李潔 李柱俊

[摘要]“教什么”和“怎么教”一直是課堂教學(xué)的核心，對(duì)這兩個(gè)方面的把握應(yīng)該遵循“深淺之道”：教學(xué)內(nèi)容的深淺選擇應(yīng)遵循教學(xué)目標(biāo)和知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì);教學(xué)路徑應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律的由淺入深。以“加法交換律和結(jié)合律”的教學(xué)為例，闡述如何在“深”“淺”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋找適合學(xué)生的教學(xué)，呈現(xiàn)由“淺”而及于“深”，又因“深”而歸于“淺”的教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]教什么;怎么教;深淺之道

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）08-0017-02

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心離不開“教什么”和“怎么教”，而這兩方面都應(yīng)該遵循“深淺之道”。因?yàn)闊o(wú)論選擇什么教學(xué)內(nèi)容，其深淺都應(yīng)遵循課程標(biāo)準(zhǔn)、基于教學(xué)目標(biāo)和知識(shí)的發(fā)展軌跡與本質(zhì);無(wú)論選擇什么樣的教學(xué)路徑，亦應(yīng)遵循學(xué)生由淺入深的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律。深深淺淺教數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)的教學(xué)之道。下面以蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“加法交換律和結(jié)合律”為例，進(jìn)行“深”和“淺”之間轉(zhuǎn)化的教學(xué)。

一、教什么——理法淺入。本質(zhì)深“扎”

教材中，給出“跳繩有多少人”這一問題，然后在得到等式28+17=17+28后，通過舉例歸納得出加法交換律是成立的。加法結(jié)合律的教學(xué)用的是同一幅主題圖，探索、發(fā)現(xiàn)的流程與加法交換律如出一轍。

其實(shí)學(xué)生對(duì)加法交換律和結(jié)合律是有一定認(rèn)知基礎(chǔ)的。如對(duì)于一年級(jí)“澆花的一共有多少個(gè)小朋友”（如圖1），因?yàn)檫€沒有正式學(xué)過用一個(gè)加法算式來(lái)表示，故大部分學(xué)生是用“數(shù)數(shù)”累加的方法，并且發(fā)現(xiàn)先數(shù)左邊3人再接著數(shù)右邊2人，與先數(shù)右邊2人再接著數(shù)左邊3人，其結(jié)果是一樣的，這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷就是加法交換律的“雛形”。之后，學(xué)生又在多位數(shù)加法驗(yàn)算中多次經(jīng)歷加數(shù)位置的交換（如圖2）。隨著學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)生會(huì)漸漸將“規(guī)律”內(nèi)化成自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

對(duì)于加數(shù)的結(jié)合，學(xué)生在學(xué)習(xí)一位數(shù)加一位數(shù)及整十?dāng)?shù)加兩位數(shù)的口算中也早已有了接觸。如9+7=9+（1+6）=（9+1）+6=10+6=16;48+37=48+（30+7）=（48+30）+7=78+7=85?；谝陨蠈?duì)學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)的分析，如果教學(xué)該內(nèi)容時(shí)還是按照教材編寫的流程——通過不完全歸納的方法總結(jié)出加法這兩個(gè)運(yùn)算律，那對(duì)學(xué)生而言就沒有趣味性和挑戰(zhàn)性可言了，自然不利于學(xué)生學(xué)習(xí)力的提升，這樣的課堂教學(xué)顯然是低效的。那么，課堂教學(xué)應(yīng)該如何定位？這節(jié)課應(yīng)該教什么？課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要關(guān)注“過程與方法的教學(xué)目標(biāo)”，但凡是學(xué)生能夠明白的道理，課堂教學(xué)就要讓他們學(xué)會(huì)說理。因此，這節(jié)課應(yīng)正本清源，需結(jié)合運(yùn)算的意義，使學(xué)生深刻理解運(yùn)算律的本質(zhì)。

二、怎么教——意義淺入。數(shù)形深“刻”

加法運(yùn)算中如何才能讓學(xué)生明白“為什么可以交換兩個(gè)加數(shù)”的道理呢？筆者以為，還得從加法的意義入手。自然數(shù)的加法，其本源意義在于對(duì)兩個(gè)具有有限基數(shù)且不相交的集合A和B作并集AUB之后，AUB的基數(shù)是A的基數(shù)與B的基數(shù)之和。誠(chéng)然，這種抽象的說法是沒法讓四年級(jí)學(xué)生明白的，但是可以通過“數(shù)數(shù)”的形式，讓學(xué)生直觀感受到交換律的成立道理。

1.結(jié)合加法意義說理

引入：你們想過在加法中為什么會(huì)存在把兩個(gè)加數(shù)的位置進(jìn)行交換，和不變嗎？今天的學(xué)習(xí)就要弄清這其中的道理。（出示圖3）

提問：左邊有4個(gè)方塊，右邊有2個(gè)方塊。能數(shù)一數(shù)這里一共有幾個(gè)方塊嗎？

交流：他是按怎樣的順序數(shù)的？可以用算式表示出他數(shù)的過程嗎？（板書：4+2 2+4）

說明：兩次數(shù)的順序不同，但都是把兩部分合起來(lái)了，小方塊的總數(shù)沒有變，所以這兩道算式的和一定是不變的。（板書：4+2=2+4）

（數(shù)方塊活動(dòng)說清楚了“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”是合理的）

提問：可以再舉一個(gè)這樣的例子來(lái)解釋嗎？

交流：這樣的例子能舉得完嗎？老師這里有一幅圖可以把所有的例子都包含在內(nèi)。（出示圖4）

提問：能試著說說這幅圖想表達(dá)的意思嗎？

交流：這里的兩條線段可以分別看成兩個(gè)加數(shù)，它們可以是怎樣的數(shù)呢？

2.描述加法交換律

引導(dǎo)：我們通過說理解釋了“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”的道理，這其實(shí)是加法運(yùn)算中的一條規(guī)律，你能給它起個(gè)名字嗎？

提問：加法交換律的等式可以寫出無(wú)數(shù)個(gè)，但也可以只用一個(gè)等式就能把所有這樣的等式都表示出來(lái)，你能創(chuàng)造出這樣的等式嗎？

說明：一般情況下，人們習(xí)慣用字母a和b來(lái)表示加法交換律，即a+b=b+a（這樣的一道字母式子就表示出了所有的例子，數(shù)學(xué)語(yǔ)言真是簡(jiǎn)約啊?。?/p>

提問：在這一規(guī)律中，變化的是什么？不變的是什么？

交流：你們現(xiàn)在知道以前在驗(yàn)算加法計(jì)算時(shí)為什么可以交換兩個(gè)加數(shù)的位置了吧？其實(shí)就是應(yīng)用了加法交換律。

“數(shù)數(shù)”的過程淺顯易操作，直條圖直觀明了，教學(xué)時(shí)就是通過這樣淺顯直觀的形式使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)加法交換律的本質(zhì)。這樣的數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于學(xué)生理解加法運(yùn)算律具有淺入深出的價(jià)值。

3.拓展加法交換律

交流：兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變。由此，你們還能想到什么？

引導(dǎo)（發(fā)給每個(gè)學(xué)生三種規(guī)格的方格紙各1張。如圖5）：你能用這三張方格紙拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形嗎？

學(xué)生可能出現(xiàn)的拼法：

提問：a+b+c是什么圖形？是怎么拼成的？b+c+a、c+a+b呢？

啟發(fā)：也可以把每種拼法反過來(lái)，就又會(huì)出現(xiàn)三種拼法。

提問：這6道算式都相等嗎？為什么？

引導(dǎo)：可以把任意兩道算式用等號(hào)連接起來(lái)，如

a+b+c=b+c+a。

啟發(fā)：看來(lái)，三個(gè)數(shù)相加也有交換律，那四個(gè)數(shù)、五個(gè)數(shù)呢？

說明：只要是連加，無(wú)論幾個(gè)加數(shù)，交換它們的位置，和不變。看來(lái)，加法交換律的內(nèi)容可以改成——幾個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。

4.認(rèn)識(shí)加法結(jié)合律

交流：在a+b+c=b+c+a這個(gè)等式中，前一個(gè)算式a+b+c中，我們先算的是哪兩個(gè)數(shù)的和？后一個(gè)算式b+c+a中，我們又先算哪兩個(gè)數(shù)的和？

引導(dǎo)：計(jì)算時(shí)就要先算括號(hào)里的，這是我們已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。a+（b+c）其實(shí)跟b+c+a相同，這種不改變加數(shù)的位置，通過添加括號(hào)改變計(jì)算順序保持結(jié)果不變的規(guī)律就是加法的結(jié)合律，用字母公式表示就是a+b+c=a+（b+c）。

提問：仔細(xì)觀察，在a+b+c=a+（b+c）中，什么變了？什么沒變？

5.驗(yàn)證加法結(jié)合律

交流：假如這里的a表示16，b表示12，c表示4，我們把結(jié)合律這個(gè)等式中的a、b、c換成具體的數(shù)來(lái)算一算，看看是否真的相等。

說明：從剛才的學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)，幾個(gè)數(shù)連加的交換律、結(jié)合律其實(shí)是用不同的方法來(lái)改變計(jì)算的順序，本質(zhì)上是相同的，只是方法不同。

a+b+c=b+c+a：交換加數(shù)位置，改變計(jì)算順序

a+b+c=a+（b+c）：添加括號(hào)，改變計(jì)算順序

不管怎樣拼，拼出的長(zhǎng)方形的大小都是一樣的，這樣“淺”的操作使學(xué)生深刻明白了加法交換律在三個(gè)及以上數(shù)相加時(shí)是同樣適用的。同時(shí)，讓學(xué)生根據(jù)給定的算式說出具體拼的過程，使學(xué)生能直觀理解結(jié)合的意義，即先做什么，后做什么，讓學(xué)生深入明白“一起計(jì)算三個(gè)數(shù)，是有一定順序的，不像兩個(gè)數(shù)相加，只存在位置上的變化，不存在順序上的改變”。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生容易感知結(jié)合律就是交換律的拓展和延伸，從而真正體會(huì)到結(jié)合律產(chǎn)生的必要性和價(jià)值，更加突出了加法交換律和結(jié)合律之間的聯(lián)系和區(qū)別。

遵循深淺之道的教學(xué)是基于課程標(biāo)準(zhǔn)、貼近學(xué)生、高于教材、淺入深出的教學(xué)，是由“淺”而及于“深”，又因“深”而歸于“淺”的精彩呈現(xiàn)。這樣的課堂回歸了數(shù)學(xué)教學(xué)的本真，回到了“對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)深刻理解”的最根本的數(shù)學(xué)使命上來(lái)。