許 團(tuán) (南充科技職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系 637260)

李秀萍 (四川省簡(jiǎn)陽中學(xué) 641400)

覃 淋 (首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100048)

教材是教師教授和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)，其重要性不言而喻．近年來，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的比較研究已成為數(shù)學(xué)教育研究一個(gè)熱點(diǎn)[1].一般而言，數(shù)學(xué)教材由正文、例題和習(xí)題三部分有機(jī)組成．習(xí)題的編排在一定程度上能反映教材的特征和教材編寫者對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解和認(rèn)識(shí)，因而對(duì)數(shù)學(xué)教材中習(xí)題的研究是教材研究的一個(gè)重要方面．目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教材研究大都集中在代數(shù)、幾何等方面，很少涉及統(tǒng)計(jì)；少數(shù)一些相關(guān)文獻(xiàn)，也主要集中在概率，或是將統(tǒng)計(jì)和概率放在一起進(jìn)行研究．

現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)信息化的社會(huì)，大部分信息都以量化的形式進(jìn)行傳播，強(qiáng)調(diào)用數(shù)據(jù)說話，統(tǒng)計(jì)學(xué)正是收集和分析帶隨機(jī)性誤差的數(shù)據(jù)的一門科學(xué)[2]．隨著新課程改革的持續(xù)深入進(jìn)行，統(tǒng)計(jì)越來越受到重視．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將發(fā)展學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析觀念”作為數(shù)學(xué)課程的重要目的之一．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，其中的數(shù)據(jù)分析能力是針對(duì)統(tǒng)計(jì)的．同時(shí)，統(tǒng)計(jì)也是很多國(guó)家中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要組成部分[3]．美國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家C. R. 勞認(rèn)為[4]：“在終極的分析中，一切認(rèn)識(shí)都是歷史；在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性的基礎(chǔ)上，所有的判斷都是統(tǒng)計(jì)學(xué)．”統(tǒng)計(jì)的重要性可見一斑．

統(tǒng)計(jì)作為我國(guó)課程改革中變化較大的內(nèi)容之一，其思維方式和傳統(tǒng)的代數(shù)、幾何、概率等內(nèi)容有所不同，是需要更多關(guān)注的一個(gè)研究領(lǐng)域．很多研究表明，教師對(duì)統(tǒng)計(jì)和概率的認(rèn)識(shí)并不完全正確，理解也不夠深刻，在教學(xué)中得到的重視程度也還不夠[5]．基于此，本研究選擇了統(tǒng)計(jì)習(xí)題作為研究主題，通過統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度測(cè)量模型，對(duì)中國(guó)大陸和中國(guó)臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計(jì)習(xí)題的難度進(jìn)行比較研究，希望能為我國(guó)高中數(shù)學(xué)新教材統(tǒng)計(jì)習(xí)題的編寫提供一些參考意見．

1 研究對(duì)象及研究工具

1.1 研究對(duì)象

考慮教材的使用范圍及教材是否能體現(xiàn)所在地區(qū)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，結(jié)合教材的出版時(shí)間，確定了表1中所列的數(shù)學(xué)教材[6-9]．

文中統(tǒng)計(jì)的習(xí)題包括：教材正文的練習(xí)，每一節(jié)的習(xí)題以及章末復(fù)習(xí)題．中國(guó)臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材中的練習(xí)包括課堂討論、隨堂練習(xí)、課堂活動(dòng)三類．一個(gè)題目如有多個(gè)小題，按題目中小題數(shù)目計(jì)算；一個(gè)題有連續(xù)多個(gè)問題，但沒有分成(1)、(2)、(3)……，仍作一個(gè)題目計(jì)算．另外，統(tǒng)計(jì)習(xí)題數(shù)目時(shí)包括了屬于正態(tài)分布內(nèi)容的習(xí)題．

1.2 統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度測(cè)量模型

結(jié)合“標(biāo)準(zhǔn)”中對(duì)統(tǒng)計(jì)的要求、統(tǒng)計(jì)習(xí)題的特征以及所研究教材的編排特點(diǎn)，選擇了文獻(xiàn)[10]中建立的難度測(cè)量模型，具體見表2．對(duì)于習(xí)題難度的詳細(xì)計(jì)算方法可以參見文獻(xiàn)[10]，這里不再重復(fù)．基于統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度模型，采用定量分析與文本質(zhì)性分析相結(jié)合的方法進(jìn)行比較．

2 結(jié)果分析

2.1 統(tǒng)計(jì)結(jié)果

依照表2 給出的統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度模型，統(tǒng)計(jì)教材中各難度因素處于各水平的習(xí)題數(shù)量，得到表3．

2.2 結(jié)果分析

這里先對(duì)每一個(gè)習(xí)題難度影響因素進(jìn)行定量分析和定性描述，然后結(jié)合5個(gè)難度因素從綜合難度上進(jìn)行比較分析．

(1) 習(xí)題背景因素上的差異

從表3可以看到，中國(guó)大陸和中國(guó)臺(tái)灣教材中，不涉及實(shí)際背景的習(xí)題分別占17.46%，26.73%，與個(gè)人生活有關(guān)的習(xí)題分別占16.67%，32.76%，屬于“公共常識(shí)”的題目分別占49.20%，38.79%，屬于“科學(xué)情境”的習(xí)題分別占16.67%,1.72%．

表2 習(xí)題難度測(cè)量模型

表3 教材中各難度因素的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

在背景因素上統(tǒng)計(jì)結(jié)果的折線圖如圖1所示．

圖1 背景因素上的比較

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，在“無背景”水平上，臺(tái)灣教材所占比例高于大陸教材．在“科學(xué)情境”水平上，大陸教材幾乎達(dá)到了17%，遠(yuǎn)高于臺(tái)灣教材．在“個(gè)人生活”水平，人教A版不到17%，遠(yuǎn)低于臺(tái)灣教材所占比例．在“公共常識(shí)”水平，大陸教材差不多達(dá)到了一半，臺(tái)灣教材只有不到39%．

與原人教版相比，新版大陸教材在背景因素上有了較大的提高，這可能和“標(biāo)準(zhǔn)”的大力強(qiáng)調(diào)有關(guān)．原人教版在習(xí)題背景的設(shè)置上比較欠缺，幾乎一半的習(xí)題都是“純”數(shù)學(xué)題．但可以看到，在人教A版教材中，四種水平的習(xí)題分布也不是很均勻，屬于“公共生活”的習(xí)題比屬于“個(gè)人生活”和“科學(xué)情境”背景的習(xí)題3倍還多．和臺(tái)灣教材相比，屬于“科學(xué)情境”背景的習(xí)題過多.而對(duì)學(xué)生而言，這類背景在日常生活中幾乎沒有接觸過．如人教A版中的習(xí)題：“一般來說，影響農(nóng)作物收成的因素有氣候、土質(zhì)、田間管理水平等．如果你是一個(gè)農(nóng)村調(diào)查隊(duì)成員，要在麥?zhǔn)占竟?jié)對(duì)你所在地區(qū)的小麥進(jìn)行估產(chǎn)調(diào)查，你將如何設(shè)計(jì)這個(gè)調(diào)查方案？”這個(gè)題目的背景屬于科學(xué)情境，而大多數(shù)學(xué)生幾乎很少接觸過這類情境．學(xué)生在解決此類問題時(shí)，會(huì)有較大的難度，同時(shí)這類習(xí)題背景離學(xué)生的實(shí)際生活情境較遠(yuǎn)，教材中這類題目設(shè)置又過多，可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為這是為了強(qiáng)調(diào)所謂的數(shù)學(xué)應(yīng)用而“編造”的題目，反而不利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．

(2)運(yùn)算因素上的比較

大陸教材中不涉及運(yùn)算、簡(jiǎn)單運(yùn)算、復(fù)雜運(yùn)算的習(xí)題所占比例分別為63.49%,26.99%,9.52%；臺(tái)灣南一版教材三類習(xí)題所占比例分別為18.10%,29.31%,52.59%．在運(yùn)算因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示．

圖2 運(yùn)算因素上的比較

由圖2知，兩套教材在運(yùn)算因素上的差異主要表現(xiàn)在無運(yùn)算水平和復(fù)雜運(yùn)算水平，在簡(jiǎn)單運(yùn)算水平上相差不大．大陸教材“統(tǒng)計(jì)”部分的習(xí)題中無運(yùn)算占比高達(dá)63%，而復(fù)雜運(yùn)算的習(xí)題不到10%．臺(tái)灣教材恰好相反，無運(yùn)算的習(xí)題不到20%，復(fù)雜運(yùn)算的習(xí)題超過了50%．從具體題目來看，大陸教材需要計(jì)算的題目大都集中在概率部分，主要是計(jì)算隨機(jī)事件的概率，隨機(jī)變量的分布列、期望和方差等．較復(fù)雜的運(yùn)算主要集中在線性回歸直線的求解和隨機(jī)變量的方差的計(jì)算，而它們又可以通過計(jì)算器(機(jī))快速求得．如人教A版必修3 習(xí)題2.3 A組的第3、4題及B組的第1題，都是要求學(xué)生求出線性回歸方程，計(jì)算量較大，但都可以通過計(jì)算器來輔助計(jì)算．

大陸教材復(fù)雜運(yùn)算習(xí)題所占比例遠(yuǎn)低于臺(tái)灣教材．這不得不讓我們深思，在“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)中，是否過多地把計(jì)算機(jī)作為一種計(jì)算工具，而忽略了計(jì)算機(jī)其他更重要的功能，如計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)．雖然現(xiàn)代信息技術(shù)給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了極大的便利，但以計(jì)算器和計(jì)算機(jī)為代表的現(xiàn)代信息技術(shù)，若只是作為一種教學(xué)的輔助手段，并不能替代基本計(jì)算技能的訓(xùn)練，更不能取代數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的過程．

(3)認(rèn)知要求上的差異

兩套教材中概念性記憶水平習(xí)題分別占0%，9.48%，處于概念性理解水平的習(xí)題所占比例分別為55.56%,55.17%，屬于遷移性理解水平的題目分別占34.92%,33.62%，屬于綜合性探究水平的習(xí)題分別占9.52%,1.73%．在認(rèn)知要求因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示．

圖3 認(rèn)知要求因素上的比較

由圖3可知，兩套教材在認(rèn)知要求因素上水平分布比較一致，習(xí)題最多的都是概念性理解水平的習(xí)題，這類題目強(qiáng)調(diào)對(duì)概念、公式、法則等的理解，而不僅僅是簡(jiǎn)單的記憶．其次，在遷移性理解水平上，兩套教材差異也不大，說明兩個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教材都要求學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決一些相關(guān)的問題.這種一致性在某種程度上說明了國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的趨勢(shì)是大致相同的——強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，讓學(xué)生通過所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題．

和原人教版高中數(shù)學(xué)教材相比，在遷移性理解和綜合性探究水平上，人教A版都稍高于原人教版教材．說明新教材更強(qiáng)調(diào)學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決一些相關(guān)的問題，說明了我國(guó)數(shù)學(xué)教育正在由強(qiáng)調(diào)對(duì)“雙基”的掌握轉(zhuǎn)向強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握與重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用二者并重．

(4) 習(xí)題類型上的不同

兩套教材中標(biāo)準(zhǔn)性題目分別占0%，3.45%，訓(xùn)練性題目所占比例分別為76.19%，86.82%，探索性題目分別占17.46%，10.35%，問題性題目所占比例分別為6.35%，0.在習(xí)題類型難度因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示．

圖4 習(xí)題類型因素上的比較

圖4清晰地反映了兩套教材在習(xí)題類型因素上的水平分布情況非常類似，都集中在訓(xùn)練性題目上．這說明，在儒家文化影響下的東亞地區(qū)都比較強(qiáng)調(diào)對(duì)“雙基”的掌握，也在某種程度上解釋了為什么亞洲學(xué)生總能在一些國(guó)際性測(cè)試(TIMSS，PISA，IEAP等)中拿高分．但這并不能說明我們的學(xué)生問題解決能力強(qiáng)于歐美國(guó)家，如相關(guān)研究表明：中國(guó)學(xué)生在計(jì)算題、常規(guī)問題和條件受限問題解決上遠(yuǎn)高于美國(guó)學(xué)生，但在解決開放問題上卻弱于美國(guó)學(xué)生．

將A版教材與原人教版教材比較，探索性題目增加了很多，這說明我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材在培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力上更為重視．教材中增加了較多開放性的探究題目，如人教A版教材中的一個(gè)習(xí)題：“校學(xué)生會(huì)希望調(diào)查本學(xué)期有關(guān)學(xué)生活動(dòng)計(jì)劃的意見．你自愿擔(dān)任調(diào)查員，并打算在學(xué)校里抽取10%的同學(xué)作為樣本．(1) 你怎樣安排抽樣，以保證樣本的代表性？(2) 在抽樣中你可能遇到哪些問題？(3) 這些問題可能會(huì)影響什么？(4) 你打算怎樣解決這些問題？”這類問題考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，要求學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)去解決生活中實(shí)際的問題，對(duì)學(xué)生而言，有較大的難度，但卻可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

(5)知識(shí)綜合因素上的比較

大陸教材的126個(gè)習(xí)題中單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題占49.21%，兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)占35.71%，3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)占15.08%；臺(tái)灣教材中三種水平的習(xí)題所占比例分別為46.55%，32.76%，20.69%．在知識(shí)綜合因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示．

圖5 知識(shí)綜合因素上的比較

從圖5可以看出，兩套教材的傾向是一致的，僅有1個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題都是最多的，其次是包含有2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題，最少的是包含3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題．同時(shí)，在1個(gè)和2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題所占比例上，大陸教材稍高于臺(tái)灣教材；而在包含3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題所占比例上，臺(tái)灣教材高于大陸教材．

2.3 綜合難度比較分析

前面根據(jù)5個(gè)統(tǒng)計(jì)習(xí)題的難度影響因素對(duì)兩套教材的統(tǒng)計(jì)習(xí)題進(jìn)行了比較，為進(jìn)一步考察教材統(tǒng)計(jì)習(xí)題的綜合難度，計(jì)算了各難度因素的加權(quán)平均值，得到表4．

表4 教材習(xí)題各難度因素的加權(quán)均值和綜合難度

直觀起見，作出了如圖6的雷達(dá)圖．這個(gè)五邊形圖直觀地反映出：在習(xí)題背景、認(rèn)知要求和習(xí)題類型三個(gè)因素上，大陸教材習(xí)題的加權(quán)平均值高于臺(tái)灣教材；在知識(shí)綜合因素上，兩套教材差別不是特別明顯，臺(tái)灣教材略高于大陸教材．在運(yùn)算因素上，臺(tái)灣教材遠(yuǎn)高于大陸教材．從加權(quán)平均值來看，兩套教材在習(xí)題背景和習(xí)題運(yùn)算兩個(gè)因素上差別較大．此外，還可以發(fā)現(xiàn)，大陸教材在5個(gè)難度因素上很不平衡，相差達(dá)到了1.19.而臺(tái)灣教材僅0.60，相較而言，在5個(gè)難度因素上比較平衡．

圖6 兩套教材統(tǒng)計(jì)習(xí)題綜合難度比較

從圖6可以看到，大陸教材在習(xí)題背景和認(rèn)知要求兩個(gè)因素上高于臺(tái)灣教材，尤其是在習(xí)題背景因素上．從習(xí)題背景看，大陸教材中大部分習(xí)題都是公共常識(shí)和科學(xué)情境兩種水平，離學(xué)生個(gè)人生活實(shí)際較遠(yuǎn)．在認(rèn)知要求因素上，人教A版要略高于臺(tái)灣教材．在運(yùn)算因素上，大陸教材遠(yuǎn)低于臺(tái)灣教材．

3 結(jié)論與建議

通過對(duì)中國(guó)大陸人教A版高中數(shù)學(xué)教材和中國(guó)臺(tái)灣南一版高中數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計(jì)習(xí)題的難度的比較，得到以下結(jié)論：

(1)從習(xí)題背景看，大陸教材屬于“公共常識(shí)”背景的習(xí)題最多，相比原來的人教版教材，無背景的習(xí)題也減少了很多.但是數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，“公共常識(shí)”和“科學(xué)情境”背景都是學(xué)生平時(shí)較少接觸的，離學(xué)生的實(shí)際生活情境較遠(yuǎn)，這類習(xí)題過多可能會(huì)讓學(xué)生覺得這些問題是為了強(qiáng)調(diào)所謂的數(shù)學(xué)應(yīng)用而“編造”的題目，不利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．因此，大陸教材可以借鑒臺(tái)灣教材，在習(xí)題中適當(dāng)增加貼近學(xué)生個(gè)人生活的習(xí)題．

(2)在運(yùn)算因素上，大陸教材超過60%的習(xí)題都是無運(yùn)算習(xí)題；加權(quán)均值遠(yuǎn)低于臺(tái)灣教材，這似乎和印象中的我國(guó)教材有些不相符合．這可能和《標(biāo)準(zhǔn)》中非常強(qiáng)調(diào)對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的體會(huì)有關(guān)，但是強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)并不意味著要降低對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的要求，而應(yīng)該在二者之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)．

(3)在認(rèn)知要求和習(xí)題類型因素上，兩套教材表現(xiàn)出的傾向性非常相似．兩套教材中，認(rèn)知要求因素中最多的習(xí)題都是處于概念性理解水平的習(xí)題；從習(xí)題類型來看，大多是訓(xùn)練性題目，臺(tái)灣教材中“訓(xùn)練性題”接近90%．

(4)在知識(shí)綜合因素上，兩套教材表現(xiàn)出的傾向性比較一致，都是隨知識(shí)點(diǎn)數(shù)量的增加，習(xí)題所占比例逐漸減?。y(tǒng)計(jì)表明，兩套教材中大部分題目都僅含1-2個(gè)知識(shí)點(diǎn)，含有三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的題目都很少，臺(tái)灣教材有大約20%，大陸教材含有3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的題目所占比例僅為15.08%．這一點(diǎn)，日本高中數(shù)學(xué)教材做得比較好，日本教材中超過三分之一的習(xí)題都包含三個(gè)及以上的知識(shí)點(diǎn)[1]．因此，習(xí)題的設(shè)置要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，在教材中增加一些知識(shí)綜合性較高的習(xí)題．這樣幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)；幫助學(xué)生形成“數(shù)學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體”的正確觀念．

(5)習(xí)題的安排，應(yīng)考慮各難度因素之間的平衡．研究表明，兩套教材都沒有保持5個(gè)習(xí)題難度因素之間的平衡，知識(shí)綜合因素的加權(quán)均值相比其他5個(gè)因素要小很多，在認(rèn)知上要求都比較高．大陸教材中背景和運(yùn)算兩個(gè)難度因素之間的加權(quán)均值相差達(dá)到了1.19．因此，教材中習(xí)題的選擇和編寫應(yīng)該與數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合，充分考慮其特殊性，注重各個(gè)難度因素之間的平衡．

實(shí)際上，保持各個(gè)習(xí)題難度因素之間的平衡是一個(gè)比較難的問題，很多高中數(shù)學(xué)教材的習(xí)題設(shè)置都沒有處理好這一問題．在習(xí)題的編寫和設(shè)置中，如何保持各個(gè)難度因素之間的平衡是一個(gè)值得深入研究的課題，而各個(gè)習(xí)題難度因素應(yīng)該達(dá)到怎樣的一個(gè)平衡狀態(tài)，也是一個(gè)需要深入研究的課題．