石志群 (江蘇省泰州市教研室 225300)

2014年，教育部出臺的《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》首次提出了“核心素養(yǎng)體系”這個概念，并且將核心素養(yǎng)定義為“適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”．2016年，教育部正式發(fā)布《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》，2017版普通高中各學(xué)科的課程標準又相繼提出了學(xué)科核心素養(yǎng)的框架，提升學(xué)生核心素養(yǎng)成為教學(xué)改革新的目標要求．在教育部組織的幾次關(guān)于教材編寫的培訓(xùn)會上，相關(guān)專家提出了基于核心素養(yǎng)的教材編寫的基本要求，其中非常重要的一條是“大背景”，即用真實的背景性材料，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的提出問題、解決問題的過程，在研究問題的過程中建構(gòu)學(xué)科知識體系．他們認為，只有這樣，才能真正地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．下面是關(guān)于蘇教版普通高中課程標準教科書(數(shù)學(xué))在這方面的探索和思考，一家之言，意在拋磚引玉．

1 “大背景”釋義

每一章的“大背景”是蘊含了本章核心思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)或思維起點的，具有較強生成性的現(xiàn)實材料、數(shù)學(xué)材料(如“復(fù)數(shù)”一章)或其他學(xué)科的科學(xué)材料(如“平面向量”一章)，通過對這些材料的研究，可以揭示或提煉出本章的主問題或核心問題(大問題)．這個或這些主問題對本章內(nèi)容起統(tǒng)領(lǐng)作用：或是本章研究的邏輯起點，由主問題進行學(xué)科的邏輯發(fā)展，就生成了全章的知識結(jié)構(gòu)；或是本章研究的本質(zhì)問題，通過對主問題的不同層面的研究(并列型)或從簡單到復(fù)雜，依據(jù)數(shù)學(xué)研究的一般邏輯順序和方法(遞進型)建構(gòu)本章知識體系．簡單地說，所謂“大背景”，就是一章內(nèi)容的“根”和“源”，章內(nèi)容的展開就是“大背景”的問題解決的過程．

一章中各節(jié)均有節(jié)首語，節(jié)首語是根據(jù)章首語和章首語中提出的本章主問題，以及本章已經(jīng)研究過的內(nèi)容，自然地生成的背景材料，并由此背景材料自然地提出本節(jié)所要研究的主問題(中問題)．節(jié)的主問題是服務(wù)于章的主問題的，因此也就蘊含于“大背景”之中，其研究內(nèi)容是圍繞“大背景”的某個方面(側(cè)面)而進行的．各小節(jié)的中問題就組成了本章問題解決的問題鏈．

無論是章問題還是節(jié)問題，都確保既體現(xiàn)本原性原則：在邏輯起點處提出本章節(jié)最本質(zhì)的問題，揭示本章節(jié)內(nèi)容的核心觀念、核心思想；又遵循適宜性原則：起點低、入口淺，但寓意深，讓學(xué)生能理解、能操作、能探究．

有時一節(jié)的主問題就是一節(jié)課的初始問題，有時在一節(jié)的問題解決過程中又會形成一些新的小問題，也就是解決節(jié)的主題的問題鏈，從而形成了每一堂課的主問題．這些問題鏈有的是顯性的，教材中就展現(xiàn)了，有的需要根據(jù)數(shù)學(xué)的邏輯關(guān)系和學(xué)生的認知規(guī)律進行挖掘，這就是教師教學(xué)設(shè)計的空間和學(xué)生數(shù)學(xué)探究的空間，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是必要的．

在節(jié)習(xí)題、章復(fù)習(xí)題和閱讀、問題與探究等欄目中還設(shè)計了一些超過課程標準要求，但與本章內(nèi)容或章“大背景”相關(guān)的進階性問題、課題或欣賞性材料，目的是為學(xué)生打開通向高等數(shù)學(xué)的一扇窗，在激發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)科的持續(xù)的興趣的同時，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美，增強對初等數(shù)學(xué)內(nèi)容價值、本質(zhì)的理解．比如，“三角函數(shù)”一章的復(fù)習(xí)題第20題運用泰勒公式展開的級數(shù)說明計算器計算函數(shù)值(如sinx, cosx)的原理，對有興趣的學(xué)生來說，此題讓他們在了解弧度制的優(yōu)勢性的同時，能夠感受到極限的思想、逼近的觀念、函數(shù)有理化思想等．

從上文可以看出，基于“大背景”的章單元建構(gòu)框架其實是一種問題解決的建構(gòu)型教學(xué)范式，是在解決由“大背景”產(chǎn)生的大問題的過程中展開數(shù)學(xué)的研究過程，數(shù)學(xué)建構(gòu)的過程也就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程．

綜上所述，基于“大背景”的數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)如圖1所示．

圖1

2 “三角函數(shù)”一章的“大背景”

三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，而周期現(xiàn)象是由周期運動引起的，因此，應(yīng)該選擇某種周期運動作為研究的原型．當(dāng)然，這種原型應(yīng)該是簡單的、基礎(chǔ)的，既便于研究，又可以作為刻畫復(fù)雜的周期運動的基礎(chǔ)．

為此，有兩種選擇，一種是單位圓上運動著的點，另一種是半徑為r的圓上運動著的點．前者是后者的特例．考慮到“三角恒等變換”中的基本公式“加法公式”的推導(dǎo)也應(yīng)該放到這個“大背景”之下進行，而“復(fù)合”運動時幾個圓的半徑可能不同(參見蘇教版普通高中課程標準教科書(數(shù)學(xué))必修二第10章“三角恒等變換”)，我們決定以“半徑為r的圓上運動的點”作為本章的“大背景”．

于是，“三角函數(shù)”一章的章首語就從周期現(xiàn)象緣自周期運動出發(fā)，一個簡單的例子是“圓周上一點的運動”，對半徑為r的圓，其上一點P可以用(r,α), (r,l)或(x,y)表示(圖2)，由此提出本章的主問題(大問題)：r,α,l,x,y有著怎樣的關(guān)系？

圖2

3 建立本章及相關(guān)章節(jié)的研究框架

有了上面的“大背景”和“大問題”，只要按照數(shù)學(xué)研究的基本程序，本章節(jié)的內(nèi)容(中問題)就自然地確定了：

為了使圓上的點進行周而復(fù)始的運動，需要對角的概念進行推廣；

研究r,l與α之間具有怎樣的關(guān)系，從而引入弧度制；

研究α,r,x,y之間的關(guān)系，得到任意角的三角函數(shù)(正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的概念)；

三角函數(shù)都是同一個角α的函數(shù)，它們之間一定有關(guān)系：研究同角三角函數(shù)的關(guān)系；

三角函數(shù)刻畫了圓周上點的運動，圓的幾何性質(zhì)在三角函數(shù)的代數(shù)形式中一定有所體現(xiàn)：研究三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；

有了刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，就應(yīng)該用其對周期現(xiàn)象的規(guī)律進行研究：探討三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

有了三角函數(shù)的理論體系，就可以研究三角函數(shù)是如何刻畫周期現(xiàn)象這個初始問題：三角函數(shù)的應(yīng)用．

以上是本章的內(nèi)容框架．對“三角恒等變換”一章，我們亦以本章的“大背景”為起點，運用兩個圓的復(fù)合運動，形成這一章的大背景及大問題．

這樣的學(xué)習(xí)過程就是數(shù)學(xué)研究的完整過程，是數(shù)學(xué)建構(gòu)的真實過程，數(shù)學(xué)的知識是具有聯(lián)系性、體系性、整體性和結(jié)構(gòu)性的，不是孤立的知識點的組合．這樣的學(xué)習(xí)過程讓學(xué)生可以充分地認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)會數(shù)學(xué)的研究方法，從系統(tǒng)上理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)．這樣的過程無疑會對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展起到比較充分的促進作用．

4 基于大背景設(shè)計每節(jié)課的教學(xué)過程

根據(jù)編寫的理念和方法，使用蘇教版教材時，要充分地理解編寫意圖，特別是要透徹地理解各章的大背景、大問題，基于大背景、大問題進行章節(jié)的整體設(shè)計．要理解本章大問題與各小節(jié)的中問題之間的邏輯聯(lián)系，打通“問題鏈”的邏輯關(guān)聯(lián)，設(shè)計本章的教學(xué)整體框架．

在把握一章整體的同時，還要理解每小節(jié)內(nèi)容的編寫意圖，特別是節(jié)首語中的中問題——這是本節(jié)的主問題、是章問題的重要支點，教學(xué)設(shè)計與實施都要圍繞這個支點充分地展開．否則，缺少了每一節(jié)的支點的支撐，章的設(shè)計意圖、教學(xué)目標就無法達成．

下面以“弧度制”一節(jié)的教學(xué)為例加以說明，以下是教學(xué)設(shè)計的主體部分(某些內(nèi)容簡略表述)．

·問題情境

師：從章首語可知，大千世界存在大量的周期現(xiàn)象，而周期現(xiàn)象是由周期運動決定的.為了建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，我們選擇了周期運動中最簡單的原型——圓周上一點的運動．為此我們分別用(r,α), (r,l)(α,l,r分別為圓心角的大小、弧長、半徑)及(x,y)來刻畫圓周上點的位置(見章首語中圖)，并提出本章初始問題：

α,l,r,x,y之間具有怎樣的關(guān)系？

師：今天我們先來考察r,l與α之間具有怎樣的關(guān)系.(教師邊敘述邊板書，如圖3)

圖3

·數(shù)學(xué)建構(gòu)

(1)關(guān)系分析

師：這個式子反映了r，l與α之間的何種關(guān)系？

生：弧長l由半徑r和圓心角α確定．確定的r,α變化時的弧長l(幾何畫板演示)；確定的α,r變化時的弧長l(幾何畫板演示)．

師：上面的式子還可以作怎樣的變形？由此又可以得到r,l與α之間的何種關(guān)系？

(2)建構(gòu)新知

生：系數(shù)中的“360”是由角度制的單位的選定所決定的．

師：這個單位的選定不僅使關(guān)系式復(fù)雜，而且其中弧長、半徑都是實數(shù)，是十進制的，而圓心角α的大小是60進制的.將來我們可以發(fā)現(xiàn)，這種不同的進位制會給三角函數(shù)的進一步的應(yīng)用帶來很多麻煩，而“統(tǒng)一”的觀念在數(shù)學(xué)中是非常重要的．那么，如何建立一種新的角的度量制度，使得r,l與α之間的關(guān)系顯得簡潔優(yōu)美，而且三個量的進位制又得到統(tǒng)一呢？

師：如果這樣定義，這個角的度量制度的單位是什么？

由學(xué)生獨立思考，完成建構(gòu)．

師：關(guān)系肯定簡單了，進位制統(tǒng)一了嗎？

圖4

通過圖4，引導(dǎo)學(xué)生認識到：角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與弧度數(shù)的集合之間建立起了一一對應(yīng)關(guān)系，即角的集合與實數(shù)集R之間建立起了一一對應(yīng)關(guān)系：每一個角都對應(yīng)唯一的一個實數(shù)；反過來，每一個實數(shù)也都對應(yīng)唯一的一個角．

(3)建構(gòu)并鞏固

1)板書定義.

2)練習(xí)：①半徑為2 的圓，弧長為4時的角的大小是多少？長度為3時的角的大小是多少？長度為π時的角的大小是多少？②半徑為1的圓(單位圓)，弧長為3時角的大小是多少？

3)互化．

師：現(xiàn)在我們有了兩種度量角的制度：角度制和弧度制.這兩個度量制之間的關(guān)系如何呢？比如，30°是多少弧度呢？(學(xué)生獨立完成)

·回顧反思

研究思路(研究過程的回顧)，數(shù)學(xué)結(jié)論(所得到的數(shù)學(xué)結(jié)果的總結(jié))，數(shù)學(xué)觀念(運用的數(shù)學(xué)的價值觀念、思想方法的提煉)．

·數(shù)學(xué)應(yīng)用

弧度制下的弧長公式、扇形面積公式．對扇形面積公式進行兩種度量制的比較，并將扇形面積公式與三角面積公式進行類比，讓學(xué)生感受弧度制的優(yōu)勢．

·布置作業(yè)(略)

本節(jié)的主問題是“r,l與α之間具有怎樣的關(guān)系？”，因此，就要圍繞這個主問題展開探究性思維活動．本設(shè)計對所得到的關(guān)系式進行變形，從不同的結(jié)構(gòu)形式發(fā)現(xiàn)不同的關(guān)系(代數(shù)式幾何意義的解釋)，為即將進行的數(shù)學(xué)建構(gòu)建立邏輯依據(jù)和審美基礎(chǔ)．

從關(guān)系式的審美要求及不同量的進位制的差異，運用數(shù)學(xué)的理性精神、審美追求，提出建立新的角的度量制，以簡化關(guān)系式、統(tǒng)一進位制的要求；讓學(xué)生大膽假設(shè)，自主建構(gòu)，使得提出建立新的角的度量制的想法成為邏輯的必然，也為確定這個度量制的“單位”提供思維的支點．也就是說，知識生成的思維過程是基于邏輯的、自然的，不是教師或教材強加給學(xué)生的，教學(xué)流程順其自然、水到渠成．

建立了弧度制后，就有必要反過來思考：新的度量制是否達到了我們事前提出的要求？通過單位圓讓學(xué)生直觀地認識弧度制的實質(zhì)，不僅是必要的，而且對學(xué)生思維的嚴密性、嚴謹性和數(shù)學(xué)研究的良好思維習(xí)慣——反思——都有非常積極的意義．

有了弧度制后，就有了兩種度量角的“制度”了，一個自然的問題：它們之間具有怎樣的關(guān)系？這就成為本節(jié)課的問題鏈中第二個重要環(huán)節(jié)．

最后，通過扇形的面積公式的推導(dǎo)讓學(xué)生感受到弧度制的優(yōu)勢：兩種角度度量制下的公式的比較，讓學(xué)生更真切地體會到了弧度制的先進性．事實上，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，這種優(yōu)勢、先進性還會得到更加充分的體現(xiàn)(章復(fù)習(xí)題中已有體現(xiàn))．

5 基于“大背景”的教材使用和數(shù)學(xué)教學(xué)的建議

綜上所述，對蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書的使用及基于“大背景”的章單元建構(gòu)下的數(shù)學(xué)教學(xué)提出建議：

一是結(jié)合教材，特別是章首語，理解一章內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)、核心思想，了解其現(xiàn)實背景、理論淵源及其數(shù)學(xué)發(fā)展的真實過程，理解數(shù)學(xué)家們對該內(nèi)容研究的思維起點、數(shù)學(xué)思想，做到在數(shù)學(xué)上理解到位，關(guān)鍵之處把握準確．如三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)實世界中存在大量周期現(xiàn)象，歐拉就是通過圓周上點的運動的研究建立三角函數(shù)概念的．這里的三角函數(shù)與他以前的三角學(xué)中的內(nèi)容是完全不同的，因此，無論從數(shù)學(xué)的邏輯還是從認知的邏輯的角度看，我們都不可能從推廣的視角引進任意角的三角函數(shù)．本章教學(xué)要抓住一個關(guān)鍵：通過對章問題的不同層面的研究，建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并研究該模型的性質(zhì)和應(yīng)用．

二是通過教材，理清本章內(nèi)容的邏輯順序、內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成全章的教學(xué)主線，清晰明了地呈現(xiàn)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生準確把握全章知識結(jié)構(gòu)．如“三角函數(shù)”一章的各小節(jié)內(nèi)容都是從章問題自然派生出來的，是環(huán)環(huán)相扣的一個整體，它始終貫穿一條主線——圓上一點運動的規(guī)律的刻畫．從這個角度看，由于章問題的核心意義已經(jīng)確定，沿著正常的思路，研究的流程、內(nèi)容、方法也就基本確定了，學(xué)生完全可能根據(jù)所要研究的章問題，按數(shù)學(xué)研究的一般方法、程序和基本套路，確定接下來要研究的子問題．即使剛開始時學(xué)生的能力還達不到這樣的要求，但在長期的、常態(tài)化的、每個章節(jié)都在進行的固化的學(xué)習(xí)進程中，這種能力是一定能得到提升的．

四是仍然要重視每個教學(xué)環(huán)節(jié)的細節(jié)處理技術(shù)，讓教學(xué)難點得到克服，以促進學(xué)生的深刻理解．跟傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)一樣，在問題解決、數(shù)學(xué)建構(gòu)的過程中總是存在一些認知難點的，尤其是這種以探究式為主的學(xué)習(xí)方式，可能遇到的困難要更多一些，因此，設(shè)計必要的輔助性、階梯式的子問題(腳手架)就非常必要．而這種問題的啟發(fā)功能既降低了難度，也指導(dǎo)了方法，讓學(xué)生學(xué)會分解問題、簡化問題、轉(zhuǎn)化問題，提高解決問題的技能．如案例中對r,l與α之間的關(guān)系式的變式理解、通過實例對弧度制下角的集合與實數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系的理解等．