張啟明 徐承杰 湯瓊 肖海青 劉東南

【摘要】課程思政是指充分挖掘課程中的思想政治教育元素，在向學生傳授教材知識的同時進行德育方面的培養(yǎng).課堂是課程思政實施的主要陣地.線性代數在大學數學教學體系中占有非常重要的地位，具有學習人數多，學習主體年齡偏小的特點，但由于其理論性強且抽象難懂，教學中兼顧“知識傳授”和“價值引領”實非易事.本文立足線性代數內容，從數學史的嵌入、數學美的發(fā)現(xiàn)、數學應用的廣泛性及數學哲學思想的體現(xiàn)四個維度例談如何在線性代數教學中實施課程思政，給學生帶來愉快的學習體驗，提高學習效果，同時引導學生創(chuàng)造健康、智慧的人生.

【關鍵詞】線性代數;課程思政;知識傳授;價值引領

立德樹人是大學教育之本！德育元素應遍布在大學校園的每一個角落，其中課堂是實施課程思政的主要陣地.課程思政的主要使命為充分挖掘各類課程中的思想政治教育元素，發(fā)揮所有教師、課程和教育的育人功能，形成全員、全方位、全過程育人的教學體系.[1]線性代數是大學數學類公共基礎課，受眾面非常廣，是所有理工農醫(yī)及經管等學科門類相關專業(yè)學生的必修課，一般在大學低年級開設.大一、大二學段正是學生世界觀、人生觀和價值觀形成的關鍵時期，而樹立正確的“三觀”是課程思政教育的首要任務.每一門自然科學的知識都反映著人類從受制于自然到掌握自然的科學精神;反映著人類對世界認識較少、較淺到較多、較深的探索精神;每一個科學發(fā)現(xiàn)都反映著不盲從權威的創(chuàng)新精神;反映著特定專業(yè)滿足人類需求的不可替代的責任.[2]因而，教師在線性代數教學中進行“知識傳授”的同時兼顧“價值引領”是當仁不讓的使命.但由于線性代數內容抽象難懂，且教學課時少，在課堂實施思政教育實非易事.下面從數學史的嵌入、數學美的發(fā)現(xiàn)、數學應用的廣泛性及數學哲學思想的體現(xiàn)等維度例談課程思政在線性代數教學中的實施.

一、線性代數之深邃

線性代數作為代數學的分支，其歷史久遠，始于解線性方程組，中國古算書《九章算術》中就曾較為全面地討論過線性方程組的解法.對線性方程組的深入研究，行列式和矩陣概念的產生以及物理理論、數學分析與幾何應用上的需要等因素，都有力地推動了線性代數學科的形成和發(fā)展.

案例1：

（1）在學習行列式和矩陣的概念以及矩陣的初等變換等知識點時，教師可介紹日本數學家關孝和，因為他通過鉆研中國數學后在其著作《解伏題之法》中創(chuàng)造出了行列式.而中國古代數學家提出矩陣的運算及相應規(guī)則和應用則比西方19世紀矩陣論的形成要早近2 000年.

（2）在學習線性方程組相關知識時，教師可介紹記載于公元1世紀的《九章算術》，該書第八章專門論述如何解線性方程組，是世界上最早介紹線性方程組解法的文獻資料.而在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程組的解法法則.

數學史即研究數學的歷史，是一門研究數學科學發(fā)展及其規(guī)律的科學.不管是遠古時代的數學萌芽，還是近現(xiàn)代數學的飛速發(fā)展，數學史源遠流長.“假如你對數學的歷史發(fā)展，對一個領域的發(fā)生和發(fā)展，對一個理論的興旺和衰落，對一個概念的來龍去脈，對一種重要思想的產生和影響等這許多歷史因素都弄清了，我想，對數學就會了解得多，對數學的現(xiàn)狀就會知道得更清楚、深刻，還可以對數學的未來起一種指導作用，也就是說，可以知道數學究竟應該按照怎樣的方向發(fā)展可以收到最大的收益.”[3]全視角學習理論認為，所有的學習都是“情境性”的，即它是在一定的情境中發(fā)生的.[4]這說明，在講授抽象深邃的線性代數知識的過程中，插入數學史背景進行情境教學，在激發(fā)學生學習期望的同時教會學生去“明理、哲思、求真”，拓寬國際視野并增強民族自豪感和文化自信心、培養(yǎng)家國情懷.

二、線性代數之美妙

數學因滿足社會需求而產生和發(fā)展，數學科學作為理性思維和想象的結合體，其本質力量的感性與理性的顯現(xiàn)就形成了數學的美.數學美豐富多樣，常見的有和諧美、統(tǒng)一美、簡潔美、對稱美、語言美、創(chuàng)新美等.牛頓曾說：數學家不但更容易接受漂亮結果、不喜歡丑陋結論，而且他們也非常推崇優(yōu)美與雅致的證明、不喜歡笨拙與反復的推理.線性代數記號繁多，但有規(guī)可循;內容抽象，但邏輯性強;公式龐多，但深邃奇妙.線性代數之美主要表現(xiàn)為簡潔美、對稱美、語言表達美等.

案例2：線性代數中概念很多，學習特殊的行列式和特殊的矩陣時，例如：

教師可從數學審美的角度啟發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)這些概念用數學語言表達時所體現(xiàn)的對稱美、簡潔美、符號美.

又比如，行列式ab…bba…bbb…a，其元素的排列很有規(guī)律：所有元素的分布關于主對角線對稱，且主對角線上元素相同，都為a;主對角線以外的元素都為b.我們形象地稱這個行列式為“林蔭小道型”行列式.此行列式的計算為經典題型，非常重要，可一題多解，還可衍生出很多變式.

此案例的實施可教會學生去發(fā)現(xiàn)美，在培養(yǎng)學生良好審美情操的同時，激發(fā)學生的學習興趣，加深其對知識的理解和領悟，以美育來促進學生德育和智育的全面發(fā)展.

三、線性代數之大用

線性代數是近代數學的基礎，許多純粹數學和應用數學的問題通?？赊D化為線性代數問題來解決.同時，它也是理論物理、理論化學、計量經濟與生物科學等基礎學科中不可或缺的數學工具.在工程技術等實際問題中，許多數學問題也都是轉化為數量間的線性關系來解決.尤其是在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、經濟學、網絡技術等領域都是與線性代數息息相關的.

案例3：

（1）學習矩陣的乘法時，教師可簡單介紹5G網絡技術.5G網絡技術即第五代移動通信網絡技術，其技術基礎是極化碼.極化碼看起來很復雜，但本質上還是一些矩陣的乘法，教師可舉例說明.同時，教師還可簡要介紹人工智能技術以及民營企業(yè)之星“華為”的故事.

（2）學習特征值與特征向量的概念時，教師可介紹美國華盛頓塔科馬海峽吊橋垮塌的故事.一方面，由于橋面厚度不足，被風一吹，哪怕是微風，都會產生振動.當橋上產生了共振，振幅達到一定程度就造成橋梁的垮塌.這次事件成為研究空氣動力學卡門渦街引起建筑物共振破壞力的活教材，也被記載為20世紀最嚴重的工程設計錯誤之一.另一方面，通過大橋垮塌的分析從數學的角度闡明有振動的地方必有特征值這一事實，說明特征值是一個非常重要的數學概念.并且，以此事件作為特征值與特征向量的教學導入也是新穎獨特的.

此案例理論聯(lián)系實際，可大大激發(fā)學生的學習動機，培養(yǎng)學生的職業(yè)前瞻感和民族自豪感，并讓學生明白科學嚴謹的態(tài)度在學習、工作和生活中都是不可或缺的.

四、線性代數之睿智

恩格斯曾指出：“數學是辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式.”[5]數學除了自身所包含的知識和思想方法外，還體現(xiàn)了豐富的唯物辯證法內涵.事實上，數學與哲學幾乎同時誕生于遙遠的古希臘，共同構成了那個時代的文明和驕傲，它們在歷史上有著千絲萬縷的聯(lián)系.張景中院士曾著有《數學與哲學》一書，闡釋了數學與哲學是對立統(tǒng)一的關系.線性代數中也蘊含著豐富的哲學思想.

案例4：

（1）“變”與“不變”的問題

線性代數中有很多不變量，例如：①行列式進行恒等變形時，行列式的值保持不變;②向量組進行初等變換時，向量組的秩及向量組的線性表示關系保持不變;③二次型化為標準形時，二次型的正、負定性保持不變.

矩陣的初等變換是解決線性代數問題的關鍵方法，它是線性代數中一條多變的鏈條，充滿著多樣性和奇異性，將整個線性代數的內容貫穿起來.例如：①解決矩陣自身相關的問題，包括第二章中求矩陣的秩、矩陣的逆矩陣、解矩陣方程，第五章中求方陣的特征值和特征向量等;②解決其他相關問題，包括第三章中求向量組的秩、第四章中求線性方程組的通解、第六章中化二次型為標準形等.

（2）從“量變”到“質變”的問題

線性代數中，許多研究對象都有與其密切相關的量，當這些量發(fā)生改變時，就會引起相應的量發(fā)生質的改變.例如：①n階方陣A的秩R（A）≤n.當R（A）

（3）“特殊”與“一般”的關系

線性代數中體現(xiàn)“特殊”與“一般”的情形很多.例如，二階、三階行列式與n階行列式的關系;數乘矩陣與矩陣的運算的關系;向量空間的標準正交基與其一般的基的關系;齊次線性方程組與非齊次線性方程組的關系;線性方程組的特解與通解的關系;二次型及其標準形的關系;矩陣、行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形之間的關系等.

（4）否定之否定規(guī)律

向量組線性相關性的討論是線性代數學習的重點和難點內容，有關向量組線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念以及它們的區(qū)別和聯(lián)系、向量組線性相關性的相關判定定理都充分體現(xiàn)了否定之否定的辯證規(guī)律.例如：①向量組的線性組合是指形如k1α1+k2α2+…+knαn的形式，其中α1，α2，…，αn為向量組，k1，k2，…，kn為任意一組實數.對任意一組實數k1，k2，…，kn，k1α1+k2α2+…+knαn都是向量組α1，α2，…，αn的一個線性組合.說明向量組α1，α2，…，αn的線性組合不唯一，有任意多個.②向量組的線性表示是指存在一組實數k1，k2，…，kn，使得β=k1α1+k2α2+…+knαn，則稱向量β能用向量組α1，α2，…，αn線性表示，也稱向量β是向量組α1，α2，…，αn線性組合，其中β，α1，α2，…，αn均為向量.這時，實數k1，k2，…，kn可能不唯一.③向量組線性相關是指如果存在一組不全為零的實數k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0，則稱向量組α1，α2，…，αn線性相關.而若對任意不全為零的實數k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0，則稱向量組α1，α2，…，αn線性無關.

④若向量組的部分向量組線性相關，則該向量組線性相關.其逆否命題為：若向量組線性無關，則其任一部分向量組線性無關.

此案例的實施通過對知識的梳理和比較，既可引導學生高屋建瓴從全局去掌握線性代數中的相關內容，也可教會學生用辯證唯物主義思想去分析和思考問題，培養(yǎng)理性精神和批判精神，并將哲學思維遷移到學生的學習、工作和生活中，幫助學生正確看待和處理身邊的一切事物，形成正確的人生觀、價值觀，以創(chuàng)造智慧、健康的人生.

結 語

德育是人才培養(yǎng)的永恒話題！思政元素宛如課堂教學設計各環(huán)節(jié)中一些零散的珍珠，而教師就是拾掇者！在線性代數教學中，教師在圍繞“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”這一根本問題進行課程思政教育時，需充分挖掘教學內容中顯性和隱性的育人元素，適時適地對學生進行巧妙的德育培養(yǎng)，努力讓更多耀眼的珍珠成為促使學生德育和智育全面發(fā)展的催化劑，真正實現(xiàn)教育的“知識傳授”與“價值引領”兩重功能.

【參考文獻】

[1]劉鶴，石瑛，金祥雷.課程思政建設的理性內涵與實施路徑[J].中國大學教學，2019（3）：59-62.

[2]王秋.課程思政的思與行[J].黑龍江教育·理論與實踐，2019（6）：9-10.

[3]李文林.古為今用的典范——吳文俊教授的中國數學史研究[J].北京教育學院學報， 2001（2）：1-5.

[4]克努茲·伊列雷斯.我們如何學習——全視角學習理論[M].孫玫璐，譯.北京：教育科學出版社，2019：102.

[5]李秀林，王于，李淮春.辯證唯物主義和歷史唯物主義原理[M].北京：中國人民大學出版社，1982.