吳艷 楊有龍

【摘要】對(duì)于給定的矩陣，經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換，可得到行最簡(jiǎn)形矩陣，本文以此知識(shí)點(diǎn)為切入點(diǎn)，討論了行最簡(jiǎn)形矩陣的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，并是通過(guò)給定的具體矩陣，循序漸進(jìn)探索了與行最簡(jiǎn)形矩陣相關(guān)的結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)方法;數(shù)學(xué)教育;高等教育;啟發(fā)式教學(xué);研討式教學(xué)

【基金項(xiàng)目】2013年第三批國(guó)家級(jí)精品資源共享課立項(xiàng)資助（1040）;西安電子科技大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目資助。

【中圖分類號(hào)】G642.3【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）07-0246-02

大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目的之一是激發(fā)學(xué)生思考、開啟學(xué)生思維，如何在課堂教學(xué)中根據(jù)知識(shí)點(diǎn)循序漸進(jìn)、逐步展開，既達(dá)到了傳授知識(shí)的目的，又達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生思維的目的，這是對(duì)研討與啟發(fā)式教學(xué)的基本要求，也是教師教學(xué)能力提高的主要方向之一。本文以知識(shí)點(diǎn)“行最簡(jiǎn)形矩陣”為切入點(diǎn)，淺析行最簡(jiǎn)形矩陣的研討與啟發(fā)式教學(xué)，為大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)起到拋磚引玉的效果[1-5]。

同濟(jì)版線性代數(shù)[1]第三章“矩陣的初等變化與線性方程組”中對(duì)“矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣”[3，4，6-9]的定義是矩陣經(jīng)過(guò)一系列初等行變換后，得到的行階梯形矩陣滿足兩點(diǎn)“最簡(jiǎn)”[1]：（1）每一行的第一個(gè)非零元素為1;（2）這個(gè)1所在列的其他元素均為0。對(duì)于任意的矩陣，它的行最簡(jiǎn)形矩陣是否唯一存在？在教材中通過(guò)舉例，得到結(jié)論“由此可猜想到一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形A矩陣是唯一存在的”。按照教材的內(nèi)容實(shí)施教學(xué)，教師和學(xué)生均感覺(jué)“行最簡(jiǎn)形矩陣”的概念是“只可意會(huì)不可言傳”，“行最簡(jiǎn)形矩陣唯一存在性”好似空中樓閣，沒(méi)有理論支持。只有理解“行最簡(jiǎn)形矩陣”的概念和相關(guān)結(jié)論理解“列最簡(jiǎn)形矩陣”的概念和結(jié)論，從而使“矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型”教學(xué)水到渠成。因此“行最簡(jiǎn)形矩陣”教學(xué)重要性顯而易見[1，4，5，7]，事實(shí)上“行最簡(jiǎn)形矩陣”的應(yīng)用也非常重要[3，6，8，9]。本文將給出“行最簡(jiǎn)形矩陣”的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，并探討“行最簡(jiǎn)形矩陣的唯一性”，為“行最簡(jiǎn)形矩陣”的研討式教學(xué)提供思路。

1.數(shù)學(xué)語(yǔ)言給定義，力求嚴(yán)謹(jǐn)化，鍛煉問(wèn)題的描述和表示能力

教材中稱如下的矩陣B1和B2為行階梯形矩陣，文字描述為“其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0;每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即使非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元。”

B=，B=;

B2=，B2=;

關(guān)于行最簡(jiǎn)形矩陣的定義，教材中通過(guò)矩陣B2的舉例給出，稱行階梯形矩陣B2為行最簡(jiǎn)形矩陣，“其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都為0。”要求學(xué)生根據(jù)這些文字描述和具體的特點(diǎn)刻畫，給出矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣r定義，這一要求將促使學(xué)生根據(jù)現(xiàn)象，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)數(shù)學(xué)定義。

定義1矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣r

設(shè)矩陣A=（aij）m×n經(jīng)過(guò)一系列初等行變換后為矩陣r=（ij）m×n，當(dāng)?shù)趇行元素不全為零時(shí)，記≠0（i≤ik≤n）且ij=0（1≤j≤ik），若r滿足：（1）1k<2k<…

上述定義的矩陣r的第1行至第d行不全為零，每一行從左至右第一個(gè)非零元素均為1，所在位置的字母表達(dá)分別為，，…，，…，，其中1k<2k<…

2.根據(jù)定義多實(shí)踐，力求發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，鍛煉提出問(wèn)題的能力

設(shè)矩陣A=，讓學(xué)生求解矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣r。學(xué)生甲和學(xué)生乙求解過(guò)程如下：

學(xué)生甲：

（E，A）=r-r

→=（P，r）

學(xué)生乙：

（E，A）=r-r-r3

→=（Q，r）

所以對(duì)于P=，Q=，有PA=QA=，矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣為r=。兩位同學(xué)雖然采用了不同的初等行變換手段，但最后獲得相同的結(jié)果r，讓學(xué)生討論、提出問(wèn)題，鍛煉大學(xué)生的理解力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。最關(guān)心的問(wèn)題：（1）矩陣P和Q可逆嗎？（2）矩陣P和Q有什么關(guān)系？（3）“矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣唯一存在”嗎？

3.根據(jù)出現(xiàn)的具體問(wèn)題，通過(guò)小組研討、理清思路，鍛煉學(xué)生解決問(wèn)題的能力

由于矩陣P和Q是將單位矩陣分別經(jīng)過(guò)一系列初等行變換而得到的，每一次的初等行變換都是可逆變換，所以矩陣P和Q一定可逆。讓同學(xué)們求出P-1和Q-1，并比較其異同。

觀察P-1=，Q-1=，顯然P-1和Q-1的第一、二列完全相同，這是巧合嗎？教師提出下面兩個(gè)具體的命題，讓同學(xué)們證明。這里注意教學(xué)要注重問(wèn)題的分析和進(jìn)一步的知識(shí)探討、研討式教學(xué)要注重問(wèn)題的研究和證明，并給出明確的結(jié)論。

（1）若R是一個(gè)可逆矩陣，且R-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同，那么RA=r

證明令R-1=，|R-1|==a-b+c≠0，R-1的伴隨矩陣

（R-1）？鄢=，

于是

R=，

因此

RA===r

.

（2）若R是一個(gè)可逆矩陣，且RA=r，那么Q-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同。

證明設(shè)R-1=（rij），于是有

A==R-1r=·=，

通過(guò)對(duì)比可得

R-1=，

因此R-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同。

（3）矩陣Amn的行最簡(jiǎn)形矩陣唯一存在。

文[3]指出這個(gè)結(jié)論的證明并不是很容易，文[6]給出了基于數(shù)學(xué)歸納法的證明，文[7]也給出了一種新的證法，無(wú)論哪一種證明，都需要補(bǔ)充其他知識(shí)才容易理解。有興趣的同學(xué)可自己閱讀，在教學(xué)中不應(yīng)鼓勵(lì)所以學(xué)生掌握矩陣Amn的行最簡(jiǎn)形矩陣r唯一存在的證明，但是可通過(guò)習(xí)題讓大家親身體會(huì)這一重要結(jié)論，或者告訴學(xué)生利用下一章的知識(shí)更容易獲得唯一性的證明。

4.結(jié)束語(yǔ)

隨著高等教育的深化改革，課堂教學(xué)更應(yīng)重視啟發(fā)式和研討式教學(xué)，讓學(xué)生享受學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。教育的目的是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，而能力發(fā)展是學(xué)生發(fā)展的主要標(biāo)志與核心內(nèi)容[11]。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生獲得的就不僅是顯性的數(shù)學(xué)符號(hào)，而且也包括思想和方法[10]。本文以“行最簡(jiǎn)形矩陣”的教學(xué)切入點(diǎn)，通過(guò)建立嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，從具體的個(gè)例出發(fā)，循序漸進(jìn)的知識(shí)展開，嚴(yán)格的推理、積極的求索真相，研究知識(shí)的來(lái)龍去脈，搞清知識(shí)的相互關(guān)系，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生提出問(wèn)題、理解問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的目的。

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作者簡(jiǎn)介：

吳艷（1969-），女，重慶云陽(yáng)人，副教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)方法和創(chuàng)新思維研究。

楊有龍（1967-），男，陜西蒲城人，博士，現(xiàn)為西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授、博導(dǎo)，教學(xué)方面的主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育與教學(xué)管理。