丁書明

[摘? 要] 文章主要介紹什么是微專題課，如何在高三復(fù)習(xí)階段以微專題課型進(jìn)行復(fù)習(xí)，并以“函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的判斷”為例分析微專題課的教學(xué)設(shè)計.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);微專題;高三復(fù)習(xí)

關(guān)于高三數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)通常有第一輪的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)及第二輪的專題復(fù)習(xí)，但在第一輪復(fù)習(xí)過程中往往已經(jīng)適時地插入了專題復(fù)習(xí)，因而在第二輪專題復(fù)習(xí)時會發(fā)現(xiàn)如果按照通常的專題進(jìn)行復(fù)習(xí)會有重復(fù)但又不深入的感覺. 經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐與思考，筆者總結(jié)出第二輪微專題復(fù)習(xí)方法，可以對一個重點(diǎn)內(nèi)容或一類題型，或?qū)W生暴露出來的尚未掌握的知識點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行精準(zhǔn)復(fù)習(xí)“定向爆破”，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué). 那么什么是微專題課？如何設(shè)計微專題的主題和內(nèi)容？

■微專題的含義

微專題首先體現(xiàn)在一個“微”字，相對于大專題而言，它可能是大專題的一個組成部分，它涉及的范圍較小、內(nèi)容較少，只是一個具體的問題，或者是一種題型，或者是一種方法. 再者微專題體現(xiàn)了一個“專”字，深入地分析一個特定問題的原理、難點(diǎn)、思路、解法等.

例如大專題《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》，它的內(nèi)容包括三角函數(shù)的圖像、圖像變換、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用等內(nèi)容，非常系統(tǒng)全面. 經(jīng)過第一輪的復(fù)習(xí)這些內(nèi)容大都復(fù)習(xí)過了，如果再漫無目的地講就會重復(fù)，講者無味聽者浪費(fèi)，此時可針對學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)設(shè)計一個微專題《三角函數(shù)中參數(shù)范圍的求法》.

■微專題主題的確定

確定微專題課的主題應(yīng)源自三“點(diǎn)”：高考熱點(diǎn)、知識重點(diǎn)及學(xué)生弱點(diǎn). 例如在復(fù)習(xí)必修一《函數(shù)的圖像與性質(zhì)》時，圖像的變換非常重要，但學(xué)生只知變化套路不理解變化的原理，使得難以靈活應(yīng)用，為此可以《函數(shù)圖像的變化》為題設(shè)計一節(jié)微專題課探討圖像變化的原理、方法結(jié)論與應(yīng)用. 再如高考考查熱點(diǎn)之一“函數(shù)的零點(diǎn)”內(nèi)容廣泛、題型豐富、綜合性強(qiáng)，為此我們可以將這一大塊內(nèi)容系統(tǒng)地分割為一個個的微專題，像《函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷》《與ex，lnx有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問題求解》《隱零點(diǎn)問題》等等，化整為零，逐個突破.

設(shè)計專題結(jié)構(gòu)時注重主題明確、例題典型，宜少而專，忌多而全.一般來說一個主題下因側(cè)重點(diǎn)不同或難度梯度不同不超過三個例題，以經(jīng)典問題為載體，回歸問題的本源，展現(xiàn)一條清晰的主線，循序漸進(jìn)，逐步深入需要解決的問題.

■微專題課例

下面本文將以《函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷》為例具體說明.

（一）教學(xué)過程

1. 注重基礎(chǔ)，提煉方法

例1：思考下列問題，并總結(jié)處理函數(shù)零點(diǎn)問題的常用方法.

（1）判斷函數(shù)f（x）=x2-3x-4的零點(diǎn)個數(shù);

（2）求證函數(shù)f（x）=lnx+x-3有且僅有一個零點(diǎn);

（3）偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=-x+1，則關(guān)于x的方程f（x）=lg（x+1）在x∈[0，9]上解的個數(shù)是（? ）？搖

A. 7B. 8? C. 9? D. 10

設(shè)計意圖：這一組題目類型均為判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，題目較為基礎(chǔ)但卻可以充分揭示函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)：函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，或者是f（x）=0的根.

題（1）可求方程x2-3x-4=0的根，或者畫圖判斷.

題（2）有兩種解法：

解法一：f（x）單調(diào)遞增，且f（1）<0，f（e）>0，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理判斷該函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn);

解法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=lnx與h（x）= -x+3兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

題（3）可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=lg（x+1）在區(qū)間[0，9]上交點(diǎn)個數(shù).

一般地，對于形如函數(shù)f（x）=g（x）-h（x）的零點(diǎn)等價于方程g（x）-h（x）=0的根，進(jìn)而等價于函數(shù)y=g（x）與y=h（x）圖像的交點(diǎn)，我們稱之為分離函數(shù)法.

引導(dǎo)學(xué)生討論并歸納解題策略.

（1）求根：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)等價于對應(yīng)方程f（x）=0的根;

（2）零點(diǎn)的存在性定理判斷;

（3）轉(zhuǎn)化：運(yùn)用等價變形將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn).

2. 加深理解，提升素養(yǎng)

例2：已知函數(shù)f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

變式1：已知函數(shù)f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（x）-mx有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

變式2：將例2中g(shù)（x）的3個零點(diǎn)分別記為x■，x■，x■，求x■+x■+x■的取值范圍.

變式3：已知函數(shù)f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（f（x））-m有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

思路分析：

（1）例2的問題等價轉(zhuǎn)化為方程f（x）=m恰有3根，再進(jìn)一步等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖像與直線y=m有3個交點(diǎn)，可由直線y=m“上下浮動”直觀地看出m的取值范圍.不僅如此，還可以設(shè)問恰有1個零點(diǎn)、2個零點(diǎn)等. 該方法做到了“參變分離”，我們稱之為“分離參數(shù)法”. 變式1轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖像與直線y=mx有2個交點(diǎn)，可由直線y=mx繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動滿足條件時直線的起始位置及終止位置，從而求出m的取值范圍.

（2）變式2深化了“零點(diǎn)即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”的轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

（3）變式3：設(shè)t=f（x），只需要研究方程f（t）=m和方程t=f（x）. 如當(dāng)01的情況，綜合得到m=0或m=1.

變式3題型可歸納為“復(fù)合函數(shù)”零點(diǎn)問題，本解法做了整體代換“f（t）=m”，我們稱之為整體代換法.

設(shè)計意圖：這一組題目類型均為根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，采用了一題多變的形式，意在揭示根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)取值范圍的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”，即通過函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù)，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的公共點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，解決問題的步驟是“先形后數(shù)”.至此，求解函數(shù)零點(diǎn)的三種主要方法：圖像法、分離函數(shù)法、參變分離法及整體代換法已引導(dǎo)學(xué)生探討完畢，基本上達(dá)到了微專題的設(shè)計目的.

3. 動手實(shí)踐，形成能力

例3：已知函數(shù)f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）.

（1）略;

（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在■，e上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解法一：（圖像法）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性.

g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x2+m，則g′（x）=■-2x=■.

因?yàn)閤∈■，e，所以由g′（x）=0，得x=1.

當(dāng)■≤x<1時，g′（x）>0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)1

又g■=m-2-■，g（e）=m+2-e2，

所以g（x）=f（x）-ax+m在■，e上有兩個零點(diǎn)需滿足條件

g（1）=m-1>0，g■=m-2-■≤0，解得1

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是1，2+■.

解法二：（分離函數(shù)法）

由g（x）=2lnx-x2+m=0，得2lnx=x2-m.

令函數(shù)h（x）=2lnx（x∈■，e），φ（x）=x2-m（x∈■，e），可等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與φ（x）的圖像恰有兩個交點(diǎn). （以下略）

解法三：（參變分離法）令g（x）=2lnx-x2+m=0，得m=x2-2lnx，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）=x2-2lnx，x∈■，e與直線y=m恰有兩個交點(diǎn). （以下略）

設(shè)計意圖：緊扣本節(jié)課主題，難度略大于前兩個例題，可一題多解. 課堂給予時間讓學(xué)生親自動手求解，達(dá)到檢測訓(xùn)練的目的. 組織學(xué)生投影分享，發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正，加深理解，形成能力.

■感悟

1.第二輪復(fù)習(xí)過程中穿插微專題，有助于突破一些重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題，避免泛泛而談，既節(jié)省了時間，又突破了學(xué)生的弱點(diǎn)，強(qiáng)化了高考熱點(diǎn)和重點(diǎn)，使復(fù)習(xí)效果得以保證.

2.高三復(fù)習(xí)過程中經(jīng)常要進(jìn)行單元測試、綜合測試及月考等，對于考試中學(xué)生暴露出的問題非常適合以微專題的形式進(jìn)行試卷講評，這樣的試卷講評課不求全而求專，以問題促成專題的生成，力求解決學(xué)生學(xué)習(xí)的真問題和實(shí)問題.

3.微專題教學(xué)可以激活知識，點(diǎn)燃數(shù)學(xué)思維的火花，聯(lián)想解決問題的方法，通過變式教學(xué)可以從更高層面重構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，跨越章節(jié)界限，對知識進(jìn)行整合、串講，將散亂的知識串聯(lián)，達(dá)到融會貫通.