張旭強(qiáng) (浙江省杭州綠城育華學(xué)校 310012)

在基礎(chǔ)教育階段，好的數(shù)學(xué)教育應(yīng)更多地傾向于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，尋找學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，并在此基礎(chǔ)上開展暴露數(shù)學(xué)思維過程、提升理解能力的探究活動(dòng).教師在這個(gè)過程中協(xié)助學(xué)生從混沌的模糊狀態(tài)，轉(zhuǎn)變成有意義的、有結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，這是一個(gè)認(rèn)知建構(gòu)的過程[1]，也是學(xué)生素養(yǎng)提高的過程．

章建躍博士認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)需要遵循“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”[2]，筆者認(rèn)為習(xí)題講解也是如此，尤其是高考真題的講解．習(xí)題教學(xué)從教師教的“取勢”，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知，因勢利導(dǎo)；通過師生活動(dòng)使學(xué)生“明道”，教師闡述題中道理，追本溯源，學(xué)生悟出問題的真諦；學(xué)生需要結(jié)合自身的基礎(chǔ)進(jìn)行“優(yōu)術(shù)”，整合認(rèn)知結(jié)構(gòu)，反思擇優(yōu)．本文以2019年浙江高考第16題為例加以說明．

筆者任教班35位學(xué)生用時(shí)15分鐘做此題，得到的反饋信息如表1：

表1 學(xué)生答題情況

通過數(shù)據(jù)分析和學(xué)生訪談，在此題的講解過程中筆者通過以下三個(gè)層次的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生重塑認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

層次1講解切入要“取勢”，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知，因勢利導(dǎo)

這里的“勢”相當(dāng)于章建躍博士說的“理解學(xué)生”.教師要了解學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知水平，只有基于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平給出問題，學(xué)生才會(huì)有自己的解題思路，即認(rèn)知水平?jīng)Q定了學(xué)生的解決方法．

筆者翻閱了答題正確的學(xué)生的解題過程，無一例外地對(duì)題中的|f(t+2)-f(t)|進(jìn)行了直接代入計(jì)算，計(jì)算f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-(t+2)-at3+t=a(t+2)3-at3-2，接下來對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行化簡，這便是教學(xué)中應(yīng)取的學(xué)生的“勢”.當(dāng)然，這里會(huì)出現(xiàn)部分學(xué)生因立方和公式不熟悉而產(chǎn)生的計(jì)算錯(cuò)誤，需要提醒學(xué)生立方和公式的正確運(yùn)用．

解法1和解法2是絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)可的求解的“勢”，對(duì)于學(xué)生已有的“勢”，教師要因勢利導(dǎo)．講解過程中，筆者提問：既然解法2可以換元，為何不在一開始就對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行整體換元？于是得到解法3．

這樣就變成學(xué)生熟悉的一次絕對(duì)值函數(shù)“V”字型圖象的問題．

因勢利導(dǎo)的“導(dǎo)”，要導(dǎo)得及時(shí)、充分.就此題，筆者覺得還應(yīng)繼續(xù)往前，將|6at2+12at+8a-2|看成|(6at2+12at)-(-8a+2)|或|6at2-(-12at-8a+2)|，把最小值問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象在同一直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)相等時(shí)兩點(diǎn)間距離(稱之為縱向距離)的問題．這兩種思考角度雖然高于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知構(gòu)成，但是教師可以將此作為學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，觸手可得．

若0

解法5同解法4,轉(zhuǎn)化為r(t)=6at2與s(t)=-12at-8a+2之間的縱向距離問題，這里不詳細(xì)展開了．

此外，此題還可以從切比雪夫最佳函數(shù)逼近理論進(jìn)行講解分析[3]．對(duì)于“取勢”，筆者覺得還有一層理解，就是要找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，因此針對(duì)筆者所教的學(xué)生，就不從這個(gè)角度進(jìn)行講解分析了．

層次2分析把控要“明道”，闡述題中道理，追本溯源

教師要讓學(xué)生懂得題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)原理，并通過這樣的活動(dòng)提高學(xué)生問題解決的能力．層次1的講解是建立在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，學(xué)生的認(rèn)知很多時(shí)候有個(gè)特點(diǎn)就是“拿來主義”，這個(gè)“拿來主義”指的是學(xué)生一拿到題就直接動(dòng)手算，而忽視了對(duì)題本身數(shù)學(xué)原理的分析．所以在順勢而為之后，教師需要追本溯源，這點(diǎn)也是教師在講解過程中的重點(diǎn)．

本題考查的函數(shù)為f(x)=ax3-x(a>0)，教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生如何分析這個(gè)函數(shù).從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，這是一個(gè)三次項(xiàng)系數(shù)為正的奇函數(shù)．回顧整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生在必修一“冪函數(shù)”的學(xué)習(xí)中了解了函數(shù)y=x3，之后卻很少對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)研究，所以學(xué)生不明此函數(shù)的“道”．為此，筆者在講解過程中設(shè)置了以下幾個(gè)環(huán)節(jié)來突破這個(gè)學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)．

活動(dòng)1 畫出下列函數(shù)的圖象：①y=x3；②y=x3-x．

第一張圖利用冪函數(shù)圖象繪制，第二張圖有的學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性繪制，有的利用高次函數(shù)圖象“奇穿偶回”繪制，對(duì)于后者，筆者額外要求再繪制③y=x3+x的圖象．通過活動(dòng)1的繪圖發(fā)現(xiàn)本題考查的三次函數(shù)圖象的形態(tài)有兩類，筆者把這兩類分別稱為“一路單調(diào)型”(圖1)和“一波三折型”(圖2)．這是對(duì)函數(shù)圖象形的宏觀把控．

圖1 “一路單調(diào)型” 圖2 “一波三折型”

活動(dòng)2 對(duì)于|f(t+2)-f(t)|，設(shè)問學(xué)生這個(gè)式子在哪見過，有什么幾何意義？

生：在學(xué)習(xí)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)時(shí)．

師：那么這個(gè)式子是研究什么的？

生：研究函數(shù)相鄰兩個(gè)單位長端點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值大小．

師：也就是說這個(gè)式子是幫助我們來研究這個(gè)函數(shù)圖象在某兩個(gè)單位定義域所對(duì)函數(shù)圖象的微觀特征．

活動(dòng)3 題組一

①已知t∈R,函數(shù)f(x)=x3，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：2)

②已知t∈R,函數(shù)f(x)=x3+x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：4)

③已知t∈R,函數(shù)f(x)=x3-x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：0)

通過①②(圖3)，學(xué)生能夠感知當(dāng)三次函數(shù)圖象為“一路單調(diào)型”時(shí)，所求式子在t=0時(shí)，即位于原點(diǎn)左、右兩個(gè)單位定義域內(nèi)函數(shù)值變化最小．

通過③(圖4)、④(圖5)、⑤(圖6)，學(xué)生能夠感知當(dāng)三次函數(shù)圖象為“一波三折型”時(shí)，所求式子的值變化取決于研究區(qū)間的大小及圖象上原點(diǎn)兩側(cè)零點(diǎn)之間的距離．

圖3 圖4

圖5 圖6

活動(dòng)4 題組二

①已知b∈R，函數(shù)f(x)=x3+bx，若存在t∈R，使得|f(t+m)-f(t-m)|=0，則實(shí)數(shù)b與m需滿足的關(guān)系是．

對(duì)于①，可以采用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，讓學(xué)生先進(jìn)行直觀感知，然后再從解析式角度進(jìn)行計(jì)算，可以得到滿足的關(guān)系是m2+b=0．

在教學(xué)中筆者通過設(shè)置若干不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生從宏觀到微觀理解此題考查的函數(shù)圖象形態(tài)，刨根問底，揭示問題背后的數(shù)學(xué)原理．

層次3方法選取要“優(yōu)術(shù)”，整合認(rèn)知的結(jié)構(gòu)，反思擇優(yōu)

教師講完習(xí)題不能就此結(jié)束，應(yīng)該讓學(xué)生就教師分析的思路進(jìn)行有效操練.這里的優(yōu)化應(yīng)該是學(xué)生在教師分析后的操練及操練后的反思，以及在新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上對(duì)于同類問題的解決．層次3決定了此習(xí)題講解教學(xué)的成功與否．

學(xué)生在教師講解后從|f(t+2)-f(t)|的角度出發(fā)對(duì)式子進(jìn)行了整理化簡、討論求值，并對(duì)幾種不同的解法再次一一進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，即思維的重組和建構(gòu)，從函數(shù)f(x)=ax3-x的圖象角度出發(fā)去思考圖象的特征，完善此題的解法．

解法6當(dāng)a>0時(shí)，圖象形態(tài)是“一波三折型”的，且圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

令t=m-1，則|f(t+2)-f(t)|=|f(m+1)-f(m-1)|.

有效的反思能夠促進(jìn)學(xué)生日后解題的“優(yōu)術(shù)”．筆者在教學(xué)中從學(xué)生反思得到以下疑問：

(1)這幾個(gè)函數(shù)形式上都沒有x2項(xiàng)，如果函數(shù)改為f(x)=x3+x2會(huì)怎么樣？

(2)此題的函數(shù)可以換成其他函數(shù)嗎？

對(duì)于這些疑問，教師在備課時(shí)應(yīng)有適合教學(xué)班學(xué)情的知識(shí)拓展準(zhǔn)備，筆者準(zhǔn)備的是繼續(xù)研究三次函數(shù)的中心對(duì)稱性．這里就要從f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)這個(gè)一般式說起，最簡單的三次函數(shù)f1(x)=ax3(a≠0)，它的圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形.f2(x)=ax3+d(a≠0)的圖象是在y=f1(x)的基礎(chǔ)上上下移動(dòng)|d|個(gè)單位，它的中心對(duì)稱性也沒有改變．f3(x)=ax3+cx(a≠0，c≠0)是兩個(gè)奇函數(shù)相加，雖然從圖象特征來講，有“一路單調(diào)型”與“一波三折型”，但是最終都還是奇函數(shù)，y=f3(x)的圖象特征還是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.若在此基礎(chǔ)上再添加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)d,它的中心對(duì)稱性也沒有改變，即y=f4(x)=ax3+cx+d(a≠0，c≠0，d≠0)的圖象也是一中心對(duì)稱圖形．

那么f5(x)=ax3+bx2(a≠0，b≠0)呢？

結(jié)合這個(gè)問題，筆者將原題中的函數(shù)進(jìn)行改編：

改編2 已知函數(shù)f(x)=xlnx-x，t∈R，求|f(t+2)-f(t)|min．(答案：0)

此題講解完后,筆者在檢查學(xué)生的整理本時(shí)看到：“這個(gè)題我拿到就算了，還是應(yīng)該再多想想”“這個(gè)題考查三次函數(shù)的形，我都沒有注意到，原來三次函數(shù)圖象也是和二次函數(shù)圖象一樣是有規(guī)律的”“絕對(duì)值問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)縱坐標(biāo)之差，在分析函數(shù)時(shí)，下次要多想想”“三次展開我算錯(cuò)了，下次計(jì)算要仔細(xì)注意符號(hào)”，等等．看到這樣的自我反思，筆者認(rèn)為我們的教學(xué)初見成效，教師教學(xué)的行為促進(jìn)了學(xué)生學(xué)的改進(jìn)．

最終檢驗(yàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的高低，必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn)[4]，因此習(xí)題教學(xué)必不可少．教師在講題時(shí)，應(yīng)做到“取勢”“明道”“優(yōu)術(shù)”這三個(gè)層次．通過這樣的教學(xué)行為，促成學(xué)生有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，并在此過程中促進(jìn)其自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整合．好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立，有助于學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)理解知識(shí)的本質(zhì)，感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)思想和實(shí)踐的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).分析解題過程不僅能“改進(jìn)”解答，而且總能提高“理解”水平[5]，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．