石 峰 陶增元 (江西省九江市第十一中學(xué) 332000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》明確提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)發(fā)展學(xué)生的模型思想．為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．[1]在教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實(shí)，但在面對(duì)與實(shí)際生活相關(guān)的應(yīng)用題時(shí)往往會(huì)手足無措，不能正確地從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問題．到底是什么原因造成他們的應(yīng)用能力不強(qiáng)呢？如果我們不去分析學(xué)生在應(yīng)用能力上存在什么樣的問題，不去找到問題的癥結(jié)，盲目地加大訓(xùn)練量，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，就會(huì)造成學(xué)生浪費(fèi)大量的時(shí)間，讓學(xué)生疲于應(yīng)付，進(jìn)而影響學(xué)生的身心健康．我們對(duì)本校學(xué)生進(jìn)行了認(rèn)真仔細(xì)的分析，探尋學(xué)生在代數(shù)應(yīng)用能力方面偏弱的主要原因.

1 讀懂才能審好題 審題常見缺、跳、蒙

影響一個(gè)學(xué)生解答應(yīng)用題正確率的有三個(gè)層面的因素：一是他的知識(shí)儲(chǔ)備，二是他對(duì)題目每一個(gè)量的理解和分析，三是對(duì)題目中量與量之間關(guān)系的理解與分析.每一個(gè)因素的不足都會(huì)導(dǎo)致解題的失敗.第二個(gè)層面與第三個(gè)層面的因素其實(shí)就是常說的審題，審題是解題的第一步，通過審題發(fā)現(xiàn)思路，制訂解題方案，建立模型．審題中的分析題意是建立方程模型或函數(shù)模型的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，它存在的主要意義首先是用來尋找數(shù)量關(guān)系，其次是借助于表格或線段圖用代數(shù)式表示各個(gè)已知量或未知量，最后是用等號(hào)或不等號(hào)把這些量連接起來，從而形成方程或不等式．但由于它不直接反映在試卷上，因此沒有引起學(xué)生、家長(zhǎng)甚至部分教師的重視，導(dǎo)致某些學(xué)生在有意無意之間忽視了這一環(huán)節(jié).做常見題型時(shí)，方程模型一目了然，不需要借助其他的手段就可以得出，但面對(duì)新的背景、新的題型時(shí)，由于平時(shí)沒有相應(yīng)的訓(xùn)練，不能借助其他的思維工具，從而在審題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)缺、跳、蒙等現(xiàn)象．所謂“缺”，是指缺少題中所敘述的相應(yīng)的生活常識(shí)或生活經(jīng)驗(yàn)；“跳”，指的是跳躍式閱讀試題或用跳躍式思維建模；“蒙”，指的是當(dāng)學(xué)生在讀不懂題時(shí)，靠蒙或猜來進(jìn)行建模．具體分析如下.

1.1 缺少必要的生活經(jīng)驗(yàn)

現(xiàn)在的學(xué)生的生活其實(shí)非常單調(diào)，基本上是兩點(diǎn)一線：學(xué)?！彝?大部分學(xué)生被學(xué)校和家長(zhǎng)保護(hù)著，與外界接觸很少，他們不能或不愿去觀察外部世界，從而變成一個(gè)個(gè)“生活小白”．某次統(tǒng)考初一數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了下面一道填空題：

例1盤秤是一種常見的稱量工具，指針轉(zhuǎn)過的角度與被稱物體的重量有一定的關(guān)系，如下表所示：

重量/kg022.53…指針轉(zhuǎn)過的角度0°36°45°54°…

某顧客在一家水果店購買水果，用這種盤秤稱量?jī)纱?，第二次的?shù)量是第一次數(shù)量的兩倍少3 kg，且指針第二次轉(zhuǎn)過的角度比第一次大108°，則該顧客一共購買了kg的水果．

這是一道以實(shí)際生活為背景將一元一次方程與角的度數(shù)結(jié)合起來的綜合試題，它要求學(xué)生首先要建立重量與指針轉(zhuǎn)過的角度之間的數(shù)量關(guān)系，然后用方程的思想進(jìn)行建模，主要考查學(xué)生的建模能力．在實(shí)際解答中，很多學(xué)生由于不做家務(wù)、與外界接觸少，并且這種臺(tái)秤在市面上已不多見等多方面的原因，所以在解答此題時(shí)理解不了指針是怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)、指針的轉(zhuǎn)動(dòng)與重量為什么有這種關(guān)系，甚至有個(gè)別學(xué)生認(rèn)為指針的度數(shù)超過了180°時(shí)指針會(huì)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使很多學(xué)生在這道題上嚴(yán)重失分．

再者，由于時(shí)代的飛速發(fā)展，某些題目的背景已經(jīng)在生活中很少見到，導(dǎo)致學(xué)生無法理解題意或曲解題意．

例2小明全家外出旅游5天，家里的日歷沒有撕．結(jié)束旅游后回家，小明連撕5張日歷，這5張日歷日期的數(shù)字之和是105．那么他們是幾號(hào)回到家的？

由于時(shí)代變遷，這種在上個(gè)世紀(jì)掛在每家每戶的墻上且每天要撕下一張的日歷已經(jīng)成為歷史，現(xiàn)在使用的也只是根本不用撕的掛歷或者臺(tái)歷，更多的學(xué)生看日期是通過手機(jī)等媒介．他們的解題過程是：設(shè)這五天的最中間一天的日期是x，根據(jù)題意可得5x= 105，解得x= 21，x+ 2 = 23，所以他們是23號(hào)回家的．這種解題思路沒有錯(cuò)，但由于對(duì)這種日歷不熟悉，所以誤將撕下的日歷的最后一天當(dāng)作是回家這一天的日期．造成學(xué)生丟分是由于對(duì)生活常識(shí)的不熟悉，而不是對(duì)數(shù)學(xué)的理解欠缺．這類題與當(dāng)前學(xué)生的生活相距太遠(yuǎn)，不能起到考查或提高學(xué)生應(yīng)用能力的作用，應(yīng)當(dāng)被摒棄．

1.2 閱讀理解能力欠缺

某些學(xué)生乃至于他們的家長(zhǎng)對(duì)待學(xué)習(xí)的功利性太強(qiáng)，不重視語文的學(xué)習(xí)，他們認(rèn)為優(yōu)生與中等生的語文成績(jī)相差不大，在語文上所花時(shí)間與所取得的效益相比，性價(jià)比相對(duì)較低．而相比之下，數(shù)學(xué)的優(yōu)生與差生的分?jǐn)?shù)差距非常明顯，在數(shù)學(xué)上花的時(shí)間與所能取得的效益相比，性價(jià)比更高，因此，他們更愿意在數(shù)學(xué)上花更多的時(shí)間，去加大做題量，而減少語文科目的學(xué)習(xí).這些做法看似可以利益最大化，但卻制約了學(xué)生的數(shù)學(xué)進(jìn)步空間．

例3某養(yǎng)雞專業(yè)戶要搭建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成，若籬笆長(zhǎng)為11 m，垂直于墻的一邊長(zhǎng)xm，則養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為m2．

很多學(xué)生在解答時(shí)給出的答案是11x.仔細(xì)思索之余可知，他們是將籬笆長(zhǎng)當(dāng)成了由籬笆圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng).盡管在字面上都含有“籬笆”，都有“長(zhǎng)”，但兩者表示的并不是同一個(gè)意思，是學(xué)生在閱讀時(shí)將這兩者混為一談而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.學(xué)生在試題的理解中暴露出閱讀理解能力不足，從而影響了他們的解題效果．

1.3 跳躍性閱讀

漫畫、游戲中的快節(jié)奏，使某些學(xué)生已經(jīng)養(yǎng)成了一種跳躍式的思維方式，無論是審題還是思考都是采用快進(jìn)的方式進(jìn)行，他們不能靜下心來逐字逐句地閱讀題目、理解題意.經(jīng)常有學(xué)生來問題目時(shí)，只要要求他再一次讀題，他在教師面前乖乖地、逐字逐句地讀完題目后，就會(huì)恍然大悟，原來他有一個(gè)條件沒有看到．

圖1

例4小明家新買了一套商品房，其結(jié)構(gòu)如圖1所示(單位：m)，小明的爸爸打算除臥室外，其余部分都鋪上地磚．試問：

(1)至少需要多少平方米的地磚？

(2)如果所鋪地磚的價(jià)格為80元/m2，那么小明家至少要花多少元錢？

不少學(xué)生在解答第(1)問時(shí)，將原圖補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為4a·4b=16ab，減去空白部分的面積ab，應(yīng)鋪地磚的面積為15ab．第(1)問出錯(cuò)，自然就導(dǎo)致第(2)問也出錯(cuò)．分析學(xué)生錯(cuò)誤的原因時(shí)，竟然是沒有看到“除臥室外”這四個(gè)字，因?yàn)檫@部分學(xué)生為求快速做完試題，他們不是逐字逐句地讀題，而是在跳躍地看題.又是一個(gè)不認(rèn)真審題造成的丟分，不禁讓老師扼腕嘆息．這種不良的審題習(xí)慣造成的丟分勢(shì)必會(huì)影響到學(xué)生的心情，進(jìn)而會(huì)影響到學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．

2 形象抽象兩翅膀 解題卻作兩邊飛

在代數(shù)應(yīng)用題的解答過程中，經(jīng)常涉及到數(shù)學(xué)模型的建立與求解，建立和求解模型的過程包括：從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．[1]7而在這個(gè)過程中，就不可避免地要運(yùn)用形象思維與抽象思維，這兩種思維在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用就是根據(jù)試題所描述的場(chǎng)景，學(xué)生在頭腦中形成一幅畫面，然后把這幅畫面抽象成線段圖，再用代數(shù)式表示每條線段的長(zhǎng)度，最后根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)方程．

例5(北師大教材·數(shù)學(xué)七上)一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35 km/h的速度前進(jìn)，突然，1號(hào)隊(duì)員以45 km/h的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10 km后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45 km/h的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合．1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間？

圖2

在實(shí)際解題中，有以下幾種思維上的誤區(qū)：

(1)不能將頭腦中的畫面抽象成線段圖，在他們的頭腦中形象思維與抽象思維是兩個(gè)孤立的個(gè)體，不能把它們有機(jī)地結(jié)合起來．

發(fā)生這些錯(cuò)誤的根本原因是不能將具體的情景抽象成線段圖，或?qū)€段圖中存在哪幾個(gè)量以及這些量之間的關(guān)系理解不到位．

3 規(guī)律結(jié)論會(huì)歸納 應(yīng)用能力卻低下

數(shù)學(xué)應(yīng)用能力不僅表現(xiàn)在代數(shù)應(yīng)用題的建模上，同樣也體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)新定義、新公式、新結(jié)論的應(yīng)用，即知識(shí)的遷移能力上．所謂知識(shí)遷移就是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，而知識(shí)遷移能力是指我們運(yùn)用已熟悉的舊知識(shí)來解決一些新問題時(shí)所表示出來的能力與素質(zhì)．有的學(xué)生在長(zhǎng)期的題海戰(zhàn)術(shù)下積累了豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)具有了一定的分析、歸納、總結(jié)的能力，但在對(duì)總結(jié)出來的新概念、新知識(shí)的應(yīng)用上存在嚴(yán)重的短板.這主要源于平時(shí)基本是由教師針對(duì)某一類題型進(jìn)行示范講解，之后再大量地進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，學(xué)生只是在被動(dòng)機(jī)械地練習(xí)，失去了主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索的精神，沒有將學(xué)習(xí)到的知識(shí)內(nèi)化成自己的東西，自然就無法遷移到其他的問題當(dāng)中去．

例6觀察下列各式：

(1 +x)(1 -x) = 1 -x2，

(1 +x)(1 -x+x2) = 1 +x3，

(1 +x)(1 -x+x2-x3) = 1 -x4，

(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) =

1 +x5，…

(1)用含x與n的代數(shù)式表示上述規(guī)律；

運(yùn)用上述規(guī)律解決下列問題：

(2)計(jì)算：(1 - 2 + 22- 23+ … - 219) ÷

(1 - 2 + 22- 23+ … -29)；

(3)若1 -x+x2-x3+x4= 0，求代數(shù)式x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019的值．

此題的正確解答是：

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(1 +x)(1 -x+x2- … -xn) = 1 -xn + 1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(1 +x)(1 -x+x2- … +xn) = 1 +xn + 1．

(3)因?yàn)? -x+x2-x3+x4= 0，所以(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) = 0，而(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) = 1 +x5，故1 +x5= 0，x5=-1．將x=-1代入1 -x+x2-x3+x4= 5 ≠ 0，故x≠ -1．

x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019=

-(1 -x+x2-x3+ … +x2 018-x2 019) + 1=

在能將第(1)問寫出正確答案的學(xué)生解答中可以看出，很多學(xué)生無法將得出的規(guī)律運(yùn)用到新的問題中去；在第(2)問的解答中有以下幾種不同的錯(cuò)誤：

(1)將被除式與除式都直接算出來，為 -1 048 575 ÷ (-1 023) = 1 025，盡管答案正確，但卻沒有應(yīng)用自己所歸納出來的規(guī)律；

(2)在化簡(jiǎn)的第一步，被除式與除式都沒有乘(1 + 2)，缺少規(guī)律中的(1 +x)，從而無法應(yīng)用規(guī)律；

在第(3)問的解答中，出現(xiàn)了以下幾種不同的解法：

(1)x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019=1 - 1 +x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019= 1 - (1 -x+x2-x3+x4) +x5(1 -x+x2-x3+x4) - … +x2 015(1 -x+x2-x3+x4) = 1 - 0 + 0 - … + 0 = 1．

這種解法結(jié)果是正確的，但同樣沒有按題目的要求運(yùn)用所歸納出來的規(guī)律；

(2)已經(jīng)運(yùn)用歸納出來的規(guī)律計(jì)算到x5= -1，但他認(rèn)為x=-1，故代入到代數(shù)式x-x2+x3-x4+… -x2 018+x2 019中去，得到結(jié)果為-2 019.這是沒有去回顧原題，如果x=-1，那么1 -x+x2-x3+x4的值能否為0？

從學(xué)生的解答可以看出，他們不善于將自己探索到的規(guī)律或知識(shí)運(yùn)用到后續(xù)的解題當(dāng)中，只是按照自己的理解或經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解答，從而導(dǎo)致了很多不符合要求的解答過程，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)迫在眉睫．

當(dāng)然，學(xué)生在解答試題時(shí)，還存在著意志力不堅(jiān)強(qiáng)的原因．畏苦畏難，解題過程中一旦遇到困難立刻放棄，不愿也不敢去嘗試用其他方法解決自己遇到的困難，還稱其為“識(shí)時(shí)務(wù)”、“果斷放棄”、“不浪費(fèi)時(shí)間”．這充分說明了這部分學(xué)生在面對(duì)困難時(shí)缺乏一種不服輸?shù)膭蓬^，缺乏一種頑強(qiáng)拼搏的精神和堅(jiān)強(qiáng)的意志，缺乏那種“不到長(zhǎng)城非好漢”的豪邁氣概．

由前文的分析可知，學(xué)生在解答代數(shù)應(yīng)用題時(shí)既有審題的原因也有生活經(jīng)驗(yàn)不足等非數(shù)學(xué)原因?qū)е碌氖д`，還有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)能力欠缺造成的錯(cuò)誤.這就要求我們?cè)诜治鲥e(cuò)誤原因時(shí)，不能一概而論，不能簡(jiǎn)單地斥之為不認(rèn)真、不努力造成的，而是要耐心地找到錯(cuò)誤原因，然后對(duì)癥下藥，找到幫助學(xué)生進(jìn)步的最佳途徑．