丁益民 (江蘇省蘇州實驗中學(xué) 215011)

1 問題的提出

蘇州市2018-2019學(xué)年第一學(xué)期高二期末調(diào)研卷中命制了以下應(yīng)用題：

圖1

光對物體的照度與光的強度成正比，比例系數(shù)為k1，與光源距離的平方成反比，比例系數(shù)為k2(k1,k2均為正常數(shù))．如圖1，強度分別為8,1的兩個光源A,B之間的距離為10，物體P在連結(jié)兩光源的線段AB上(不含A,B)．物體P到光源A的距離為x．

(1)試將物體P受到A，B兩光源的總照度y表示為x的函數(shù)，并指明其定義域；

(2)當(dāng)物體P在線段AB上何處時，可使物體P受到A，B兩光源的總照度最小？

從實際考查結(jié)果來看，本題成了整份試卷的分水嶺和重災(zāi)區(qū).說簡單似曾相識，因為本題取材于蘇教版選修2-2教材第36頁例4;說不難可實際情況卻出乎預(yù)料，大量的零得分導(dǎo)致本題均分不高．甚至有部分教師感慨：“講過此題的班級卻沒有沒講的班級做得好．”如此現(xiàn)狀不得不引人深思，應(yīng)用題的教學(xué)到底出了什么問題？

2 問題的分析

2.1 從試題中的“爭議點”談命題的科學(xué)性

為避免這樣的命題爭議，在命題時對涉及其他學(xué)科知識背景的內(nèi)容時應(yīng)遵循其他學(xué)科的慣例和約定，減少其他學(xué)科知識中專業(yè)性知識對數(shù)學(xué)考查內(nèi)容的影響,以提高數(shù)學(xué)命題的效度．如本題在設(shè)置時可以仿照教材，用唯一的參數(shù)k作為比例系數(shù)，這樣就比較合理，可讓試題本身的測試效果更加客觀有效．

2.2 在模型求解中談應(yīng)用題的講評處理

本題在解模策略上至少有兩種.

策略1運用導(dǎo)數(shù)．這應(yīng)是本題真正考查的意圖所在.課本上在解方程f′(x)=0時避重就輕地寫到:“解得x=2”，而實際上這恰是多數(shù)學(xué)生難以突破的計算節(jié)點和思維障礙.從調(diào)研試題的實際情況看,很多學(xué)生要么不能準確求導(dǎo)，要么不能準確地解出x.因此，這應(yīng)該是講評中需要用“慢鏡頭”重點講的節(jié)點．在求導(dǎo)環(huán)節(jié)上，可嘗試對函數(shù)模型的形式作一些調(diào)整．

調(diào)整2 將原函數(shù)中的分式結(jié)構(gòu)改寫成分數(shù)指數(shù)冪，再運用冪函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，即f(x)=k[8x-2+(x-10)-2].這樣很容易得到f′(x)．

在解方程環(huán)節(jié)上，即如何解-16x-3-2(x-10)-3=0，可引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的系數(shù)和指數(shù)關(guān)系，并考慮冪函數(shù)(可選y=x-3或y=x3)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性，由此突破解方程時所遇到的計算障礙．

總之，在應(yīng)用題的講評上,應(yīng)研究解答過程中學(xué)生可能會產(chǎn)生的困惑和障礙，根據(jù)學(xué)生的實際情況進行現(xiàn)場指導(dǎo)，這樣才能提高講評的質(zhì)量．

3 問題的反思

(1)應(yīng)用題的命題要考量模型的科學(xué)性和教學(xué)的導(dǎo)向性

筆者曾在文[3]中指出，一道好的數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)為應(yīng)用題的教學(xué)提供良好導(dǎo)向，特別是在一些大型考試(?？肌⒄{(diào)研測試甚至高考)中,更要關(guān)注試題的教學(xué)導(dǎo)向功能．現(xiàn)在很多應(yīng)用題的命制有個不好的傾向——將一個純數(shù)學(xué)問題生硬地套個實際背景，連數(shù)據(jù)都缺乏真實性.這樣的假應(yīng)用題對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)根本沒有好處．命制應(yīng)用題不應(yīng)是簡單的“拿來”與“照搬”，而是在真實客觀的背景下選擇學(xué)生熟悉的、模型典型且有測試空間的數(shù)學(xué)模型進行命題，對涉及其他學(xué)科的知識要慎重,甚至有時要作一些必要的解釋說明，以確保應(yīng)用題的真實性與科學(xué)性;特別要舍棄那些與數(shù)學(xué)建模無關(guān)的非本質(zhì)因素(如這里考題中的系數(shù)問題)，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)功效，讓“數(shù)學(xué)建?！甭涞綄嵦帲?/p>

(2)應(yīng)用題的解題教學(xué)要多在學(xué)生思維節(jié)點處花功夫

正如前文所述，為何沒講的班級比講過的班考得好？問題就出在“講什么、怎么講”上面.如若講不到問題的關(guān)鍵處、講不到學(xué)生的思維障礙(節(jié)點)處，講評的效果肯定不會理想．以往對于應(yīng)用題的解題教學(xué)，更多地停留于分析如何建模以及建立什么模型，卻忽視指導(dǎo)學(xué)生如何解模.僅僅板書一遍的效果甚微，學(xué)生根本沒有建立起與之匹配的相關(guān)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，以后遇到類似問題自然還是做不出．在應(yīng)用題的解模教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生實際的認知結(jié)構(gòu)和能力水平選擇適合的解模策略，講授的方法不在于多和妙，而在于能在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)將其思維障礙講透徹，讓學(xué)生形成“為何這樣去做”的經(jīng)驗，特別是在某些思維節(jié)點處要舍得花時間，適時合理地進行示范指導(dǎo)．這樣不僅能讓學(xué)生突破思維瓶頸與運算障礙，更重要的是讓不同認知起點的學(xué)生均能獲得一定的活動經(jīng)驗，評講效果自然深刻有效．

最后需要指出的是，一道優(yōu)秀的應(yīng)用題需要經(jīng)過反復(fù)修改、斟酌再三才能最終編制成形.我們在教學(xué)中要認真對待應(yīng)用題的教學(xué)，而不是通過“刷”應(yīng)用題來提高“分數(shù)”.通過應(yīng)用題教學(xué)提升學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”的素養(yǎng)才是真正的教學(xué)要義．