劉 鈺 (安徽省肥西縣金牛學校 231253)

什么樣的課堂教學才能收到良好的教學效果，其中涉及的因素有很多，但有一點至關重要，那就是教學的起點不只是關注知識、從知識的邏輯出發(fā)，還應該關注現(xiàn)實、從學生已有的經(jīng)驗出發(fā)，關注所面對的學生的實際情況，綜合進行教學內容的設計以及教學方法的選擇．

1 教學背景

為了進一步推進優(yōu)質教育資源共享，深化課程改革，促進教師專業(yè)發(fā)展，合肥市初中數(shù)學培訓基地受市教育局委托，面向全市偏遠的農村學校開展“送培送教”活動．2018年10月，培訓基地教師培訓團隊專家、經(jīng)開區(qū)初中數(shù)學名師工作室領銜名師、合肥市初中數(shù)學骨干教師韓芬芬借班上了兩節(jié)“三角形內角和”新授課、一節(jié)復習課．

“三角形內角和”這個內容在滬科版義務教育教科書中不是獨立成節(jié)，而是安排在“13.2命題與證明”之中，按照《數(shù)學教師用書(八年級上冊)》安排，需用5個課時完成本節(jié)內容的教學任務.其中,“三角形內角和”的定理論證、定理的4個推論以及“輔助線、三角形外角”兩個概念用1個課時，定理及推論的綜合運用用1個課時，合計用 2個課時完成這個內容的全部教學任務．為了上好本次示范課，韓老師提前一天來到授課學校，和學生以及他們的授課教師交流.她了解到，授課班級大部分均為留守兒童，學習基礎差，性格內向；一個班二十來個學生，上起課來沒精打采．于是韓老師決定，把本來兩節(jié)課完成的內容分成三節(jié)課來完成，并對教學設計環(huán)節(jié)、例題及作業(yè)都進行了相應調整．

以下展示的是“三角形內角和”的第一節(jié)課堂教學的主要流程(師生互動環(huán)節(jié)中省去學生回答部分)．

2 課例呈現(xiàn)

·課前熱身

提出問題：(1)平角的定義是什么？(2)平行線的性質定理和判斷定理內容是什么？你能分別說出每個定理的題設部分以及結論部分嗎？

(學生集體回答，課堂氣氛活躍)

·導入新課

師：前面我們學習了三角形三邊的關系，即……(學生集體回答).那么三角形的三個內角又有什么關系呢？

教學過程分析開篇的引入——門檻低、有創(chuàng)新.通常在上一節(jié)新課之前，我們都要簡單回顧上一節(jié)課的內容．教科書在安排三角形內角和定理內容之前安排的是“命題”，這節(jié)內容涉及的概念眾多：命題、命題的真假、命題的題設和結論、定義、定理、推論以及演繹推理等，不少學生感覺枯燥乏味，很難記?。n老師另辟蹊徑，提出了與上節(jié)課內容無直接聯(lián)系的三個問題，而這三個問題學生都知道，所以一下吸引了學生，課堂氣氛就活躍起來了；同時，由“三角形的三邊關系”聯(lián)想到三角形三個角的關系，這種引進既自然又滲透著提出問題的方法．三個問題承上啟下，過渡自然，學生很快地在教師的引導下自覺投入到實驗中．所以，教學的起點不只是關注知識、從知識的邏輯出發(fā)，還應該關注現(xiàn)實、從學生已有的經(jīng)驗出發(fā)．

師：你們有誰記得，小學是怎樣得到這些關系的呢？請你們拿出準備好的三角形紙片，試著重復一遍小學時的折疊法，驗證你們的結論.

(教師稍作巡視、指導后，請一位學生到講臺進行示范)

圖1

師：同學們折疊得都很好(如圖1)，請問你們是怎樣理解三個內角的和為180°的？

師：折疊時要注意把三個角的頂點放到一起，即要使得三個角有公共的頂點，這是拼角的關鍵．那么是不是說將三個角的頂點移到同一點上就一定能拼成一個平角呢？(學生有點發(fā)懵)

師：請大家把三個角用剪刀剪下來，用盡可能多的方法拼圖．

(教師巡視、指導，大部分學生都能至少拼出一種方案)

經(jīng)提問、交流后，歸納可得到如圖2-4幾種方案(其中圖4還可以是把∠A和∠B互換)：

圖2 圖3 圖4

教師用多媒體把這幾種方案展示在黑板上，并把圖2的拼圖用事先準備好的紙片照樣拼接，用磁鐵固定在黑板上．

教學過程分析讓學生的“手”動起來：授課者利用回顧小學的折疊法，驗證“三角形內角和為180°”結論來開篇.這個實驗操作還是十分有必要做的，因為這個實驗對于一個八年級的學生來說已經(jīng)間隔了好幾年了，一部分學生已忘記，同時這個實驗中角的轉移蘊含著用作輔助線——平行線的方法來證明該定理的解題思路.在教師的引導下，學生很快通過回憶舊知，給出了不同的拼接方法．這個活動本身就是一個需要動手的開放性情境，是一道開放題，它能提供發(fā)現(xiàn)定理結論的情境.可見圖形拼接的探究活動搞好了，整堂課的成功基礎也就奠定了——重點抓住了，難點突破了．從課堂教學效果來看，學生在活躍的課堂氣氛中不知不覺中進入了新課的學習．

師：我們采取不同的方式拼圖可以直觀地看出，這三個角的確可以拼出一個平角，但這能不能說明“三角形內角和是180°”這個命題就是真命題呢？(稍停頓，看著面面相覷的學生)要說這個命題是真命題，這樣驗證顯然是不夠的，還需要進行證明，這也是初中數(shù)學和小學數(shù)學的不同之處．下面我們就來探討如何去證明．

·講授新知

板書：三角形內角和等于180°.

教師引導學生首先分析這個命題的題設和結論，然后用規(guī)范的幾何語言板書,即用圖形語言和符號語言表述命題：

圖5

已知：△ABC.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

師：我們首先來研究圖2.(教師把剛才如拼圖2的教具用粉筆先把△ABC及移位后的∠A和∠B的輪廓描出，然后去掉紙片，添上字母，用直尺規(guī)范畫圖，即得到圖6.)這當中我們添畫了射線CE,又延長了BC，由于這兩條線都是原圖上沒有的，是我們“在原來圖形上添畫的線”，這樣的線叫輔助線，在平面幾何中輔助線通常畫成虛線．

師：由圖2可知，圖6中的∠1=∠A，∠2=∠B．當然這仍然是直觀得出的結論，不是證明,但它卻給我們以啟發(fā),現(xiàn)在我們通過作圖來實現(xiàn)這種轉化,給出證明.(教師引導分析)在剪拼中我們可以把∠B剪下,放在∠2這個位置,在證明中我們可以作出一個角與∠B相等,來代替這種操作.同學們看,應該怎樣添畫輔助線來幫助我們證明這個問題?(教師在原題圖上作圖，如圖7)

圖6 圖7

學生交流討論.

教師提示:(1)∠A和∠1是什么角?(2)怎么證明兩個內錯角相等?(3)在題中要證明哪兩條直線平行?怎么證明它們平行?

師：我們現(xiàn)在來把這個推導過程具體寫一下.要注意,我們剛才是分析,可以由結論推條件,但在書寫過程中,要先寫條件再寫結論,這個順序要理清.

學生口述,教師規(guī)范板書(證法1，板書過程同教科書，略).

師：這個證明我們是通過作等角來找平行線，即利用了平行線的判定定理.我們也可以利用平行線的性質定理來完成本題的證明，即通過先作平行線來完成(證法2，引導學生來完成)．

由此我們可以得出這樣一個結論：要證明一個幾何命題為真命題，一般步驟為(1)分清命題的條件和結論，根據(jù)題意畫出圖形；(2)結合圖形，將命題的條件和結論寫成已知和求證的形式；(3)分析思考，尋找出已知條件推出結論的途徑，并寫出證明過程(板書：條件、結論、畫圖→已知、求證→證明)．

·及時鞏固

師：三角形內角和定理的證明有多種方法,課本練習(教科書第81、82頁)中給出了另外兩種證法.大家能不能分別說出兩題的思路?

學生先理清思路，再補充練習第1、2題的證明,教師巡視指導,然后集體訂正.

師：為了證明三角形的內角和為180°，我們都是通過作相等的角或作平行線來轉化為一個平角來解決的.想一想,我們學過的知識中還有哪個知識點涉及180°？

師：對，我們還可以用“兩直線平行，同旁內角互補”來解決這個問題．

圖8

引導學生過點A作射線AD∥BC(證法3).

(學生板演后，集體訂正)

教學過程分析讓學生的“腦”動起來,“通過我們采取不同方式的拼圖可以直觀地看出，這三個角的確可以拼出一個平角，但這能不能就說明‘三角形內角和是180°’這個命題就是真命題呢？”教師的這個追問一拋出，原來“熱鬧”的課堂一下安靜下來，學生們紛紛停下了手中的活，看著黑板上自己的幾種拼圖開始思考，從而引出新的問題：如何給出嚴格的證明．通過引導，讓學生自己設計證明思路,培養(yǎng)了學生積極的探索精神.在證明三角形內角和定理的三種證法中,教師帶領學生緊跟前面的操作方法,并說明這三種方法的思路是一致的.一方面可以讓學生學會把實際問題用數(shù)學形式表示出來,另一方面也培養(yǎng)了他們建立相關事物之間的聯(lián)系的意識,促進知識的遷移(這是本節(jié)課的重點).在證明三角形內角和定理的(教科書)練習中,讓學生先理清思路再做題,不但可以借鑒別人的思路,而且能做到整體把握,理清脈絡.再者，在證明中為了把三個分散的角加在一起，需要添加輔助線，這是本節(jié)課的一個難點，其實質都是通過作平行線(或通過作一個角等于已知角)而將分離的角集中為共頂點的角．這就是“轉化”思想．

·例題剖析

例1內角三兄弟之爭

在一個直角三角形里住著三個內角，平時它們三兄弟非常團結，可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行?。　崩洗笳f，“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起了……”“為什么？”老二很納悶.

師：同學們，你們知道其中的道理嗎？

(學生稍作思考，很快解決了問題)

例2證明“四邊形的內角和是360°”是真命題．

引導學生分析命題的“題設、結論”，據(jù)此畫出幾何圖形，再寫出“已知、求證”．已知：四邊形ABCD.求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.學生嘗試尋找方法進行推理、證明．最后教師規(guī)范板書解題過程．

教學過程分析例題的設計具有多樣性、趣味性.在定理的證明中，學生通過實驗的啟發(fā)，找到輔助線，完成了從實驗到證明的質的飛躍．一個例題三種證法，涵蓋了開篇的前兩個問題的運用，學生易于接受．緊接其后的“例題剖析”環(huán)節(jié)，可以看做是三角形內角和定理的運用，當學生被定理的證明弄得頭昏腦漲之際，授課者適時拋出了一個趣味十足的“內角三兄弟之爭”問題，課堂氣氛再次活躍起來；命題“四邊形內角和是360°”的證明又再次回歸到對本節(jié)課的重難點的復習鞏固．

·隨堂練習

圖9

1.△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，求∠C的度數(shù)．

2.如圖9，AD,BC相交于點O，若∠A=35°，∠B=56°，∠D=46°，則∠C的度數(shù)是多少？

3.判斷正誤：

①三角形中最大的角是70°，那么這個三角形是銳角三角形( )

②一個三角形中最多只有一個鈍角或直角( )

圖10

·課堂小結(略)

·作業(yè)及課外拓展

1.見《同步基礎訓練冊》.

2.如圖10,∠1,∠2,∠3是△ABC的三個外角.求證:∠1+∠2+∠3=360°.

教學過程分析習題的推出——重基礎、有梯度.為了使學生所學的新知能更好地發(fā)生遷移、鞏固并形成基本技能，需要一定量的訓練.課本的練習主要是鞏固規(guī)范的證明方法；授課者補充的習題則是三角形內角和定理的運用，第1、2兩題較為簡單，學生通過口算就能完成，第3題是對前面的“內角三兄弟之爭”例題的回應，如何用規(guī)范的語言描述出來有一定難度.“作業(yè)及課外拓展”環(huán)節(jié)中的第2題實際上就是證明“三角形外角和是360°”，這是為下一節(jié)課內容的展開埋下一個伏筆，有一定的前瞻性．

3 教學思考

通過上述對本節(jié)課例的剖析，我們可以看出韓老師是通過構建“適合學生實際”的課堂來完成教學任務的．

(1)根據(jù)學情，創(chuàng)造性地使用教材

“數(shù)學好玩”曾經(jīng)是數(shù)學家陳省身對數(shù)學的贊美，但我們往往面對的是：特有的數(shù)學魅力對很多學生來說常常難以接受．要避免出現(xiàn)這種局面，授課者就要在激發(fā)學生學習興趣上下功夫，要通過自己的教學智慧充分展示數(shù)學的親和力，撥動學生的好奇心，激發(fā)學生學習數(shù)學的原動力．章建躍先生在《數(shù)學教育心理學》中提到：“教之道在于度.”這里的“度”，一是要把握教材的“度”，要創(chuàng)造性地使用教材，但絕不是脫離教材，通過對教材的重組使教材內容更加系統(tǒng)和條理，更符合學生的認知基礎和接受水平.本課例中對于定理的證明教科書上只給出一種，由于學生基礎薄弱，對于幾何的規(guī)范證明及輔助線的運用掌握得不好，韓老師便增添了另外兩種方法，以及“例題剖析”和“及時鞏固”，這樣很好地解決了那些對于新知接受較慢的學生的認知困難.二是要掌握學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗，以此為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教，努力把控問題的設計的梯度.試想，如果開篇就直接發(fā)問什么是命題、定義、定理，把動手實驗用“我們在小學階段就已學過”一句話帶過，直接進入作輔助線進行命題的證明，那么這節(jié)課一定是上面教師講得熱熱鬧鬧，下面學生聽得索然無味．

(2)創(chuàng)設條件，促使學生進行數(shù)學思考

數(shù)學思考是數(shù)學教學中最有價值的行為.題型模仿、類型強化、技能操練固然在教學中需要去做，但如果這些措施離開了數(shù)學思考，也只能是無效行為．有思考才會有問題，才會有反思，才會有思想，才能真正感悟到數(shù)學的本質和價值，也才能在創(chuàng)新意識上得到發(fā)展．三角形內角和定理的證明方法1是通過作等角來得到平行線的，這是教科書給出的證法，利用了平行線的判斷定理，證明方法2、3則是授課者創(chuàng)造性地利用教材，來實現(xiàn)“題型模仿、類型強化”.學生能很快作出例2中四邊形的那條輔助線，則很好地說明前面的活動沒有白費功夫，學生已有了自己的思考，體悟到了本節(jié)課的數(shù)學價值——合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論.當學生有了自己的思考，又何愁他們不再繼續(xù)往下探究呢？這就是“學之道在于悟”的道理吧．