張奎福
(吉林省松原市長(zhǎng)嶺縣巨寶山鎮(zhèn) 131533)
± 在3X+1中是+,在3X-1中是-
∣a∣a的絕對(duì)值
[x] 不大于x的最大整數(shù)
lnaa的自然對(duì)數(shù)
r=ln3/ln2~12.6797/8
2[nr+1]恰大于3n的2的冪
∞ 無窮大
±a(n)Q±(±a)=n
a0是a的最大奇數(shù)因子,an是3an-1±1的最大奇數(shù)因子,求an叫做冰雹變換,n是步數(shù).若∣an∣首先小于∣a∣,則a是n步恰小的,記做Q±(a)=n.
1950年考拉茨(L.Collaz1910~1990)提出:
在3X+1中,任一大于1的整數(shù)經(jīng)過冰雹變換,最后得1.即:大于1的整數(shù)a經(jīng)過冰雹變換,都有一個(gè)n使Q+(a)=n.在3X-1中,任一大于1的整數(shù)經(jīng)過冰雹變換,最后得1,5,17中的一個(gè).即:大于17的整數(shù)a經(jīng)過冰雹變換,都有一個(gè)n使Q-(a)=n.
Q+(a)=Q-(-a),Q-(a)=Q+(-a).
證明:∵∣3X+1∣=∣-(3X+1)∣=∣3(-X)-1∣,∴Q+(a)=Q-(-a).∵∣3X-1∣=∣-(3X-1)∣=∣3(-X)+1∣,∴Q-(a)=Q+(-a).定理成立.
“正負(fù)相通”說明,光研究正數(shù)就行.
若Q±(a)=n,則Q±(2[nr+1]k+a)=n.
證明:設(shè)Q±(2tk+a)=Q±(a)=n,r=ln3/ln2.∵經(jīng)過n步冰雹變換,annln3/ln2=nr,∴t的最小值是[nr+1],3nk+an<2tk+a=2[nr+1]k+a,即Q±(2[nr+1]k+a)=n,定理成立.
“等步恰小”說明,n步以內(nèi),光研究2[nr+1]以內(nèi)的數(shù)就行.
Q+(2[nr+1]k+a)=Q-(2[nr+1]k-a),Q-(2[nr+1]k+a)=Q+(2[nr+1]k-a),
證明:由“等步恰小”定理知:
Q±(2[nr+1]k+a)=Q±(a),
Q±(2[nr+1]k-a)=Q±(-a).
由“正負(fù)相通”定理知:
Q+(2[nr+1]k+a)=Q+(+a)=Q-(-a)=Q-(2[nr+1]k-a),
Q-(2[nr+1]k+a)=Q-(+a)=Q+(-a)=Q+(2[nr+1]k-a),定理成立.
“加減互補(bǔ)”說明,光研究3X+1就行.
步數(shù)沒有最大值.
證明:設(shè)n是最大值.∵Q-(1,5,17)無值,由“等步恰小”定理知:Q-(2[nr+1]k+1,5,17)>n,n步未小.由“加減互補(bǔ)”定理知:Q+(2[nr+1]k-1,5,17)>n,n步未小.∴假設(shè)不成立,步數(shù)沒有最大值,定理成立.
“步數(shù)無限”說明,研究沒有止境.我驗(yàn)證到20步,光20步恰小就5936673個(gè).
a>17時(shí),Q±(a)=n有解.
證明:∵每步冰雹變換都乘以3一次,除以2至少一次,∴除以2的平均次數(shù)是冰雹升降趨勢(shì)的決定因素.∵每次除以2后,結(jié)果是偶數(shù)的概率是1/2,∴平均每步冰雹變換除以2的次數(shù)為Cs=2-2-s,C∞=2-2-∞=2,(s=[ln3a/ln2]).
冰雹趨勢(shì):2Cs<3時(shí)為升,2Cs>3時(shí)為降.當(dāng)a>17時(shí),s=[ln3a/ln2]≥[ln51/ln2]=5,當(dāng)s≥5時(shí),4>2Cs>3.914288>3.9>3,趨勢(shì)為降.雖然有一半的變換效果相當(dāng)于乘以1.5(只除以一次2時(shí),3/2=1.5),但整體看每步變換的平均效果相當(dāng)于除以1.3多(3.9/3=1.3).盡管有些數(shù)開始時(shí)徘徊上升,甚至升得很高,但由于“步數(shù)無限”,因此必將變?yōu)楦?∴Q±(a)=n有解,定理得證,“冰雹猜想”成立.
“大數(shù)必小”說明,尋找理論才是研究的捷徑.
n步:
恰大于3n的2的冪是2[nr+1],驗(yàn)證2[nr+1]內(nèi)的n-1步未小,得到n步恰小及未小.
0步:30=1,恰大于1的2的冪是2=21,驗(yàn)證整數(shù)2k±0,1知Q±(0)無值.Q±(21k)=0.0步未小2k±1.
1步:31=3,恰大于3的2的冪是4=22,驗(yàn)證0步未小22k±1,3知Q±(1)無值.Q±(22k±1)=1.
1步未小22k±3(2).
2步:32=9,恰大于9的2的冪是16=24,驗(yàn)證1步未小24k±3(2),7(4),11(3),15(4)知Q±(24k±3)=2.
2步未小24k±7(4),11(3),15(4).
3步:33=27,恰大于27的2的冪是32=25,驗(yàn)證2步未小25k±7(4),11(3),15(4),23(3),27(37),31(35)知Q±(25k±11,23)=3.3步未小25k±7(4),15(4),27(37),31(35).
4步:34=81,恰大于81的2的冪是128=27,驗(yàn)證3步未小27k±7(4),15(4),27(37),31(35),39(5),47(34),59(4),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9)知Q±(27k±7,15,59)=4.4步未小27k±27(37),31(35),39(5),47(34),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9).
5步:35=243,恰大于243的2的冪是256=28,驗(yàn)證4步未小28k±27(37),31(35),39(5),47(34),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9),155(25),159(13),167(18),175(5),191(8),199(5),207(9),219(5),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8)知Q±(28k±39,79,95,123,175,199,219)=5.5步未小28k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),51(17),255(8).
6步:36=729,恰大于729的2的冪是1024=210,驗(yàn)證5步未小210k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8),283(15),287(6),303(8),319(13),327(13),347(6),359(10),367(6),383(7),411(9),415(9),423(6),447(25),463(7),479(10),487(12),495(17),507(6),511(11),539(8),543(8),559(10),575(6),583(6),603(10),615(7),623(8),639(14),667(15),671(24),679(8),703(51),719(8),735(6),743(15),751(13),763(12),767(10),795(17),799(8),815(6),831(9),839(9),859(10),871(22),879(7),895(15),923(6),927(23),935(7),959(13),975(6),991(16),999(6),1007(13),1019(7),1023(11)知Q±(210k±287,347,367,423,507,575,583,735,815,923,975,999)=6.
6步未小210k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8),283(15),303(8),319(13),327(13),359(10),383(7),411(9),415(9),447(25),463(7),479(10),487(12),495(17),511(11),539(8),543(8),559(10),603(10),615(7),623(8),639(14),667(15),671(24),679(8),703(51),719(8),743(15),751(13),763(12),767(10),795(17),799(8),831(9),839(9),859(10),871(22),879(7),895(15),927(23),935(7),959(13),991(16),1007(13),1019(7),1023(11).
7步:37=2187,恰大于2187的2的冪是4096=212,…一數(shù)看尾辨單雙,二除雙數(shù)取單忙,三單加一再求半,似乎早晚回一鄉(xiāng),吾言此事你不信,遛遛各數(shù)可平常,其實(shí)此問多年有,八方請(qǐng)教無人幫,久久求證不得解,實(shí)實(shí)難壞數(shù)學(xué)狂.十分得意新思路,久求必小也相當(dāng),扒絲破繭真捷徑,其中訣竅可分享,六步恰小十二系,五內(nèi)恰小十五行,似階公差怎求得,三乘幾次幾步量,二底三對(duì)乘步數(shù),一加看整二的方.