陳潤鑫

【摘要】解三角形和數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識板塊，是高考考查的重點內(nèi)容。高考數(shù)學(xué)考查解三角形和數(shù)列內(nèi)容的主要特征有：貼近教材，注重基礎(chǔ)性;各知識內(nèi)容交叉、滲透，體現(xiàn)綜合性;嘗試創(chuàng)新試題結(jié)構(gòu)，引入探究性，突出引導(dǎo)性。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視基礎(chǔ)知識，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】高考;數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);解三角形;數(shù)列

解三角形和數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容，現(xiàn)行中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，這些內(nèi)容都是在必修課程中教授的，可見其基礎(chǔ)性和重要性。高考數(shù)學(xué)對解三角形及數(shù)列的考查，在注重基礎(chǔ)性，體現(xiàn)綜合性的同時，迎合中國新高考評價體系，突出引導(dǎo)性。

一、解三角形和數(shù)列內(nèi)容的考查特點

1.注重基礎(chǔ)性

解三角形和數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。歷年高考數(shù)學(xué)試題全面覆蓋正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形中的邊、角、面積的計算和有關(guān)的求范圍問題。對于數(shù)列，特別是等差、等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì)更是高考考查熱點。通過對數(shù)列的求通項、求前n項和基本原理和基本方法的考查，增強了考察內(nèi)容的基礎(chǔ)性，使學(xué)生牢固掌握解決問題的基本思想和方法，為學(xué)科核心素養(yǎng)的提升創(chuàng)造條件，打牢基礎(chǔ)。

2.體現(xiàn)綜合性

解三角形和數(shù)列涉及的內(nèi)容多，高考由于試卷容量的限制，不可能涉及很多的試題，往往會通過試題的綜合設(shè)計，將解三角形及數(shù)列的不同內(nèi)容進行銜接或聯(lián)系起來考查。如將解三角形的有關(guān)范圍問題與不等式相結(jié)合;將解三角形的平面幾何問題與立體幾何中的幾何體相結(jié)合;將數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合等。注重試題的綜合性，強調(diào)了各分支內(nèi)容的相互交叉與滲透。要求學(xué)生將學(xué)過的基礎(chǔ)知識、基本原理和基本方法綜合運用起來，分析問題，解決問題，從而引導(dǎo)學(xué)生注重認識事物整體的結(jié)構(gòu)功能和作用，鼓勵學(xué)生從整體上分析各種現(xiàn)象的本質(zhì)和規(guī)律，促進學(xué)生形成更全面、完整的知識結(jié)構(gòu)。

3.突出引導(dǎo)性

新的高考評價體系中明確提出，高考圍繞學(xué)科主干知識內(nèi)容，加強對基本概念、基本思想方法的考查，杜絕偏題怪題和繁難試題，引導(dǎo)學(xué)生重視教材，夯實學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，給學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)和思考空間。高考試題在設(shè)置上通過創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境，引導(dǎo)學(xué)生進行深入思考和探究，實現(xiàn)從解題到解決問題的轉(zhuǎn)變;引導(dǎo)教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生核心素養(yǎng)水平的提升，著力提高學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力。

二、解三角形和數(shù)列內(nèi)容的考查實踐

1.回歸教材，考查基本概念

例1（2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷理科第7題）

例1考查的是解三角形中的已知兩邊和一角，求另一角的余弦值問題，屬于基礎(chǔ)題型?？疾榈暮诵乃仞B(yǎng)目標(biāo)是直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。在解決此類問題時只要能熟練掌握解三角形中的余弦定理，基本就能算出正確結(jié)果。

例2（2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第17題）

例2考查的是數(shù)列中的基本量計算和利用錯位相減法求數(shù)列前n項和問題，屬于基礎(chǔ)題型。考查核心素養(yǎng)目標(biāo)是邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。題目較為簡單，筆者在此不再詳解。

以上例子都屬于基礎(chǔ)題型，考察學(xué)生對解三角形及數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握程度，同時，通過一些簡單的、常見的課本知識內(nèi)容，甚至是課本的類似題型來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，直觀想象能力以及分析問題、解決問題的能力，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，引導(dǎo)教學(xué)要回歸課本，注重基本概念和基本知識點的學(xué)習(xí)和掌握。

2.重視通性，考查思維層次

例3（2020年高考數(shù)學(xué)山東卷第14題）

例3考查的是數(shù)列求前n項和問題，但題目解法并非簡單利用遞推關(guān)系式或簡單的等差等比數(shù)列基本量運算后求和，而是要先列舉，并通過一定的邏輯推理，再利用化歸的方法得出新數(shù)列的通項公式，從而求出前n項和。

例4（2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第16題）

例4考查的是解三角形中的求角問題，以三棱錐的平面展開圖為載體，考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理，以及數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)。該題需要直觀想象出相應(yīng)的空間幾何體，理清三棱錐中的線面關(guān)系，以及展開成平面圖后保持不變的量，才能進一步解決問題。解題過程中，應(yīng)緊緊抓住三個相等關(guān)系：

以上例子考查了數(shù)列及解三角形中重要的內(nèi)容，對學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等關(guān)鍵能力以及思維層次都提出了更高的要求。通過對學(xué)生解題通性通法的考查，充分體現(xiàn)了綜合性。

3.引導(dǎo)教學(xué)，考查應(yīng)變創(chuàng)新

例5（2020年高考數(shù)學(xué)山東卷第17題）

該題的解題方案有三種：

例5考察的是解三角形的問題，以解三角形為背景設(shè)計，給定若干條件，讓學(xué)生在給出的幾個條件中選擇并進行解答或說明理由。屬于新穎的結(jié)構(gòu)不全試題，此類試題有效考查學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的能力，以及分析問題、解決問題的能力，具有很好的開放性。結(jié)構(gòu)不全試題的命制，引導(dǎo)學(xué)生思維從知識的習(xí)得與記憶更多地轉(zhuǎn)向問題的解決、策略的選擇，使得數(shù)學(xué)應(yīng)用在思維層面真正發(fā)生。

例6（2020年高考數(shù)學(xué)山東卷第18題）

例6第二個問題分析如下：

例6考查的知識內(nèi)容：第一個為數(shù)列基本量的計算問題，通過聯(lián)立方程組進行求解;第二個問題則要求學(xué)生有更高層次的邏輯推理以及類比整合和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。通過分類列舉，將前100項的具體情況做概括性分析。試題引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)提高學(xué)生的綜合分析能力，問題轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力等數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力。

三、解三角形和數(shù)列內(nèi)容的教學(xué)建議

通過以上分析可以看出，高考對解三角形和數(shù)列內(nèi)容的考查，一方面是作為重要的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生對基本概念和基本方法的掌握程度，同時，更重要的是考查學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，以起到引導(dǎo)教學(xué)的功能。

利用解三角形和數(shù)列知識可以深入考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。（1）對數(shù)學(xué)運算的考查，可以是在解三角形中利用正余弦定理進行三角形的邊長或面積以及范圍的計算中，也可以是在等差、等比數(shù)列的基本量計算中，還可以是在數(shù)列的求通項、求前n項和的處理中;（2）對直觀想象、邏輯推理的考查，主要是立體幾何中的解三角形問題，通過對幾何體中點線面位置關(guān)系的不變量進行考察，將空間幾何問題化為平面的幾何問題來處理;（3）數(shù)學(xué)抽象的考查，主要是在解三角形的實際應(yīng)用題中，通過對問題的分析，將實際的問題，如測量寬度、高度等問題，抽象成解三角形的數(shù)學(xué)問題，再利用基本方法加以解決。

根據(jù)高考中對解三角形和數(shù)列內(nèi)容的考查要求和特點，中學(xué)數(shù)學(xué)要全面學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識，對解三角形的兩個基本定理的運用，以及數(shù)列中等差、等比基本量的計算和求通項、求前n項和的基本方法與思想，一定要全面細致地過關(guān)。在教學(xué)上，對此部分內(nèi)容應(yīng)當(dāng)認真細致落實教學(xué)進度，避免灌輸難題怪題和偏題，同時也要給學(xué)生做練習(xí)和思考的時間與空間。通過全面教學(xué)，使學(xué)生了解知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程。夯實學(xué)生的知識基礎(chǔ)，使學(xué)生能夠進行知識間的綜合，從而達到對知識的靈活應(yīng)用，充分培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，著力提高學(xué)生的解決問題能力，進而推動數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力在教學(xué)中的落實。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].人民教育出版社，2020.

[3]教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].人民教育出版社，2020.

[4]廣東省教育考試院.2019年廣東高考年報[M].廣東高等教育出版社，2019.