發(fā)生波動而致使離子束打在探測板上位置發(fā)生重疊的問題,內(nèi)容多、設(shè)問新、難度大,是很好的壓軸之問．

2 挖掘試題隱含的物理內(nèi)涵

帶電粒子在徑向電場中運(yùn)動有著豐富的物理內(nèi)涵,但試題因考綱限制而將其隱去,使此題成為高考可考之題,可見命題者的良苦用心．然而,從教學(xué)角度來講,此題有許多可以進(jìn)一步挖掘的教學(xué)價(jià)值．下面分析此題背后的物理內(nèi)涵,并進(jìn)行一些拓展討論．

2.1 質(zhì)量為0.5m離子在靜電分析器中出射速度的解法賞析

徑向電場在工程技術(shù)中有許多應(yīng)用,可由帶等量異號電荷的兩同心球面、兩同軸柱面或孤立的點(diǎn)電荷等帶電系統(tǒng)產(chǎn)生．試題中的徑向電場,沒有具體說明是如何產(chǎn)生的,但孤立的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的徑向電場與本題給出的條件是自洽的,即若電場強(qiáng)度

(1)

其中Q為點(diǎn)電荷電量,k為靜電常量,由于質(zhì)量為m的離子軌跡處的電場強(qiáng)度

(2)

則電量Q與靜電常量k滿足

(3)

上式出現(xiàn)負(fù)號是考慮到離子帶正電．由方程(3)就可得到題設(shè)中的N、P兩點(diǎn)間的電勢差

(4)

因此,本題的徑向電場可認(rèn)為是帶電荷量為Q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的．

認(rèn)識到本題徑向電場的形成,我們就可以挖掘試題背后的物理規(guī)律．分析考題為什么要給出題設(shè)中的一些條件,而且求解質(zhì)量為0.5m的離子從靜電分析器中出射的速度時(shí),可以有更多的方法．

解法1:離子沿圓周運(yùn)動時(shí),其徑跡為等勢面,靜電場是保守場,做功與路徑無關(guān),由動能定理,有(高考試題給出的標(biāo)準(zhǔn)解答)

(5)

解法2:離子在保守場中運(yùn)動,由能量守恒定律,有

(6)

解法3:此題的徑向電場為平方反比力場,類比引力場,開普勒第二定律在本題的徑向電場中仍然適用,于是有

(7)

解法4:徑向電場為有心力場,角動量守恒(本質(zhì)與開普勒定律一致),有

0.5mv0r0=0.5mvrsin(90°+θ).

(8)

2.2 質(zhì)量為0.5m離子在靜電分析器中的軌跡、出射位置和方向的進(jìn)一步討論

為了避免高考試題超綱,本題直接給出了質(zhì)量為0.5m離子的出射位置和方向．在教學(xué)中我們可在上述分析的基礎(chǔ)上,與我們熟悉的引力場作一類比,稍稍拓展一下所學(xué)知識,就能讓學(xué)生知其所以然．題中“別有洞天”的情境會大大開闊學(xué)生的物理思維和物理眼界,有學(xué)習(xí)的獲得感．

衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動,其半長軸與機(jī)械能有如下關(guān)系

(9)

所以,只要已知系統(tǒng)的總能量,衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡就完全確定了．點(diǎn)電荷系統(tǒng)與行星系統(tǒng)類似,也有相同的規(guī)律．因此,對于質(zhì)量為0.5m、以同樣速度v0運(yùn)動的離子,其總能量

(10)

圖2

(11)

方程(11)兩邊對x求導(dǎo)數(shù),得

3 徑向電場中離子運(yùn)動的一般性討論及教學(xué)拓展

本題還可以進(jìn)行一般性討論,若設(shè)離子質(zhì)量m″=m(1+γ),考慮離子做橢圓運(yùn)動,要求離子的能量E<0,即

(12)

由于質(zhì)量為正,故γ的取值范圍為-1<γ<1.

通過與上述類似求解,可得粒子的運(yùn)動方程為

(13)

方程(13)兩邊對x求導(dǎo),可得到離子出射方向與水平方向的夾角的余弦,即

(14)

顯然,高考試題是γ=-0.5時(shí)的特例．

掌握了離子在徑向電場中運(yùn)動的一般規(guī)律,在教學(xué)上就可以進(jìn)行一些有益的拓展．比如在原試題的基礎(chǔ)上,我們可以討論質(zhì)量為1.5m的正離子在靜電分析器中的運(yùn)動軌跡、出射位置、出射速度等問題．

圖3

離子出電場后,經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn),然后打在探測板的位置與O點(diǎn)的距離為

1=2rcosθ-1.5r0=0.5r0.

因此,如果質(zhì)量分別為m和1.5m的兩離子束進(jìn)入這雙聚焦分析器,可將高考題中的第(3)小題遷移到這里來進(jìn)行同樣的設(shè)問．上述分析表明,質(zhì)量為0.5m與1.5m的離子從靜電分析器中的出射位置、出射方向是對稱性的,因此,在磁分析器中兩束離子不發(fā)生重疊時(shí)允許磁場波動的條件與高考題是一樣的．

圖4

這樣類似的拓展可以根據(jù)教學(xué)的需要設(shè)置．挖掘高考試題隱含的物理思想,總結(jié)其規(guī)律,能打開學(xué)生的學(xué)習(xí)思路．特別是面向一些要參加自主招生或競賽的優(yōu)秀學(xué)生,深入進(jìn)行這樣的物理內(nèi)涵的挖掘,學(xué)習(xí)思路上的類比、遷移和拓展,是非常有必要和有意義的．