林文芝

摘要：如何提高初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性是教師一直在思考并實踐研究的，本文先借助“導(dǎo)學(xué)卡”輔助學(xué)生完成自主梳理知識的過程，利用大數(shù)據(jù)平臺快速反饋學(xué)生的前測答題情況。對于這些過程中學(xué)生生成的疑問，筆者再通過問題串提問、典例講解、變式應(yīng)用、歸納建構(gòu)等形式逐步解決，最后通過中考問題拓展，讓學(xué)生進(jìn)一步深入理解知識的本質(zhì)和遷移。

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)；導(dǎo)學(xué)；探究；拓展

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2020）08-0137

復(fù)習(xí)教學(xué)是初中數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)中非常重要的組成內(nèi)容，它與新課教學(xué)、試卷講評互輔互成，教學(xué)內(nèi)容主要包括知識的梳理、典例的講解、變式的應(yīng)用、知識的拓展等。它是教師完善教學(xué)結(jié)構(gòu)、提升教學(xué)實效的有效手段，是幫助學(xué)生吸收課堂知識、建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)體系的有效策略。在實際教學(xué)中，教師也一直在思考并實踐研究如何提高復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性，在梳理鞏固已學(xué)知識的基礎(chǔ)上，繼續(xù)拓展學(xué)生的思維空間、發(fā)展學(xué)生的推理能力、建構(gòu)學(xué)生的知識體系，促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展。

一、初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中存在的問題

初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有知識點復(fù)習(xí)、題型復(fù)習(xí)、方法復(fù)習(xí)等，教師可以根據(jù)學(xué)生的實際情況選取合適的復(fù)習(xí)內(nèi)容，加深學(xué)生對該方面知識的理解、應(yīng)用和拓展。在實際教學(xué)過程中，教師和學(xué)生對于如何提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性，還存在較多問題沒有得到解答。

下圖是通過大數(shù)據(jù)平臺得到的某次數(shù)學(xué)期中檢測的數(shù)據(jù)統(tǒng)計：

通過數(shù)據(jù)反饋，我們發(fā)現(xiàn)除了10、15、16、22、23這些傳統(tǒng)較難題外，13、14、19的答題情況也并不理想，13題考查代數(shù)式的變形，14題考查同底數(shù)冪相乘的逆運算，19題考查化簡求值。結(jié)合試卷題目和數(shù)據(jù)反饋，發(fā)現(xiàn)學(xué)生答題中出現(xiàn)的主要問題有：方程變形錯誤、代數(shù)式化簡計算不準(zhǔn)確，幾何證明題書寫不規(guī)范等。這些問題的出現(xiàn)，既有學(xué)生的原因，比如學(xué)生的基本學(xué)情和解題能力的差別，也有教師的原因，比如教學(xué)能力和教學(xué)方法的差別等。

教師對教材、《課標(biāo)》的閱讀、理解不到位，對知識的前后聯(lián)系、知識的地位和作用理解不夠完整，對課堂的重點、難點和關(guān)鍵把握不夠準(zhǔn)確，對復(fù)習(xí)內(nèi)容的選擇和設(shè)計沒有整體性和針對性，導(dǎo)致在課堂中不能有效落實數(shù)學(xué)知識和技能，同時學(xué)生所學(xué)的知識也得不到聯(lián)系和拓展。而且每位教師所教班級和學(xué)生都有自身的獨特性，教師需根據(jù)所教學(xué)生的學(xué)情和特點來研究設(shè)計適合自己學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)。

教師的教學(xué)能力在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中沒有得到有效的落實，例如教師的教學(xué)設(shè)計復(fù)習(xí)主線不清晰、環(huán)節(jié)設(shè)計不合理，在教學(xué)過程中知識梳理呈現(xiàn)方式單一、思考沒有表達(dá)出思考過程和思考方法、解題方法歸納總結(jié)不到位，在課堂互動中師生交流合作討論較少、交流面不夠?qū)?、學(xué)生參與評價的積極性不高，在教學(xué)反思中不能幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)體系等。

復(fù)習(xí)課的目的之一是鞏固所學(xué)知識，但事實上，教師在設(shè)計練習(xí)時會出現(xiàn)形式單一、內(nèi)容簡單、層次不強(qiáng)、練習(xí)量過多或過少的情況，學(xué)生在練習(xí)時也經(jīng)常不得要領(lǐng)（不知道為什么練、練什么、怎樣練），練習(xí)的知識彼此間聯(lián)系不足，解題思路也起不到遷移作用，遇題解題，方法不能舉一反三，學(xué)生知識和能力得不到延伸與拓展。部分教師并不適應(yīng)當(dāng)今的“大數(shù)據(jù)”時代，不能很好地利用動態(tài)精準(zhǔn)數(shù)據(jù)分析輔助教學(xué)，增加練習(xí)的高效性和趣味性。

二、初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)有效策略的實踐探究

初中數(shù)學(xué)知識體系是由“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”三個方面展開的，每個領(lǐng)域之間既有聯(lián)系又有各自的特點，例如數(shù)遵循了“數(shù)——式——方程（不等式）——函數(shù)”的發(fā)展體系，幾何遵循了“點——線——面——體”的發(fā)展體系。初中數(shù)學(xué)教材中要求以“問題情境——數(shù)學(xué)活動——概括——鞏固、應(yīng)用和拓展”的模式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容。下面，我們就在此基礎(chǔ)上通過案例“中考二輪復(fù)習(xí)——正方形性質(zhì)的再探究”的設(shè)計和分析，實踐研究初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的有效策略。

1.自主梳理，導(dǎo)學(xué)生疑

“導(dǎo)學(xué)卡”是教師編制的用于引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究的學(xué)習(xí)方案，它以“以學(xué)定教”為指導(dǎo)思想，具有目標(biāo)的導(dǎo)向作用、環(huán)節(jié)的導(dǎo)線作用、學(xué)法指導(dǎo)的導(dǎo)航作用、習(xí)題的導(dǎo)學(xué)作用和知識的導(dǎo)疑作用。復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們可以借助導(dǎo)學(xué)卡輔助學(xué)生完成自主梳理知識的過程，學(xué)生通過前置性的練習(xí)了解自己對知識的掌握程度，利用大數(shù)據(jù)平臺快速、精準(zhǔn)的特點及時發(fā)現(xiàn)自己未掌握的一些問題，而且在預(yù)習(xí)過程中學(xué)生有了自己的思考與分析，那么他們在課堂學(xué)習(xí)中自然就會有更加明確的目標(biāo)，也會更加積極地思考分析問題，解決自己存在的疑問。

學(xué)生早已學(xué)習(xí)過平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定及性質(zhì)，在此之前我們也已經(jīng)復(fù)習(xí)了特殊平行四邊形——菱形和矩形，具備了一定的研究經(jīng)驗。那么，作為二輪復(fù)習(xí)課，我們就需要在原有對正方形基本知識掌握的基礎(chǔ)上繼續(xù)挖掘，研究建立知識之間的聯(lián)系。正方形既是軸對稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，學(xué)生從這一已有認(rèn)知出發(fā)，可以歸納得出正方形的對稱性是它最特殊的性質(zhì)，那么如何對這一性質(zhì)進(jìn)行拓展、應(yīng)用并且建構(gòu)知識體系，對學(xué)生而言都是具有一定難度的。

因此，我們可以確定《中考二輪復(fù)習(xí)——正方形性質(zhì)的再探究》的導(dǎo)學(xué)卡如下：（1）結(jié)合近幾年期末試題和中考試題分析，思考：正方形主要考查的內(nèi)容有哪些？（2）閱讀正方形相關(guān)的概念，在梳理的過程中把重要的概念、性質(zhì)等知識點用橫線畫出來。思考：正方形的獨一無二的性質(zhì)是什么？（3）你覺得本節(jié)課的重點是什么？寫出在預(yù)習(xí)過程中你存在的困惑。（4）利用平板完成前測。

前測1正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相垂直B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線平分一組對角

前測2正方形的對稱軸有（）條

A. 0B. 2C. 4D.無數(shù)

通過前測，學(xué)生回顧了正方形的基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)正方形既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，而這個對稱性就是正方形的獨一無二的性質(zhì)，那么學(xué)生也產(chǎn)生疑問：如何利用正方形的這種獨一無二的對稱性分析幾何定性問題、解決幾何定量問題呢？在復(fù)雜圖形中如何尋找利用正方形的對稱性呢？

根據(jù)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的特點，我們可以從以下幾方面考慮制定導(dǎo)學(xué)卡輔助學(xué)生進(jìn)行自主預(yù)習(xí)：①指導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)復(fù)習(xí)課涉及到的知識點，學(xué)生在知識梳理的過程中把相關(guān)的重要的概念、性質(zhì)等知識點用橫線畫出來。②設(shè)計布置幾道課堂前測，記憶的、比較的、綜合的都可以，再利用大數(shù)據(jù)平臺反饋學(xué)生的答題情況。③學(xué)生在梳理知識和完成前測的過程中會生成一些疑問，比如解題的方法、知識的遷移等，教師需對學(xué)生提出的這些問題進(jìn)行匯總、研究。

2.探究解疑，變式提升

（1）提出問題，合作探究

“問題串”是指在一定的學(xué)習(xí)范圍或主題內(nèi)，圍繞一定目標(biāo)或某一個中心問題，依據(jù)學(xué)生心理特點，確定學(xué)習(xí)層次，按照一定邏輯結(jié)構(gòu)精心構(gòu)造的一組彼此關(guān)聯(lián)“問題”系列。問題串是對于某一數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想而搭建的一個個呈現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問題，主要解決了“為什么”“是什么”。因此，我們可以通過問題串的形式提出問題，再通過同學(xué)之間的合作交流分析問題、解決問題。

問題1：如圖，已知正方形ABCD，E為邊AD上任意一點，連結(jié)BE.請你在正方形ABCD的邊上找一點F，使得DF=BE.

問題2：如圖，已知正方形ABCD，E為邊AD上任意一點，連結(jié)BE.請你在正方形ABCD的邊上找一點F，使得AF=BE.

問題3：如圖，已知正方形ABCD，E為邊AD上任意一點，連結(jié)BE.請你在正方形ABCD的邊上找一點F，使得_______=BE.

學(xué)生通過小組合作，在畫圖分析、比較探究的過程中感知正方形的對稱性，雖然正方形的對稱性有多種不同的表現(xiàn)形式，但是無論圖形變得如何復(fù)雜，它的對稱性仍在學(xué)生畫出的這些基本圖形中。

教師在設(shè)計這一個個彼此關(guān)聯(lián)的“問題串”時，需緊抓本節(jié)復(fù)習(xí)課的本質(zhì)知識點，設(shè)計的問題可以是條件的改變，也可以是結(jié)論的改變，還可以讓前一個問題是后一個問題的前提，后一個問題是前一個問題的延伸等?！皢栴}串”將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計以“問題”為紐帶，以知識形成、發(fā)展和學(xué)生思維過程為主線，引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、感悟知識的產(chǎn)生與形成過程，解決自學(xué)和課堂學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問。教師可以通過學(xué)生的參與度、完成度和拓展度情況反思學(xué)生的掌握程度，也可以在問題的主題性、開放性、適度性、有效性等方面進(jìn)行反思問題設(shè)計。

（2）例題引領(lǐng)，交流解疑

例1如圖，已知正方形ABCD邊長為4，E為AD中點，連結(jié)BE，AF與BE相交于點R，且AF=BE，你能求出哪些線段的長度？

例2如圖，正方形ABCD邊長為4，E為AD中點，連結(jié)BE，BE與DF相交于點P，且DF=BE，你能求出哪些線段的長度？寫出這些線段的長度。

有學(xué)生提出根據(jù)勾股定理，可以求出圖形中所有線段的長度，也有學(xué)生提出根據(jù)三角形的全等和相似，可以求出圖形中所有線段的長度，還有學(xué)生提出可以通過三角形的旋轉(zhuǎn)來求出圖形中所有線段的長度。

學(xué)生在剖析例題的過程中討論交流發(fā)現(xiàn)，無論用哪種方法，最終相等的線段、相等的角、全等的圖形都是源于正方形的對稱性，通過分析正方形的定性問題，發(fā)現(xiàn)可以把正方形問題轉(zhuǎn)化為全等三角形問題來解決。

3.變式鞏固，知識遷移

“變式”是指通過不同角度、不同的側(cè)面、不同的背景，從多個方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變。初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課變式教學(xué)，不僅是對基礎(chǔ)知識、基本技能和思維的訓(xùn)練，同時也能培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問題的能力，提高學(xué)生的思維能力、應(yīng)變能力，幫助學(xué)生主動構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

變式1如圖，正方形ABCD中，E是AD邊上一點，AB=4，ED=1，作BE的垂直平分線分別交AB，BE，CD于G，F(xiàn)，H，求FH的值。

變式2如圖，在正方形ABCD中，點E為對角線AC上的一點，連接BE，DE，延長BE交直線CD于點F，G在直線AB上，且FG= FB。求證：DE⊥FG。

正方形的對稱性不僅僅體現(xiàn)在它自身，我們還可以通過添加輔助線尋找藏在正方形中的對稱，這兩個變式的圖形更加復(fù)雜，但是解題思路仍是利用正方形的對稱性，尋找相等的線段、相等的角等，再利用勾股定理、面積法解題。通過解決正方形的定量問題，學(xué)生感受并理解相似三角形、勾股定理、面積法是通法，而且解題方法多樣化。

“變式”的設(shè)計可以是圖形的變式，也可以是題目條件的變式或結(jié)論的變式，但是其中所蘊(yùn)含的核心知識點是不變的，解題思路和方法也是通用的。例如，在概念課中概念的問題變式中一般可以明顯地分析、比較、綜合式子的本質(zhì)特征，有助于學(xué)生對概念的理解和概括，而復(fù)習(xí)課中設(shè)計的問題變式，則更注重知識本質(zhì)的拓展和遷移，從而優(yōu)化學(xué)生的思維活躍品質(zhì)。

4.歸納拓展，深化釋疑

中考拓展（2017杭州21題）如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上（不與點B，D重合），GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，連結(jié)AG。

（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長。

在解決幾何問題的過程中，首先我們要仔細(xì)審題把題中的已知條件或圖形中的隱含條件用符號在圖形中標(biāo)記出來，然后聯(lián)系課本知識和平時所積累的常用解題技巧，盡可能找出已知條件和所要證明的內(nèi)容之間的聯(lián)系。像上一道題，我們就可以利用正方形的對稱性添加輔助線幫助解題。幾何問題中，當(dāng)確定條件全部用上后還是沒有解題思路的，我們就可以考慮輔助線的添加，這需要平時解題的積累和反思。

正方形的性質(zhì)探究是初中階段幾何部分的重點內(nèi)容之一，結(jié)合近幾年中考試題分析，我們可以發(fā)現(xiàn)正方形的對稱性是重點考查內(nèi)容之一，通常題目會結(jié)合正方形的性質(zhì)和判定，讓學(xué)生進(jìn)行幾何證明或者計算線段的長度、圖形的面積、三角函數(shù)等。解題中應(yīng)注重在復(fù)雜的圖形中尋找出對稱性，尋找全等或相似的基本圖形，有時也需通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形分析解題。因此，中考二輪復(fù)習(xí)——正方形性質(zhì)的再探究的復(fù)習(xí)課，我們主要拓展研究了以下兩方面內(nèi)容：①定性研究：對稱性→全等三角形；②定量研究：相似三角形、勾股定理、面積法。

課后的作業(yè)之一是根據(jù)正方形的對稱性，學(xué)生以小組為單位自主編制一道題：

學(xué)生1：

學(xué)生2：

學(xué)生在編制題目的過程中，不僅深入理解了正方形的軸對稱性和旋轉(zhuǎn)對稱性，學(xué)會了運用和拓展，而且在小組合作交流的過程中發(fā)散思維，提高了自主創(chuàng)新的能力。

三、探究初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)策略的反思

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實上一直不停地走在“有疑→解疑→又生疑→又解疑→再生疑→再解疑……”的道路上，學(xué)生在自主預(yù)習(xí)過程中會更多的產(chǎn)生疑問，質(zhì)疑為什么這樣定義、為什么這樣思考、為什么這樣解題？學(xué)生帶著疑問上課，在課堂中把疑問解決了，那么這節(jié)課才是對該生真正有效的課，學(xué)生也才能在疑問中真正理解所學(xué)知識。借助大數(shù)據(jù)平臺，在“導(dǎo)學(xué)卡”的輔助下學(xué)生能更好地完成自主預(yù)習(xí)課程，而解疑的過程事實上就是學(xué)生思維層次逐漸提高的過程。

學(xué)生在自學(xué)中生疑，而在此過程中產(chǎn)生的疑問我們可以用問題串的方式呈現(xiàn)，再通過問題變式這一途徑達(dá)成解決問題的效果。學(xué)生則在這些問題的合作探究過程中，抽象歸納出問題的模型以及解決相關(guān)問題的一般方法。而且問題變式中通常還蘊(yùn)含著分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想與方法，能很好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的發(fā)展。

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們要關(guān)注學(xué)生的“經(jīng)驗”“思考”“活動”“再創(chuàng)造”，讓學(xué)生思維深度參與課堂，更要關(guān)注幫助學(xué)生建構(gòu)既科學(xué)又利于探索思考的知識結(jié)構(gòu)體系，提升學(xué)生的理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究的科學(xué)精神以及樂學(xué)善學(xué)、勤于反思、合作交流的能力，再融合數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的深化過程中，提高數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

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（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)臨平第五中學(xué)311100）