○蔣守成
數(shù)學(xué)主題拓展教學(xué)有三個(gè)基本要素:主題、拓展、思維。主題是思維的起跑線,拓展是思維的發(fā)動(dòng)機(jī),目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的思維方式。在這樣的教學(xué)范式下,學(xué)生的思維方式有了很大的變化,特別是在結(jié)構(gòu)化的思維方式上有了很大的提升,能夠?qū)囊徽n習(xí)得的思想方法運(yùn)用到相類似或者緊密聯(lián)系的某一類數(shù)學(xué)問(wèn)題中,學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通,從而達(dá)到融會(huì)貫通。
選擇以《省刻度尺》為主題進(jìn)行拓展教學(xué),主要是基于以下四個(gè)方面的思考:一是省刻度尺問(wèn)題既是“以少表示多”的典型問(wèn)題,也是華羅庚統(tǒng)籌優(yōu)化思想的具體表現(xiàn);二是省刻度尺的研究適合學(xué)生去自我探究和發(fā)現(xiàn),可以為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)服務(wù),為解讀生活中的優(yōu)化現(xiàn)象提供經(jīng)驗(yàn);三是省刻度尺的教學(xué)是對(duì)人教版教材四年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“統(tǒng)籌、優(yōu)化”學(xué)習(xí)內(nèi)容的拓展;四是通過(guò)省刻度尺的學(xué)習(xí),學(xué)生對(duì)生活中相關(guān)聯(lián)的一類問(wèn)題形成結(jié)構(gòu)化的思考。
(一)經(jīng)歷數(shù)學(xué)家一樣的探究過(guò)程,明晰什么是省刻度尺。
1.共同探究省一個(gè)刻度的情況。
師:今天的數(shù)學(xué)研究從一把5厘米長(zhǎng)的直尺開始。
0 1 cm 2 3 4 5提問(wèn):用這把直尺量出3厘米,可以怎么量?生:從0量到3就可以量出3厘米。提問(wèn):刻度3被老師省掉了(如下圖),你還能用這把直尺一下子量出3厘米嗎?說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。0 1 cm 2 4 5
生1:先從刻度0量到刻度2,量出2厘米,然后再量出1厘米。
生(評(píng)價(jià)):這樣量不符合用這把直尺一下子量出3厘米的要求。
生2:我們可以從刻度1量到刻度4,因?yàn)?到4之間是3厘米。
生3:我們也可以從刻度2量到刻度5,因?yàn)?到5之間也是3厘米。
師:雖然沒有刻度3,但我們改變了測(cè)量方法,由一直從刻度0開始量改成從刻度1或2開始量,打破了固有的習(xí)慣。同學(xué)們,我們有的時(shí)候解決問(wèn)題也要打破常規(guī),換一個(gè)角度思考就會(huì)找到解決問(wèn)題的新路徑?,F(xiàn)在我們將測(cè)量3厘米的方法記錄下來(lái):3(1~4)(2~5)。請(qǐng)同學(xué)們將其他刻度也用這種方式表示出來(lái)。
2.自主探究省兩個(gè)刻度和省三個(gè)刻度的情況。
師:省掉一個(gè)刻度,我們照樣能一次量出所有刻度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度。如果這把5厘米的尺子省掉兩個(gè)刻度或三個(gè)刻度,你覺得還能不能一次量出所有刻度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度呢?我們一起來(lái)研究:
(1)問(wèn)題:下面這兩把直尺一次能量出哪些長(zhǎng)度?先想一想,然后把你能量出的所有長(zhǎng)度清楚地記錄在作業(yè)紙上。
(2)比較:我們分別研究了5厘米的刻度尺省掉一個(gè)刻度、省掉兩個(gè)刻度都能夠一次量出所有刻度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度,而省掉三個(gè)刻度就不能全部量出來(lái)。你覺得哪把直尺上的刻度省得恰到好處?說(shuō)說(shuō)你的想法。
(3)分享:省一個(gè)刻度雖然可以一次量出1到5厘米之間任意一個(gè)整厘米的長(zhǎng)度,但是用到的刻度還是多了一個(gè),不是最省刻度的;省三個(gè)刻度,1到5厘米之間有些整厘米的長(zhǎng)度無(wú)法一次量出來(lái),顯然是刻度省得太多了;省兩個(gè)刻度不僅能夠一次度量出1到5厘米之間任意一個(gè)整厘米的長(zhǎng)度,而且用到的刻度也是最省的,所以這把直尺上的刻度省得恰到好處,是最神奇的。
3.明晰什么是省刻度尺。
(1)命名:如果給這把最省刻度的直尺起個(gè)名字,你會(huì)把它叫什么呢?
生1:神奇的尺子。
生2:奇妙尺。
生3:少刻度的尺。
(2)由來(lái):其實(shí)早在100多年前英國(guó)數(shù)學(xué)游戲大師杜登尼就發(fā)現(xiàn)了這種特殊的刻度尺,并命名為“省刻度尺”,我們一起來(lái)看一段微視頻。
一根23厘米長(zhǎng)的尺子,通過(guò)最省、最優(yōu)的辦法只需六個(gè)刻度(頭尾不用刻),就能夠度量出1到23之間任何整厘米長(zhǎng)的物品。如果減少一個(gè)刻度就不能量出所有整厘米的長(zhǎng)度,如果增加一個(gè)刻度就不是最省,我們把這種尺稱為“省刻度尺”。
(3)標(biāo)準(zhǔn):什么樣的刻度尺才是省刻度尺?標(biāo)準(zhǔn)是什么?
學(xué)生通過(guò)討論得到:不僅能一次量出所有長(zhǎng)度中的任意一個(gè),而且刻度最省。
(4)判斷:下面的刻度尺是不是省刻度尺?
下面是一把7厘米長(zhǎng)的直尺,0和7之間只有兩個(gè)刻度,它是不是一把省刻度尺呢?先把能量出的長(zhǎng)度有序地記錄在作業(yè)紙上,然后再想一想它是不是省刻度尺。
生:不能量出3厘米,所以不是省刻度尺。
師:根據(jù)老師的研究,0和7之間至少要有三個(gè)刻度才能成為省刻度尺,那么再添一個(gè)刻度使它成為一把省刻度尺,請(qǐng)你添一個(gè)并把記錄補(bǔ)充完整。
生:添3,就可量出3厘米,(0,2,3,6,7)。
生:添4,4到7是3,(0,2,4,6,7)。
生:添5,2到5是3,(0,2,5,6,7)。
師:同樣是缺3厘米,添的數(shù)不同,得到的省刻度尺也不同??磥?lái)解決這個(gè)問(wèn)題的答案不止一種,我們不能把“之一”當(dāng)“唯一”。其實(shí),這把直尺添上三個(gè)刻度成為一把省刻度尺還有更多的方法:除了從1開始想,(0,1,2,5,7)、(0,1,3,5,7)、(0,1,4,5,7);還可以從2開始想,(0,2,3,6,7)、(0,2,4,6,7)、(0,2,5,6,7);也可以從3、4開始想,(0,3,5,6,7)、(0,4,5,6,7)……這樣有序的思考可以幫助我們找到更多解決問(wèn)題的辦法。帶著這樣的思考我們一起來(lái)創(chuàng)造一把省刻度尺。
(二)引導(dǎo)學(xué)生嘗試創(chuàng)造一把省刻度尺。
問(wèn)題:這是一把6厘米長(zhǎng)的刻度尺,請(qǐng)你添上最少的刻度,設(shè)計(jì)成一把省刻度尺。
學(xué)生嘗試添一添,教師巡視,展示、評(píng)價(jià)學(xué)生的作業(yè),最后同時(shí)呈現(xiàn)多種不同的添加刻度的方法。
展示:學(xué)生展示自己創(chuàng)造的省刻度尺——(0,1,4,6),(0,2,5,6)。
提問(wèn):仔細(xì)觀察同學(xué)添加的這些刻度,你覺得我們?cè)谔砑舆@些刻度時(shí)有什么方法可循嗎?
分享總結(jié):不管添加哪兩個(gè)數(shù),四個(gè)數(shù)中至少要有兩個(gè)數(shù)是相鄰的,然后我們可以再進(jìn)行比較和調(diào)整,達(dá)到最省的標(biāo)準(zhǔn)。
讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)一把省刻度尺,在設(shè)計(jì)的過(guò)程中體驗(yàn)省的方法和策略,為進(jìn)一步研究省刻度尺是否存在一般規(guī)律的問(wèn)題提供經(jīng)驗(yàn)。
問(wèn)題一:量角器上的省刻度。
師:直尺上的刻度省了照樣可以量出所有的刻度,那量角器上的刻度可不可以省呢?(出示:一個(gè)不完整的量角器)利用這個(gè)量角器可以一次量出哪些度數(shù)的角?同學(xué)們先獨(dú)立思考,然后同桌交流,形成共識(shí)后向全班展示。
追問(wèn):除了可以量出以上這些度數(shù)外,還可以量出哪些度數(shù)?
學(xué)生討論得出:還可以從右邊180度考慮,例如量出170°(10°~180°),150°(30°~180°)……
問(wèn)題二:人民幣中的省面額。
師:我們?cè)谘芯恐背?、量角器的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),雖然刻度省了,但照樣能量出更多的長(zhǎng)度或角度。省不僅是一種學(xué)問(wèn),省也是一種智慧。除了省刻度,我們經(jīng)常用的人民幣中也用到了省的智慧。
同學(xué)們,你知道嗎?為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2元、5元和10元,而沒有3元、6元等其他面值呢?
生1:用1元、2元、5元進(jìn)行加減運(yùn)算就可以得到另外一些數(shù),如1+2=3,2+2=4,1+5=6,2+5=7,10-2=8,10-1=9等。
生2:現(xiàn)在2元的人民幣都省掉了,只是運(yùn)算次數(shù)多了而已。
微視頻介紹:為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2元、5元和10元這四種?
抓住“省刻度尺”的本質(zhì),同時(shí)結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行拓展,延伸到同類問(wèn)題,進(jìn)行觸類旁通的學(xué)習(xí),讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到省的智慧、省的學(xué)問(wèn)。
課后思考
這節(jié)課是以省刻度為主題,培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考和自由探索的數(shù)學(xué)品質(zhì)。學(xué)生感受到了以少表示多的神奇之處,習(xí)得了省的學(xué)問(wèn),同時(shí)拓展了對(duì)統(tǒng)籌和優(yōu)化思想的認(rèn)識(shí),為后續(xù)學(xué)習(xí)優(yōu)選法和統(tǒng)籌法中最優(yōu)化等問(wèn)題打下基礎(chǔ)。例如,學(xué)生學(xué)完省刻度就能理解和解釋其他相鄰的兩個(gè)面積單位的進(jìn)率都是100、而公頃和平方米的進(jìn)率卻是10000的道理,原來(lái)中間省了一個(gè)面積單位公畝。關(guān)于人民幣的面值,學(xué)生還會(huì)思考:中國(guó)古代貨幣的面值是怎樣設(shè)計(jì)的?外國(guó)貨幣的面值是怎樣設(shè)計(jì)的?未來(lái)的貨幣又會(huì)是什么樣呢?