常會敏

（國家開放大學 應用數(shù)學學院，北京 100039）

概率論的起源與賭博有關，著名的“分賭金”問題就是概率論的萌芽發(fā)展。由于概率論豐富的內容和研究對象的廣泛性，使得它逐漸滲入很多相關領域。近年來，隨著科學技術的迅猛發(fā)展，概率論已經在經濟、教育、心理學等方面發(fā)揮著至關重要的作用，也在日常生活中影響著我們的決策。

一、賭博與概率論

【案例】2018年，金立手機品牌創(chuàng)始人劉立榮親口承認在塞班島參與賭博，從金立“借用”了資金，輸了大概“十幾個億”，直接導致金立集團資金斷裂。同年11月，金立申請破產重組。賭博可能不是導致金立破產的根本原因，可卻毀掉了一個人的大好前途，讓劉立榮人格破產。

概率論中有一個著名的賭徒輸光定理：在“公平”的賭博中，任一個擁有有限賭本的賭徒，只要長期賭下去，必然有一天會輸光，即“賭久必輸”。下面從概率論的角度給出嚴密的解釋。

假設賭徒的初始資金為n（任何一個賭徒，不論多么富有，n總是一個有限值），每賭一次或贏或輸，資金分別變?yōu)閚＋1或者n-1，輸或者贏的概率都為0.5。設P(n)表示從n開始一直賭下去，資金變?yōu)?的概率，顯然有P(0)=1，并且容易得到遞推關系

（1）式變形可得關系式

我們假設P(1)=a(0≤a≤ 1)，由（2）式知

P(2)=2a-1,P（3）=3a-2,…,P(n)=n(a-1)+1

由概率的性質可知P(n)=n(a -1)+1≥0對于任意大的n都成立，故a接近于1。對于任意數(shù)n，P(n)也接近于1。

因此，無論一個人多么富有，即使以0.5的勝率參與賭博，如果長期賭下去，必然有一天會輸光。每個人都應該遠離賭博，杜絕賭博惡習，潔身自好。

二、彩票與概率論

【案例】2010年開始，上海的徐某喜歡上了買彩票。剛開始，他購買彩票尚能量力而行，運氣好還中過獎，這讓他感覺買彩票既好玩又能賺錢，逐漸上癮，每次出手經常是兩三萬元買彩票。徐某就這樣沉迷于買彩票六七年，前后花費600多萬元買彩票。可惜的是，他買得越多，“輸”得越多，結果搞得傾家蕩產、走投無路，在向彩票站老板借錢遭到拒絕后，竟當場潑灑酒精焚燒彩票機，觸犯法律。結果徐某被浦東新區(qū)人民法院以放火罪一審判處有期徒刑四年。

我國的彩票分為體育彩票和福利彩票兩種，是由國家統(tǒng)一發(fā)行的，目的是籌集社會公眾資金，資助福利、體育等社會公眾事業(yè)。[1]因而購買彩票應該本著娛樂的心態(tài)，為國家籌集資金，奉獻愛心，而不應該沉迷于彩票，靠彩票發(fā)家致富。一張彩票的中獎概率有多大呢？下面以雙色球為例，用概率論的知識計算彩票中獎的概率。

雙色球為兩區(qū)號碼投注，投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成，紅色球號碼從01—33中選擇，藍色球號碼從01—16中選擇。投注者所選單注投注號碼與當期開出中獎號碼相符的球色和個數(shù)確定中獎等級，假設中獎等級與相應的獎金按如下分布（見表1）。

表1 雙色球中獎等級與相應的獎金分布

設Pi表示中i等獎的概率（其中i=1,2,3,4,5,6），由概率論的知識得到

假設購買一張雙色球需要花費2元，設X表示購買一張雙色球所得利潤，則X可能的取值為1 000萬、50萬、3 000、200、10、5、-2（為了計算的方便，中獎時所得利潤沒有減去花費2元），則隨機變量X的分布列如下（見表2）。

表2 隨機變量X的分布列

因而購買一張彩票所得利潤的期望

即每購買一張彩票，平均收益是負值。

因而購買彩票要有平和的心態(tài)，千萬不能被一等獎的巨額獎金沖昏頭腦，甚至不惜借錢購買大量彩票，最終只能導致與長期賭博有同樣的下場。

三、保險與概率論

【案例】王先生是一位身材魁梧的東北漢子，靠自己的努力在北京扎根買房，還組建了一個幸福的家庭。為抵御小家可能遭遇的風險，2010年，王先生在某保險公司為自己投保了終身男性重大疾病險保額10萬，同時購買了提前給付重大疾病保險，保額40萬。2018年底，王先生感覺上腹脹痛，起初以為是慢性胃炎發(fā)作，并未重視，但癥狀逐漸加重，疼痛難忍，于是王先生去某醫(yī)院檢查，經醫(yī)生詳細檢查后確診為“原發(fā)性肝癌”。王先生得知病情后，及時聯(lián)系保險公司的服務人員，申請理賠并遞交相關材料，最終保險公司支付王先生保險費共計50萬元。

保險，是現(xiàn)代出現(xiàn)頻率比較高的一個詞匯，與我們的生活息息相關，例如汽車保險。保險最大的意義是，用最小的成本進行風險轉移，從而保障生活中小概率事件的產生，以降低損失等。如果是發(fā)生頻率高且損失大的事件，一般情況下保費會很高，甚至保險公司會拒絕承保。我國的保險行業(yè)是一個盈利機構，且存在巨大的利潤，2019年第一季度保險行業(yè)整體盈利763億。究其原因，就是成功的運用了小概率事件原理。下面通過一個例子看保險公司如何盈利。[2]

某一保險公司，有2 500個同一年齡層的相同社會階層的人參加保險，在一年內，每個人死亡的概率為0.002.每個參加保險的人在1月1日支付12元保險費，如果他在這一年內死亡，家屬可以從公司領取保險費2 000元，求此保險公司虧本的概率。

分析：該保險公司一年內的收入為2 500×12=30 000元，假定投保的人一年內死亡x人，則公司應賠付的錢為 2 000x，因此當 2 000x＞30 000，即x＞15時，該公司會虧本。已知x～B(2 500,0.002)，求的是概率P(x＞5)。

由泊松定理：對于二項分布B(n,pn)，若當n→ +∞時，n pn→λ（固定常數(shù)），則，當n很大而p很?。ㄍǔＲ髉＜0.1），np大小適中（通?！?5）時，二項分布的概率函數(shù)近似等于泊松分布的概率函數(shù)。

解：假定參加保險的人一年內死亡x人，x＞15時，該公司會虧本。已知x～B(2 500,0.002)，由泊松定理，

“保險公司賠錢”是一個小概率事件。事實上，該公司在本年獲利小于10 000元的概率是0.014，即正常情況下，該公司獲利不會少于10 000元。

四、相互寶與概率論

2018年10月16日，由螞蟻保險和信美聯(lián)合推出相互保險新產品——相互寶。截至2019年5月，已有超過6 000萬人加入了相互寶計劃。相互寶具有如下特點：門檻低，0元加入；可隨時退出；覆蓋全，可覆蓋100種重癥疾?。活~度高。如果成員生病，最高可獲得30萬的互助金；分攤費用少。一人生病，大家分攤，2019年分攤費188元封頂。相互寶每月14日、28日為分攤日，根據加入的人數(shù)和患病的人數(shù)決定分攤金額的多少，下面通過一個例子感受相互寶的強大作用。

假設相互寶中成員人數(shù)為5 000萬，公示100個出險案例，按最高賠付金額100×30萬=3 000萬元，加上協(xié)議中規(guī)定的10%管理費即300萬元，那么在分攤日，就是5 000萬人平攤3 300萬元，人均分攤3 300÷5 000=0.66元。相互寶一年分攤費用預估在100—200元之間。

對于一個健康的人來說，雖然得100種重癥疾病中的某種疾病是一個小概率事件，但也有可能不幸發(fā)生。相互寶每月的分攤費用很低，正是這種“抱團取暖”的思路，低分攤、（相對）高賠付，因而不斷有成員自愿加入相互寶。

五、結束語

概率論知識起源于生活，反過來又指導和影響著我們的生活。充分利用概率論知識與生活的緊密聯(lián)系，結合生活中的有關案例，有助于我們的日常教學。將有趣且與知識點相關的例子應用于課堂教學，能激發(fā)學生的學習興趣，[3]培養(yǎng)學生善于思考、分析問題和解決問題的能力，也有助于學生數(shù)學建模能力的構建，以期為社會培養(yǎng)更多應用型的數(shù)學人才。