趙蕓赫 馬宇翰

(1. 首都師范大學(xué)附屬中學(xué),北京 100048; 2. 北京計(jì)算科學(xué)研究中心,北京 100193)

2019年北京市高考物理試題的第24題描述了生活中一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象——雨滴在空氣阻力和重力的共同作用下運(yùn)動(dòng)直至勻速下落的過(guò)程．該題在考察學(xué)生對(duì)能量守恒、牛頓第二定律的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考察了學(xué)生對(duì)動(dòng)量定理與分子運(yùn)動(dòng)論的理解和運(yùn)用．在第三問(wèn)中,學(xué)生需要在將雨滴簡(jiǎn)化成垂直于運(yùn)動(dòng)方向面積為S的圓盤(pán)基礎(chǔ)上,建立物理模型證明空氣阻力f正比于下落速度v的平方．

在高考后,筆者注意到周?chē)簧倮蠋?、學(xué)生都對(duì)題目提出了質(zhì)疑．大家發(fā)現(xiàn),用基于分子運(yùn)動(dòng)論的碰撞模型結(jié)合沖量定理,推得雨滴運(yùn)動(dòng)速度v在遠(yuǎn)低于空氣分子熱運(yùn)動(dòng)速度u時(shí)(這也是真實(shí)情境中的條件,雨滴下落速度一般為幾米每秒,而室溫下空氣中分子熱運(yùn)動(dòng)速度在400 m/s以上),所受空氣阻力是正比于運(yùn)動(dòng)速度v的一次方而不是平方的[1,2]:

F=2Snm0uv=2ρa(bǔ)Suv.

這里n是單位體積分子數(shù),m0是單個(gè)分子質(zhì)量,S是物體在氣流方向的橫截面積,ρa(bǔ)=nm0是氣體的密度．而高考標(biāo)準(zhǔn)答案在忽略氣體分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的前提下,用流體模型得到了空氣阻力和運(yùn)動(dòng)速度平方成正比的結(jié)論．人大附中胡繼超老師和陳曦老師很快注意到這一問(wèn)題,他們指出利用碰撞模型推導(dǎo)出空氣阻力正比于雨滴運(yùn)動(dòng)速度平方這一結(jié)論的條件之一是假設(shè)了雨滴下落速度遠(yuǎn)大于氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)速率[1]．為了解決雨滴所受空氣阻力到底是與速度一次方還是二次方成正比這一“矛盾”,胡老師等在他們的文中參考了流體力學(xué)中的奧辛近似阻力公式[3]

后,提出了一個(gè)包含物體運(yùn)動(dòng)速度一次、二次項(xiàng)的空氣阻力表達(dá)式，但在其模型適用范圍內(nèi)，也只能得到雨滴受到阻力正比于其運(yùn)動(dòng)速度的結(jié)論．通過(guò)查閱文獻(xiàn)可知[4-8],在分析雨滴以及氣流中小球等物體運(yùn)動(dòng)所受的阻力時(shí),被討論得最多的即為粘滯阻力和壓差阻力．那么,在日常生活中雨滴下落受到的阻力到底滿(mǎn)足一次律還是二次律?前述碰撞模型和流體中兩種阻力模型是否適用于真實(shí)的物理情境?為了解答這些問(wèn)題,接下來(lái)本文從實(shí)際情境中雨滴的收尾速度的角度出發(fā)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行了討論．同時(shí),本文還分析了碰撞模型在低速范圍內(nèi)所得出阻力與速度一次方成正比的結(jié)果失效的原因．

1 不同阻力模型預(yù)言的雨滴收尾速度

對(duì)于這樣一個(gè)真實(shí)的物理情境,研究者可以從不同的角度建立模型．但是所建立的模型是否真的能解釋這一現(xiàn)象,需要從實(shí)驗(yàn)的角度來(lái)加以驗(yàn)證．當(dāng)然,進(jìn)行定量的實(shí)驗(yàn)研究相對(duì)復(fù)雜,判斷所運(yùn)用的阻力模型是否適用的最簡(jiǎn)單的方式,就是比較生活中已有的客觀事實(shí)和模型預(yù)言結(jié)果的一致性．首先將這一問(wèn)題所涉及的一些物理量的數(shù)值列在下方.

· 雨滴的半徑是毫米量級(jí),從0.5 mm-2 mm不等,密度ρw=1000 kg/m3.

· 雨滴下落的收尾速度在幾米每秒這個(gè)范圍內(nèi).

· 大氣中氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速度約為400 m/s-500 m/s.

· 空氣的粘度約為η=1.8×10-5Ns/m2,密度ρa(bǔ)=1.29 kg/m3.

· 重力常數(shù)9.8 m/s2.

在流體力學(xué)中,阻力的存在形式較多,如黏滯阻力、摩擦阻力、壓差阻力等等[3]．這些不同的阻力形式在物體在流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受的阻力中會(huì)有不同占比,這取決于問(wèn)題情境所處的雷諾數(shù)區(qū)域．例如,在小雷諾數(shù)區(qū)域Re?1,流場(chǎng)的粘性是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的主要原因,此時(shí)黏滯阻力會(huì)其主要作用,如溶液中的布朗粒子所受的阻力就主要是黏滯阻力．而在較高雷諾數(shù)的區(qū)域,壓差阻力和摩擦阻力會(huì)起主導(dǎo)作用,隨著雷諾數(shù)的進(jìn)一步增加,流場(chǎng)出現(xiàn)湍流,阻力形式變得很復(fù)雜而不存在簡(jiǎn)單的規(guī)律可以描述．

為了比較前文所述碰撞模型和流體中兩種阻力模型的異同,將待檢驗(yàn)的幾種阻力模型對(duì)速度的依賴(lài)關(guān)系,以及它們所預(yù)言的雨滴下落速度(收尾速度)列入表1．

表1 不同阻力模型預(yù)言的雨滴收尾速度

其中CD是阻力系數(shù),對(duì)于球形物體約為0.43[4].在這里,雨滴的收尾速度即是其在大氣中運(yùn)動(dòng)末期在阻力和重力平衡下的勻速運(yùn)動(dòng),由

mg=F(v).

給出.

從表1可以很直觀地看出,黏滯阻力模型所預(yù)測(cè)的雨滴下落速度遠(yuǎn)高于雨滴下落的真實(shí)速度范圍,而碰撞模型所給出的速度又過(guò)?。挥袎翰钭枇λo出的速度與實(shí)際雨滴下落速度的范圍匹配．在胡老師等人的文章中,他們認(rèn)為“在雨滴速度足夠小時(shí),空氣對(duì)雨滴的粘性占主導(dǎo)作用,阻力正比于速度;而雨滴速度足夠大時(shí),阻力才與速度平方成正比”．這里的速度的足夠大與足夠小,在他們文中是相比于氣體熱運(yùn)動(dòng)速度而言的[1]．然而,對(duì)于在流體中運(yùn)動(dòng)物體所受阻力的來(lái)源,其判別應(yīng)該是以雷諾數(shù)

這一無(wú)量綱參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的．從上式可以看出,除了與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有關(guān),雷諾數(shù)還與流體密度、粘度,物體尺寸相關(guān)．因此,單純從速度大小討論雨滴受到何種阻力,是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模聦?shí)上,在雨滴下落過(guò)程中對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)為Re≈1000遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了斯托克斯公式所適用的雷諾數(shù)Re≈1的區(qū)域,因此可以忽略雨滴所受黏滯阻力．同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn),高考標(biāo)準(zhǔn)答案所給出的結(jié)果

F∝nm0v2=ρa(bǔ)Sv2.

與壓差阻力的表達(dá)式形式上一致,僅差一個(gè)無(wú)量綱系數(shù)1/2CD～0.22.這表明高考標(biāo)準(zhǔn)答案所給出的結(jié)果可以給出與實(shí)際值匹配的雨滴下落速度范圍．

2 碰撞模型失效的原因

那么,為什么利用碰撞模型給出的結(jié)果是反常的呢?接下來(lái)從氣流能量的角度來(lái)進(jìn)行分析． 考慮板面和氣體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng),對(duì)板而言氣體以恒定速度吹來(lái)．對(duì)于氣體分子而言,其速度可以寫(xiě)作整體流動(dòng)速度和無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)速度的和,即

則氣流的總能量為

而在碰撞模型中,運(yùn)動(dòng)速度為ui的氣體分子與板迎面碰撞后,速度反向并變?yōu)閡i+2v.并且這一過(guò)程被假設(shè)發(fā)生在氣體分子的平均自由程內(nèi),即不考慮氣體分子的相互碰撞．這就導(dǎo)致了氣體速率分布的變化,從而出現(xiàn)了表征氣體內(nèi)能與流動(dòng)動(dòng)能耦合的uiv項(xiàng)的出現(xiàn)．這只有對(duì)于十分稀薄的氣體是成立的,而在空氣中下落雨滴這一情境中的氣體環(huán)境并不滿(mǎn)足這一條件． 在真實(shí)情境中,氣體分子碰撞板后會(huì)很快的與其它氣體分子碰撞從而繼續(xù)變?yōu)闊o(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)．因而在考慮具有定向運(yùn)動(dòng)速率的氣體分子與板碰撞時(shí),就不能忽略分子間的碰撞了．因此,用碰撞模型來(lái)解決雨滴在空氣中受到阻力這一實(shí)際問(wèn)題會(huì)變得很復(fù)雜,此時(shí)流體模型的便捷性就顯示出來(lái)了．

在氣流沖擊圓盤(pán)的過(guò)程中,其整體流速在沖擊板面后變?yōu)?接著沿兩側(cè)繞行至圓盤(pán)后方,這意味著氣體受到來(lái)自圓盤(pán)的力F為

其中ΔM=ρa(bǔ)SΔl是在單位長(zhǎng)度內(nèi)和撞擊到盤(pán)面的氣流總質(zhì)量,代入得到

這里假設(shè)圓盤(pán)運(yùn)動(dòng)緩慢,因而氣流的密度可視為均勻．注意到,這一結(jié)論的導(dǎo)出不需要假設(shè)物體和氣體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)速率．在氣流流過(guò)圓盤(pán)的真實(shí)過(guò)程中,由于邊緣效應(yīng)和圓盤(pán)后方的氣流渦旋存在,會(huì)在上述力中引入一個(gè)與雷諾數(shù)相關(guān)的阻力系數(shù)CD,最終得到圓盤(pán)給氣流的作用力大小,即圓盤(pán)受到來(lái)自氣流的阻力大小為

這就是前述的壓差阻力,也可以從伯努利原理推導(dǎo)得出[9]．

3 結(jié)論

綜上所述,對(duì)本文的討論給出如下總結(jié).

物體在流體中以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力滿(mǎn)足F(v)∝v還是F(v)∝v2由雷諾數(shù)Re決定,即由物體的尺寸,所處流體環(huán)境的密度和粘度共同決定．在Re?1的區(qū)域,如在重力作用下在糖漿中下落的小球,流體的黏滯阻力起主要作用．而在雷諾數(shù)較大時(shí),比如生活中常見(jiàn)物體所受空氣阻力,均與速度二次方成正比,主要由壓差阻力貢獻(xiàn);在氣體平均自由程不夠大時(shí)(非稀薄氣體),用碰撞模型考慮物體在氣體中受到的阻力是失效的;2019年北京市高考物理24題用流體模型證明空氣阻力滿(mǎn)足速度平方律是合理的,不需要假設(shè)板的運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)大于氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速度．只需要說(shuō)明“當(dāng)板在氣體中運(yùn)動(dòng)時(shí),不考慮氣體內(nèi)能的變化”即可．