鐘三明 (廣東省廣州市真光中學(xué) 510380)

1 問題的提出

解析幾何中的定點(diǎn)問題，歷來是高考重要考點(diǎn)．此類問題通常出現(xiàn)某些特殊直線恒過定點(diǎn)的問題，筆者在高三一節(jié)試卷講評課中，針對這一問題，進(jìn)行了探究和推廣．

(2)過點(diǎn)T(4,0)作斜率不為0的直線l與(1)中的軌跡C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，證明直線BD必過x軸上的一個定點(diǎn)．

筆者留意到，本題的第(2)問的結(jié)論中，可以證明得到：當(dāng)直線l繞著點(diǎn)T旋轉(zhuǎn)并與橢圓C相交時，直線BD恒過定點(diǎn)(1,0)．這一結(jié)論讓人有推廣它的沖動，因此筆者就此提出了以下兩個新的問題．

問題3若將橢圓改為雙曲線，則點(diǎn)T在什么位置才能使直線BD過定點(diǎn)？換成拋物線又如何呢？

2 基于GeoGebra的探究

問題2將橢圓以及點(diǎn)T一般化后，由于涉及的運(yùn)算和直線BD的方程較為復(fù)雜，對確定是否過定點(diǎn)有一定的干擾，因此借助GeoGebra平臺，通過實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)論是否成立，為后面的代數(shù)證明提供直觀化的思路支撐．

圖1 圖2

實(shí)驗(yàn)2 改變點(diǎn)T在x軸上的位置，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)T在橢圓外部時，直線BD過的定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部(圖2)；當(dāng)點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部時，直線BD過的定點(diǎn)在橢圓外部，而且定點(diǎn)都在x軸上．繼續(xù)觀察定點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)的橫坐標(biāo)隨著t的增大而減小，并且與t的乘積為定值a2，改變橢圓的方程同樣有這樣的結(jié)論．

3 推廣與證明

通過以上兩個實(shí)驗(yàn)探索，筆者對這類定點(diǎn)問題進(jìn)行了推廣．

(證明類似于定理1，過程略)

將雙曲線換成拋物線，經(jīng)過探究，也可得到直線BD恒過一定點(diǎn)(圖略)．從而得到

定理3已知拋物線y2=2px和定點(diǎn)T(t,0)(t≠0)，過點(diǎn)T的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，D為點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則直線BD恒過定點(diǎn)(-t,0)．(證略)

圖3

繼續(xù)用GeoGebra平臺探究，用“極線/徑線”工具繪出極點(diǎn)T(t,0)關(guān)于圓錐曲線的極線，發(fā)現(xiàn)極線恰好經(jīng)過直線BD經(jīng)過的定點(diǎn)(如圖3所示，以橢圓為例)，因此可得到更一般的

定理4已知圓錐曲線C和焦點(diǎn)所在對稱軸m上異于曲線中心的一點(diǎn)T，過點(diǎn)T的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，D為點(diǎn)A關(guān)于m的對稱點(diǎn)， 則直線BD恒過以T為極點(diǎn)的對應(yīng)極線與對稱軸m的交點(diǎn)．

4 反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出，“提升信息技術(shù)的使用能力”“通過信息技術(shù)與課程的深度融合以及課程資源開發(fā)的多樣化實(shí)現(xiàn)”．這就需要合理運(yùn)用信息技術(shù)，以此提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性．在教學(xué)過程中，把信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程進(jìn)行有效的整合，能夠?qū)⒖菰锏?、抽象的知識變得生動有趣、直觀可感，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，有助于樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時增強(qiáng)課堂中師生之間的互動以及和生生之間的討論交流．

通過用GeoGebra平臺探究，能直觀展現(xiàn)圓錐曲線中和諧、優(yōu)美的結(jié)論，體現(xiàn)解析幾何中蘊(yùn)含的動中有靜的幾何特性，通過探究，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而為我們進(jìn)一步用代數(shù)方法證明結(jié)論提供了可靠的保障．圓錐曲線中還有很多隱藏的美妙定理，課堂上我們可以借助GeoGebra平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，發(fā)現(xiàn)和體會數(shù)學(xué)的美，這對師生來說何嘗不是一件有趣而又有價值的事情，它必將激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的主動性和積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、探究學(xué)習(xí)、空間想象、創(chuàng)新和實(shí)踐等能力，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．