云浮市教育局教研室(527300) 胡明輝

一、課本例題

課本題(必修1)：求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

說明為了解決有關(guān)問題,我們給出這一問題的另一種解法.

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?.所以f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù).又所以,函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的單調(diào)遞增且只有一個(gè)零點(diǎn)的問題,可以從以下兩個(gè)方面解決：

(1)用導(dǎo)數(shù)符號(hào)說明函數(shù)的單調(diào)性,解決最多幾個(gè)零點(diǎn)的問題;

(2)用極限方法說明零點(diǎn)存在定理,解決有沒有零點(diǎn)問題.

變式求函數(shù)f(x)=-lnx+2x-6的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

圖1

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?.所以f′(x)是(0,+∞)上的增函數(shù).又2＞0.所以,在(0,+∞)上有唯一的零點(diǎn)x0(顯然).當(dāng)時(shí),所以,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).當(dāng)時(shí),f′(x)＞0.所以,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).所以,函數(shù)f(x)=-lnx+2x-6在(0,+∞)上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn).

上面問題可歸結(jié)為h1(x)=lnx與另一函數(shù)h2(x)的和,是只有一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)的問題,其解法的步驟為：

(1)對(duì)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)再求導(dǎo)數(shù)f′′(x);

(2)判斷在給定區(qū)間(或其子區(qū)間)內(nèi)f′′(x)的符號(hào),以便確定f′(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)求f′(x)的極值點(diǎn),判斷f′(x)的符號(hào).

(4)確定f(x)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)相關(guān)問題.

二、綜合運(yùn)用及方法總結(jié)

圖2

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿鐖D1.當(dāng)時(shí),.即：f′′(x)在上是減函數(shù).又所以,f′′(x)在上有唯一零點(diǎn),設(shè)為x0.當(dāng)x∈(-1,x0)時(shí),f′′(x)＞0,即：f′(x)在(-1,x0)上是增函數(shù).當(dāng)時(shí),f′′(x)＜0,即：f′(x)在上是減函數(shù).所以,f′(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn).

2.已知f(x)=ex-ln(x+m).

(1)若x=2是f(x)的零點(diǎn),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)只有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)若函數(shù)f(x)是定義域上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(4)若函數(shù)f(x)的極大值為g(m),求g(m)的值域;

(5)當(dāng)m≥1時(shí),證明：(其中x1、x2是不相等的正實(shí)數(shù)).

(6)若x=0是f(x)的極值點(diǎn),討論f(x)的單調(diào)性;

(7)若f(x)只有2個(gè)零點(diǎn).求m的取值范圍;

(8)若f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,求m的取值范圍;

(9)當(dāng)m＜5-e時(shí),證明：f(x)＞0.

先請(qǐng)看：函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)的一個(gè)重要性質(zhì).

性質(zhì)f(x)在定義域(-m,+∞)內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)x0,相應(yīng)極小值為f(x0),f(x)在(-m,x0)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)單調(diào)遞增.

圖3

證明由于可知在(-m,+∞)是增函數(shù),注意到+∞,如圖2.故f′(x)在(-m,+∞)上有唯一零點(diǎn),且x∈(-m,x0)時(shí),f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;從而x0為f(x0)的唯一極小值點(diǎn),相應(yīng)極小值為f(x0).

利用上面性質(zhì),容易解決上面問題.

已知f(x)=ex-ln(x+m).

(1)若x=2是f(x)的零點(diǎn),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

解f(2)=e2-ln(2+m)=0,解得設(shè)方程的唯一解為x0(無法求得精確值,近似值為-7.383),故f(x)在單調(diào)遞減,在(x0,+∞)單調(diào)遞增.

(2)若f(x)只有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

解由性質(zhì)2可知若f(x)只有唯一的零點(diǎn)x=x0,則x=x0也是其極值點(diǎn),從而有從而x0+m是方程的根,容易證明該方程有唯一的根且位于(1,2)內(nèi),近似值為1.763,于是可知故存在唯一的實(shí)數(shù)m使得若f(x)只有唯一的零點(diǎn),m∈(2,3),近似值為2.33.

(3)若函數(shù)f(x)是定義域上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

解由性質(zhì)2而可知不存在滿足要求的實(shí)數(shù).

(4)若函數(shù)f(x)的極大值為g(m),求g(m)的值域;

解由性質(zhì)2可知f(x)不存在極大值,只有極小值,分別作出y=ex和y=ln(x+m)的圖像,可知當(dāng)m→+∞時(shí),ex-ln(x+m)的最小值趨向-∞;當(dāng)m→-∞時(shí),ex-ln(x+m)的最小值趨向+∞;故極小值g(m)的值域?yàn)?

(5)當(dāng)m≥1時(shí),證明：(其中x1、x2是不相等的正實(shí)數(shù)).

證法一利用函數(shù)凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系恒成立,故結(jié)論成立;

證法二直接用定義法來證注意到于是由基本不等式得從而上述式子成立;性質(zhì)1得證.

(6)若x=0是f(x)的極值點(diǎn),討論f(x)的單調(diào)性;

解由解得m=1,由性質(zhì)2可知x0=0,從而f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.

(7)若f(x)只有2個(gè)零點(diǎn).求m的取值范圍;

解只有2個(gè)零點(diǎn)則極小值必須小于零,由(2)可知極小值等于零時(shí)m的臨界值為m0=t0+lnt0,其中t0為方程的根(t0近似值為1.763,m0的近似值為2.33),故f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)所求的取值范圍是m＞m0.

(8)若f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,求m的取值范圍;

解f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增0對(duì)任意x∈[0,1]恒成立.利用分離參數(shù)得得從而故所求的m的取值范圍是[1,+∞).

(9)當(dāng)m＜5-e時(shí),證明：f(x)＞0.

解由(2)(7)可知f(x)沒有零點(diǎn)時(shí)必有f(x)＞0恒成立,且此時(shí)m＜m0,m0=t0+lnt0,其中t0為方程的根(t0近似值為1.763,m0的近似值為2.33),注意到從而結(jié)論成立.

三、問題拓展

有的函數(shù)f′(x)=0無法求解,但是再求導(dǎo)數(shù)后,[f′(x)]′=0的根卻容易求出來,此時(shí)可以利用[f′(x)]′的性質(zhì)反推得出f′(x)的單調(diào)性和最值,再利用f′(x)的單調(diào)性和最值得出f(x)的單調(diào)性和最值.這類函數(shù)較常見的有為關(guān)于x的代數(shù)式,通常是有理函數(shù))等.

分析令雖無法求解,但e-x-1＜0,故f′(x)為(0,+∞)內(nèi)的減函數(shù),f′(0)=0,從而f′(x)＜0在(0,+∞)恒成立,即f(x)為(0,+∞)內(nèi)的減函數(shù),f(0)=0,于是易得到對(duì)任意

2.證明：對(duì)任意正數(shù)x,都有

分析令顯然只需證明f(x)＞0在(0,1)成立.注意到,可以判斷在(0,1)遞增且有唯一零點(diǎn)x0,x0為f(x)在(0,1)的最小值點(diǎn),再對(duì)極值點(diǎn)代換可證f(x0)＞0.

分析,對(duì)影響y′符號(hào)的因子ex-1(x-3)+(x+1)單獨(dú)分析,令g(x)=ex-1(x-3)+(x+1),g′(x)=ex-1(x-2)+1,[g′(x)]′=ex-1(x-1),從而g′(x)是[0,1)的減函數(shù),g′(1)=0,故在[0,1)上g′(x)＜0,g(x)是[0,1)的減函數(shù),g(1)=0,從而0≤x＜1有g(shù)(x)＜0,y′=的最大值為

4.設(shè)0＜a＜1,函數(shù)現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①f(x)可能是區(qū)間(0,1)上的增函數(shù),但不可能是區(qū)間(0,1)上的減函數(shù);

②f(x)可能是區(qū)間(0,m)上的減函數(shù);

③f(x)可能在區(qū)間(0,1)上既有極大值,又有極小值.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是____.

解.設(shè)g(a)=則當(dāng)時(shí),g′(a)＜0,即：g(a)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),g′(a)＞0,即：g(a)在上單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時(shí),g(a)取得最小值固g(a)＞0,即當(dāng)時(shí)此時(shí)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.所以,f(x)可能是區(qū)間(0,1)上的增函數(shù),但不可能是區(qū)間(0,1)上的減函數(shù).即：①正確.因?yàn)樗?f(x)不可能是區(qū)間(0,m)上的減函數(shù).即：②錯(cuò)誤.當(dāng)a=e-2時(shí),故存在使得此時(shí),f(x1)是極大值,f(x2)是極小值.故③正確.

總結(jié)對(duì)于有一個(gè)極值點(diǎn)和至多兩個(gè)零點(diǎn)的問題,此法比較有效.