倉萬林 李 紅 (江蘇省江陰市要塞中學(xué) 214432)

2019年3月5日至6日，第三屆“數(shù)學(xué)寫作”論壇暨2019年“數(shù)學(xué)寫作”教學(xué)研討會(huì)在江蘇省江陰市要塞中學(xué)進(jìn)行,來自全國10多個(gè)省份的高校、中小學(xué)、出版社、雜志社等60多家單位的150余名數(shù)學(xué)教育工作者參加了活動(dòng)．論壇由“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟和江蘇省普通高中數(shù)學(xué)課程基地聯(lián)盟主辦，主題是：課程與寫作．在教學(xué)研討環(huán)節(jié)，“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟副秘書長、江陰市要塞中學(xué)李紅老師講授了“數(shù)學(xué)寫作之初見建?！闭故菊n，受到了聽課教師與專家的一致好評(píng).下面呈現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)及對(duì)于本節(jié)課的思考，懇請(qǐng)各位同行和專家批評(píng)指正．

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 起：閱讀走起

首先教師和學(xué)生一起欣賞“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟舉辦的“第二屆中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作競賽”一等獎(jiǎng)作品——夏欣雨同學(xué)的數(shù)學(xué)詩：《冥想》[1]，請(qǐng)學(xué)生朗讀并談感受．

除了數(shù)學(xué)詩歌和解題研究型數(shù)學(xué)寫作外，數(shù)學(xué)建模也是常見的數(shù)學(xué)寫作素材．?dāng)?shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題．在平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)用問題就是簡化版數(shù)學(xué)建模的最常見表現(xiàn)．

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)寫作離不開數(shù)學(xué)閱讀，閱讀是起點(diǎn)．詩歌營造了數(shù)學(xué)閱讀和欣賞的氛圍．同時(shí)，該數(shù)學(xué)詩歌的內(nèi)容和意境對(duì)后續(xù)內(nèi)容有鋪墊作用．

1.2 承：精打細(xì)算

例1數(shù)學(xué)家王元院士買瓜的故事

據(jù)說王元先生家樓下有個(gè)西瓜攤，大瓜三元一個(gè)，小瓜一元一個(gè)．王元先生讓太太買大的，王太太買了兩個(gè)大瓜，又有些猶豫：“大的比小的貴兩倍呢……”王元先生笑著說：“大的比小的合算！”王太太點(diǎn)頭又搖搖頭：“恐怕還是大的吃虧．”

結(jié)合故事，試分析王元先生主張買大西瓜的數(shù)學(xué)道理．

設(shè)計(jì)意圖挑選西瓜有學(xué)問，這是一個(gè)數(shù)學(xué)建模問題，從“西瓜瓤與整個(gè)西瓜的容積比”角度分析買大瓜還是小瓜合算．會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問題，在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)模型，是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)．對(duì)該模型的解讀有多個(gè)不同的角度，在后面的教學(xué)思考中我們有單獨(dú)的說明．

例2“雙十一”期間，小明同學(xué)在商場看中一件T恤，標(biāo)價(jià)398元；一條牛仔褲，標(biāo)價(jià)598元.若商家不實(shí)施優(yōu)惠，那么他購買兩件物品需付款996元．常見的優(yōu)惠活動(dòng)：第一種,每滿100元送50元抵用券，抵用券不參與送券折算；第二種，單件物品滿100元立減50元；第三種，所有物品 5.5折．分析這幾種方式的優(yōu)惠比例差距有多大．

補(bǔ)充問題：商家的精明還不止這些，無論是電商還是傳統(tǒng)商家，都會(huì)在活動(dòng)以前很“善解人意”地將價(jià)格上調(diào)幾元．比如，活動(dòng)前牛仔褲601元，T恤401元．

然后給出幾個(gè)以實(shí)際生活為背景的數(shù)學(xué)寫作參考選題：(1)打車方案或者拼車方案；(2)各種常見的利率問題；(3)常見網(wǎng)絡(luò)紅包的分布問題；(4)花唄消費(fèi)是否合算的問題；(5)房貸或者車貸問題；(6)常見彩票的中獎(jiǎng)概率問題．

設(shè)計(jì)意圖通過生活化的例子，從抽象到具體，從模型的比較中體會(huì)精打細(xì)算背后的數(shù)學(xué)道理．同時(shí)給出對(duì)建模題材數(shù)學(xué)寫作的一般建議．建議學(xué)生先學(xué)習(xí)幾篇學(xué)長學(xué)姐們發(fā)表的作品，看看其他同學(xué)是怎樣寫的，選好材料后應(yīng)找準(zhǔn)問題背后的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)，用簡潔而有說服力的圖表或數(shù)據(jù)說明問題．

1.3 轉(zhuǎn)：考場傳真

圖1

例3(2009·海南卷理)如圖1，為了測量兩山頂M,N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測量.A,B,M,N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M,N間距離的步驟．

分析問題的課本來源(如蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5第21頁“探究·拓展”第9題[2])并給出表1．

表1 2009年寧夏高考數(shù)學(xué)(理科) 機(jī)閱卷題目的得分比率

設(shè)計(jì)意圖本題的設(shè)計(jì)方法較多，思維局限性小、容易上手，不同基礎(chǔ)的學(xué)生都可以做，但方案設(shè)計(jì)的優(yōu)劣體現(xiàn)了較強(qiáng)的選拔性功能．本題滿分12分，作為解答題第一題，從統(tǒng)計(jì)表可以看出學(xué)生的得分情況和我們的預(yù)期有較大差別.不會(huì)數(shù)學(xué)建模，后果很嚴(yán)重！同時(shí)，得分不理想的重要原因是學(xué)生不會(huì)表達(dá).這種綜合能力的培養(yǎng)是簡單的機(jī)械訓(xùn)練很難做到的，也從反面說明了數(shù)學(xué)寫作的重要性．

1.4 換：腦洞大開

例4有一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)(滿分100分)的成績不理想，現(xiàn)在要把成績處理一下，讓50分變成60分.你有什么好主意？請(qǐng)給出設(shè)計(jì)方案．

按小組預(yù)習(xí)準(zhǔn)備，課堂上展示發(fā)言．用軟件GGB檢驗(yàn)其中一種情況，指出可以借助現(xiàn)代教育技術(shù)手段優(yōu)化方案，剔除不滿足實(shí)際問題背景的建模方案．

設(shè)計(jì)意圖當(dāng)數(shù)學(xué)建模的方向不定時(shí)，應(yīng)在分析函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上嘗試構(gòu)造．還可以借用技術(shù)手段，比如用軟件GGB，通過擬合命令，擬合不同的函數(shù)．從圖象中可以看出，建模方案差異很大，可能出現(xiàn)許多不確定的情況，課后可以繼續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案．

1.5 課堂小結(jié)

本節(jié)課我們進(jìn)一步了解了數(shù)學(xué)建模的一般步驟，并欣賞和初步討論了幾則以數(shù)學(xué)建模為中心的應(yīng)用問題．建模題材數(shù)學(xué)寫作的核心在于找出實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的思維審視問題，通過計(jì)算、推理等說明問題．?dāng)?shù)學(xué)建模類型的數(shù)學(xué)寫作更能全面體現(xiàn)“數(shù)學(xué)寫作”文理兼通的課程特征，將學(xué)以致用落到了實(shí)處．

1.6 課后作業(yè)

1.選擇今天課上的一則問題，設(shè)計(jì)解決方案，完成整個(gè)討論過程和方案的作業(yè)報(bào)告．

2.自選方案，完成一篇以數(shù)學(xué)建模為中心的數(shù)學(xué)小論文，選用函數(shù)模型不限．

圖2

3.(南通市2018屆高三數(shù)學(xué)第二次調(diào)研測試題)將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(圖2)，并沿虛線l1和l2裁剪成A,B,C三個(gè)矩形(B與C全等)，用來制作一個(gè)柱體．現(xiàn)有兩種方案：

方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B,C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面；

方案②：以l1為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B,C中各裁剪出一個(gè)正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個(gè)底面．

(1)設(shè)B,C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

(2)設(shè)l1的長為xdm，則當(dāng)x為多少時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

2 教學(xué)思考

2.1 關(guān)于背景

本節(jié)課可以視為數(shù)學(xué)寫作進(jìn)課堂的系列之一．2017年5月，“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟啟動(dòng)儀式上，李紅老師執(zhí)教了“數(shù)學(xué)寫作指導(dǎo)1”一課．其教學(xué)設(shè)計(jì)參見文[3]．2018年9月，“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟2018年教學(xué)研討會(huì)在江蘇常州溧陽市埭頭中學(xué)進(jìn)行．李紅老師執(zhí)教了“解題研究型數(shù)學(xué)寫作欣賞與指導(dǎo)”一課，其教學(xué)設(shè)計(jì)參見文[4]．

2.2 關(guān)于選題

數(shù)學(xué)建模因其有廣泛應(yīng)用的特征，也是我們?cè)跀?shù)學(xué)寫作活動(dòng)中關(guān)注和重點(diǎn)研究的內(nèi)容之一．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等直接和數(shù)學(xué)應(yīng)用問題密切相關(guān)．在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，加強(qiáng)建模能力的培養(yǎng)，“有利于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的習(xí)慣，有利于學(xué)生發(fā)展用數(shù)學(xué)的思維分析實(shí)際問題的能力，有利于學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)實(shí)際問題的能力．”[5]王尚志先生對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了這樣的概括：實(shí)物情景—實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—判斷是否合乎實(shí)際，如果得到的結(jié)果不合乎實(shí)際，可能在某個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，再進(jìn)行修正．

本節(jié)課的主題為初見建模，側(cè)重于數(shù)學(xué)建模的前面幾個(gè)環(huán)節(jié)，同時(shí)兼顧實(shí)際教學(xué)情況，試圖在數(shù)學(xué)寫作指導(dǎo)和實(shí)際教學(xué)情況兩者之間達(dá)到平衡；例3的應(yīng)用問題就是高考真題，作業(yè)中也有模擬題出現(xiàn)．整節(jié)課從結(jié)構(gòu)而言，數(shù)學(xué)欣賞和數(shù)學(xué)寫作作為一明一暗兩條線索交替出現(xiàn)．

2.3 關(guān)于細(xì)節(jié)

數(shù)學(xué)建模問題中素材或者例題的選擇是非常重要的．正如網(wǎng)紅電視系列片《舌尖上的中國》中反復(fù)強(qiáng)調(diào)的:美食的關(guān)鍵是什么？食材！食材??！還是食材?。?！以例題1(數(shù)學(xué)家王元院士買瓜的故事)為例，從當(dāng)初的選擇材料到最終版本，一共經(jīng)歷了以下幾個(gè)版本：

當(dāng)初我們看到這個(gè)故事后感覺非常好，不但延續(xù)了前面數(shù)學(xué)欣賞的風(fēng)格，而且有故事情節(jié)，也有建模的背景．

(2)王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅，他賣西瓜不稱重，大瓜三元一個(gè)，小瓜一元一個(gè)．由于大瓜小瓜差別不大，很多人都拼命地往小瓜那邊擠．王元先生讓太太買大的，王太太買了兩個(gè)大瓜，又有些猶豫：“大的貴兩倍呢……”王元先生笑著說：“大的比小的合算！西瓜吃的是容積，不是面積．小瓜的半徑不到大瓜的三分之二，小瓜的容積不到大瓜的30%，當(dāng)然買大的．”王太太點(diǎn)頭又搖頭：“大西瓜皮厚、小西瓜皮薄，算容積，恐怕還是大的吃虧．”

當(dāng)初的欣喜馬上就結(jié)束了，原版的故事風(fēng)格不太適合教學(xué)中例題的規(guī)范，數(shù)學(xué)課上可能少了數(shù)學(xué)味道．

(3)王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅，大瓜三元一個(gè)，小瓜一元一個(gè)．王元讓太太買大的，王太太買了兩個(gè)大瓜，又有些猶豫：“大的貴兩倍呢……”王元先生笑著說：“大的比小的合算！小瓜的半徑不到大瓜的三分之二.”王太太點(diǎn)頭又搖頭：“恐怕還是大的吃虧．”結(jié)合故事，試分析日常買西瓜的數(shù)學(xué)道理．

前面的案例，在篇幅上已經(jīng)有很大的壓縮，但顯然有很多容易引起誤解的要素在里面，容易分散思考的方向．

(4)王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅，大瓜三元一個(gè)，小瓜一元一個(gè)．王元讓太太買大的，王太太買了兩個(gè)大瓜，又有些猶豫：“大的貴兩倍呢……”王元笑著說：“大的比小的合算！”王太太點(diǎn)頭又搖頭：“恐怕還是大的吃虧．”結(jié)合故事，試分析買西瓜中的數(shù)學(xué)道理．

和前一個(gè)版本相比，這次又刪除了大小西瓜的半徑之比，貼近后面的建模方向，瓤的體積和瓜的體積之比．

這四個(gè)版本的素材打磨很典型，我們前后花了3個(gè)多月時(shí)間．考慮到實(shí)際情況，最終的版本仍然有很多的遺憾．選西瓜問題，實(shí)際要考慮的因素有多個(gè)不同的視角，比如西瓜皮的厚度、瓜皮和瓜瓤的密度差異等，是一個(gè)有較高開放度的問題，完全可以作為單獨(dú)的建模問題來分析．

2.4 關(guān)于不足

數(shù)學(xué)建模問題中，如何從實(shí)際問題中析取模型是關(guān)鍵也是難點(diǎn)，在本課上并沒有講清講透，或許可以適當(dāng)減少例題，將難點(diǎn)講透．課堂的建模分析和數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)之間如何統(tǒng)籌兼顧等其他問題，有進(jìn)一步討論的空間．

堅(jiān)持進(jìn)入課堂的數(shù)學(xué)寫作探索方向不動(dòng)搖，我們將一直努力．