郝曉燕

[摘? ? ? ? ? ?要]? 大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課的概念較為抽象，直觀上難以理解。而概念是理解一切的基礎(chǔ)，所以概念的教學(xué)關(guān)乎學(xué)生學(xué)習(xí)和理解一門課的程度。以數(shù)列的極限、連續(xù)與概率密度的概念的教學(xué)為例，由于數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)生活中某一數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人的思維中的反映，數(shù)學(xué)根本上是來(lái)自自然界，從數(shù)學(xué)原始概念所描述的生活現(xiàn)象出發(fā)，利用“數(shù)學(xué)是用數(shù)字詮釋生活”這一思想，引導(dǎo)學(xué)生自己用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這一生活現(xiàn)象，親自感受定義的得出過(guò)程。提供了一種數(shù)學(xué)概念教學(xué)的行之有效的方法，使一些抽象概念不僅變得易學(xué)易理解，還能掌握其實(shí)質(zhì)。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 極限;概率密度;教學(xué);概念

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）28-0168-02

大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程貫穿高度抽象的方法、高度嚴(yán)密的推理、高度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，致力于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎剂?xí)慣與認(rèn)真細(xì)致的工作作風(fēng)。具有極強(qiáng)的理論性、系統(tǒng)性和邏輯性，并且知識(shí)點(diǎn)多、抽象概念多、邏輯性強(qiáng)。不少學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握本課程知識(shí)點(diǎn)時(shí)存在一定的困難。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中重要的一環(huán)，在教學(xué)的過(guò)程中不能忽視對(duì)數(shù)學(xué)概念的探究教學(xué)，只有讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有了一個(gè)完整、正確、清晰的認(rèn)識(shí)，他們才能夠在學(xué)習(xí)其他的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)更加輕松。我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，要精心設(shè)計(jì)，大膽嘗試，和學(xué)生一起參與到概念的形成過(guò)程中，達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)的理解。

究其原因，主要是學(xué)生不能理解有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，這對(duì)我們?nèi)绾芜M(jìn)行教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)。如果直接給出定義進(jìn)行教學(xué)，這屬于“填鴨式”“灌輸式”教學(xué)，教學(xué)效果可想而知。

我們知道數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，如果我們能挖掘出每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的生活本質(zhì)描述生活現(xiàn)象。在教學(xué)中還原其生活本質(zhì)，讓學(xué)生親歷定義得出過(guò)程，試著用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)，學(xué)生對(duì)定義的理解一定會(huì)很深刻。以下以“極限”概念以及概率密度的概念的教學(xué)為例探討這一教學(xué)方法。

一、極限概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)分析是用極限為工具研究連續(xù)函數(shù)的一門數(shù)學(xué)分支學(xué)科。極限是數(shù)學(xué)分析研究連續(xù)函數(shù)的工具。所以理解極限概念對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門課起著至關(guān)重要的作用。

（一）極限這一概念描述的生活現(xiàn)象

極限描述的是有著確定變化趨勢(shì)的現(xiàn)象。

（二）極限的定義

1.極限的描述性定義

對(duì)于數(shù)列an，如果隨著n的無(wú)限增大，數(shù)列an會(huì)無(wú)限接近某一個(gè)確定的常數(shù)，則稱該數(shù)列存在極限，并且以該常數(shù)為其極限。

2.極限的“ε-N”定義[1]

對(duì)于數(shù)列an，常數(shù)a，如果對(duì)？坌ε>0，？堝N>0使得對(duì)n>N，都有an-a<ε。則稱數(shù)列an的極限為a。

（三）極限定義的教學(xué)

首先，給學(xué)生指明極限就是變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限描述的是隨著n的增大數(shù)列的變化趨勢(shì)，也就是觀察該數(shù)列隨著n的無(wú)限增大，是否會(huì)“無(wú)限接近”某一個(gè)常數(shù)。

其次，給學(xué)生解釋“無(wú)限接近”也就是“要多接近就有多接近”，最后引導(dǎo)學(xué)生怎么在數(shù)學(xué)上刻畫它。兩個(gè)數(shù)的接近程度即兩個(gè)數(shù)的距離，在數(shù)學(xué)上用絕對(duì)值來(lái)表示，而要多接近就有多接近的“多”也就是“任意”的意思，所以在數(shù)學(xué)表示即為“？坌ε>0，an-a<ε”就有多接近，指的就是隨著n的增大，就能有多接近，也就是從某一項(xiàng)開(kāi)始的所有項(xiàng)都能滿足即可，即“？堝N，？坌n>N”這就是極限的“ε-N”定義。

如果這樣給學(xué)生講，學(xué)生不僅能很好地理解該定義，知道各個(gè)符號(hào)的真正含義，并且對(duì)“ε的任意性和確定性，N的存在性，可以限制ε的范圍”等注意點(diǎn)也一目了然。

二、連續(xù)函數(shù)的定義

數(shù)學(xué)分析是用極限為工具研究連續(xù)函數(shù)的一門數(shù)學(xué)分支學(xué)科。連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象。所以對(duì)連續(xù)函數(shù)概念的理解，對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門課起著至關(guān)重要的作用，連續(xù)函數(shù)有函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)，在某區(qū)間連續(xù)，在某區(qū)間連續(xù)的函數(shù)是利用函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義而定義的。

（一）連續(xù)這一概念描述的生活現(xiàn)象

先提問(wèn)：“一提到連續(xù)，你想到了什么情形呢？”答曰：“連綿不斷。”緊接著給學(xué)生說(shuō)明連續(xù)描述的是連綿不斷的現(xiàn)象。

（二）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義[2]

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，

（2）函數(shù)f（x）在點(diǎn)a處有定義，

則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)a處連續(xù)。

（三）連續(xù)定義的教學(xué)

首先，給學(xué)生指明連續(xù)就是連綿不斷，好比一條繩子，隨之板書出來(lái)。

其次，讓學(xué)生思考：斷開(kāi)的兩條繩子怎么能連接起來(lái)呢？很容易引導(dǎo)學(xué)生得出：斷開(kāi)的兩條繩子湊到同一個(gè)點(diǎn)。再繼續(xù)引導(dǎo)可以了嗎？還必須得滴一滴膠水把兩者黏住即可。這樣這兩條繩子就連接起來(lái)了。

最后，引導(dǎo)學(xué)生怎么在數(shù)學(xué)上刻畫它。斷開(kāi)的兩條繩子湊到同一個(gè)點(diǎn)，也就是這兩條繩子在從兩側(cè)向同一個(gè)點(diǎn)走，在數(shù)學(xué)上也就是在該點(diǎn)處左右極限不僅存在，而且相等。還必須得滴一滴膠水把兩者黏住，在數(shù)學(xué)上也就是在這點(diǎn)處函數(shù)值不僅存在，而且極限值等于函數(shù)值，即函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義。

如果這樣給學(xué)生講，學(xué)生不僅能很好地理解該定義，知道各個(gè)符號(hào)的真正含義，在知識(shí)掌握方面，對(duì)連續(xù)函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí)也有一個(gè)直觀深刻的理解，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)和數(shù)學(xué)分析后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、概率密度的教學(xué)

概率密度是概率論的一個(gè)重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生了解隨機(jī)變量的分布起著非常重要的作用。

（一）概率密度這一概念描述的生活現(xiàn)象

在某一區(qū)間上概率的分布情況。

（二）概率密度的定義

設(shè)隨機(jī)變量X，x∈R，

則稱該極限為隨機(jī)變量在點(diǎn)處的概率密度[2]。

（三）概率密度定義的教學(xué)

首先，給學(xué)生指明密度即“稠密程度”。

其次，和學(xué)生回憶一下學(xué)過(guò)的密度以及總結(jié)怎么去量化密度。

我們知道人口密度、物理上的密度。

我們是怎么去計(jì)算的呢？

我們知道密度是等于值除以其對(duì)應(yīng)的幾何度量。

如果這樣給學(xué)生講，學(xué)生不僅能很好地理解該定義，知道各個(gè)符號(hào)的真正含義，而且還能夠還原其生活實(shí)質(zhì)，概率密度為0代表什么，值的大小代表什么學(xué)生就能很好地理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

編輯 張 俐