黃橋森

摘要：方程作為學(xué)生首次接觸代數(shù)思維的重要概念，歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的難點(diǎn)。由于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知障礙與歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難具有歷史相似性，研究首先梳理方程的發(fā)展歷史，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)史的“認(rèn)識(shí)方程”教學(xué)，以期幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)方程的必要性。

關(guān)鍵詞：方程 數(shù)學(xué)史 教學(xué)

方程作為學(xué)生首次接觸代數(shù)思維的重要概念，歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的難點(diǎn)。[[]]在實(shí)際教學(xué)中，由于算術(shù)思維定勢(shì)，學(xué)生往往難以理解方程的抽象性和必要性，產(chǎn)生了“明明可以算術(shù)解題，為何還要引入方程解題？”等疑惑，未能形成主動(dòng)學(xué)習(xí)方程概念的心理缺口。研究表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知障礙與歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難具有歷史相似性。[[]]因此，本文將簡(jiǎn)單梳理方程的歷史，在此基礎(chǔ)上分析教材的編排體系，最終設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)史的“認(rèn)識(shí)方程”教學(xué)。

一、“方程”的相關(guān)歷史

1.用文字表示方程與解法

方程最早誕生于古巴比倫時(shí)期， 是利用文字來(lái)表示一個(gè)代數(shù)問(wèn)題及解法。

遺憾的是，文字描述的方式不具備現(xiàn)代方程的簡(jiǎn)潔性，只是單純用作記錄某種特定題目的簡(jiǎn)便方法，便于后人流傳。

2.用縮寫表示未知數(shù)

公元3世紀(jì)前后，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖首次利用字母音節(jié)“ζ”表示未知數(shù)?！凹僭O(shè)兩數(shù)的和是100，差是40，較小數(shù)為ζ，則較大數(shù)是40+ζ，可得出2ζ+40=100，求得較小數(shù)ζ=30，較大數(shù)是70?！?/p>

這種縮寫表示，極大地方便了書寫，但這僅是指定詞組字母代替題目中的特定未知數(shù)。如果未知數(shù)的量不同或讀法不同，則列出的方程也不同，解法也相距甚遠(yuǎn)。

顯然，縮寫表示，并沒(méi)有給解方程帶來(lái)更大的便捷性，有待進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。

3.用字母表示“任意數(shù)”

16世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)認(rèn)識(shí)到一般二次方程（我們今日的表示方法）所處理的是整個(gè)一類的表達(dá)式。他將表示為

從這開始，字母表示為任意數(shù)的符號(hào)。[[]]這既解決了縮寫表示的局限性，給予二元一次方程更加簡(jiǎn)捷的解答，又為現(xiàn)代方程的小寫字母表示方式打下基礎(chǔ)。

概述方程的發(fā)展史，就是人們圍繞便捷解題的核心要義，不斷將方程符號(hào)化、程序化、簡(jiǎn)潔化的一個(gè)過(guò)程。

二、教材中的“方程”教學(xué)

以北師大版《認(rèn)識(shí)方程》第三課時(shí)“方程”為例，教材以天平平衡關(guān)系為切入口，引導(dǎo)學(xué)生用字母表示等量關(guān)系，從而給出了方程的特征概念，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生思維的循序漸進(jìn)。然而教無(wú)定法，從基于數(shù)學(xué)史的角度分析，教師能從以下兩點(diǎn)對(duì)教材進(jìn)行解讀。

首先，這樣的教學(xué)編排與歷史事實(shí)不符。其次，教材內(nèi)容未能較好體現(xiàn)學(xué)習(xí)方程的必要性。方程的價(jià)值是便捷解題，但第二學(xué)段的解決問(wèn)題，大部分易于使用算術(shù)方法，只有少部分問(wèn)題要求使用方程解題，可能會(huì)造成了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方程的不理解和不重視。

那該如何進(jìn)行“方程”教學(xué)，突出方程的優(yōu)越性和必要性呢？基于數(shù)學(xué)史的“方程”教學(xué)未嘗不是一個(gè)好的設(shè)想，值得我們探究。

三、基于數(shù)學(xué)史的“方程”教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。[[]]方程，歸根結(jié)底是人們解決問(wèn)題的一種高效方法。因此，在實(shí)際教學(xué)中，我們可以以解決代數(shù)難題為核心，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)方程的定義與概念，感受方程的便捷性和優(yōu)越性。

1.復(fù)習(xí)舊知

以練代講，完成“用字母表示數(shù)和等量關(guān)系”復(fù)習(xí)題，為學(xué)生知識(shí)遷移做好鋪墊的同時(shí)，滲透符號(hào)化思想。

2.初識(shí)方程

（1）探究丟番圖問(wèn)題，嘗試語(yǔ)言表述方程與解法

問(wèn)題1：已知兩數(shù)的和是100，差是40，求這兩個(gè)數(shù)是多少？

設(shè)計(jì)意圖：采用“復(fù)制式”的教學(xué)方式，設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的算術(shù)難題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，體現(xiàn)引入方程的意義。

啟發(fā)性提問(wèn)：假設(shè)這兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)叫較大數(shù)，另一個(gè)叫較小數(shù)，那題目中的等量關(guān)系如何表述？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用文字表示未知數(shù)，再譯成“文字方程”，可降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，發(fā)展簡(jiǎn)單的代數(shù)思維。

（2）初步嘗試，用符號(hào)表示等量關(guān)系

問(wèn)題2：除了文字表述，我們還可以用什么表示未知數(shù)？試一試，用你喜歡的方式表示兩個(gè)未知數(shù)，然后表述題目的等量關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行大膽假設(shè)，經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

問(wèn)題3：你能不能用學(xué)過(guò)的“字母表示數(shù)”方法呢？請(qǐng)用你喜歡的字母表示其中一個(gè)未知數(shù)，另一個(gè)未知數(shù)如何表示？

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步分解問(wèn)題的難度，引導(dǎo)學(xué)生使用丟番圖的方法，體驗(yàn)方程的便捷性與簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)為易的樂(lè)趣。

（3）設(shè)一個(gè)未知數(shù)，表示等量關(guān)系

問(wèn)題4：現(xiàn)在，你能用這個(gè)你喜歡的未知數(shù)列出一個(gè)關(guān)于此問(wèn)題的等式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：大膽鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主探索、解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，再次感受方程表示問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性及優(yōu)越性。

師生共同歸納得出：如果可以求解這個(gè)含有未知數(shù)的等式，就能更高效地求解此類問(wèn)題。此時(shí)給出方程的定義：“像這種含有未知數(shù)的等式，可以更高效地求解一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們稱之為方程?！边@樣，既可引起學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)解方程的興趣，又能解決學(xué)生對(duì)方程作用的疑惑。

四、小結(jié)

現(xiàn)行小學(xué)教材中，方程教學(xué)多以簡(jiǎn)單的等量關(guān)系為切入口，定義方程為“含有未知數(shù)的等式”，這種處理方式能幫助學(xué)生較好的降低認(rèn)知負(fù)荷，是一種科學(xué)高效的編制方式。稍顯遺憾的是，如此無(wú)法讓學(xué)生更好的體會(huì)到方程的必要性和優(yōu)越性。而基于數(shù)學(xué)史的“方程（認(rèn)識(shí)方程）”教學(xué)，則是從方程產(chǎn)生的背景出發(fā)，以解決歷史難題為導(dǎo)向，逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方程認(rèn)知符號(hào)化、程序化。既可幫助學(xué)生充分體驗(yàn)方程的意義，又可明晰方程解題的優(yōu)越性，夯實(shí)最基本的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。綜上所述，基于數(shù)學(xué)史的“方程”教學(xué)模式不失為一種不同的教學(xué)嘗試。