四川師范大學數(shù)學科學學院(610011) 申 濤 張 紅

一、研究背景

數(shù)學競賽是發(fā)現(xiàn)數(shù)學人才的有效手段之一.數(shù)學競賽與體育競賽相類似,它是青少年的一種智力競賽,所以蘇聯(lián)人首創(chuàng)了“數(shù)學奧林匹克”這個名詞.在類似的以基礎(chǔ)科學為競賽內(nèi)容的智力競賽中,數(shù)學競賽歷史最悠久,參賽國最多,影響也最大.

現(xiàn)代意義上的數(shù)學競賽是1894年從匈牙利開始的.除因兩次世界大戰(zhàn)及1966年事件而停止了7屆外,迄今已舉行過90屆.蘇聯(lián)的數(shù)學競賽開始于1934年,美國的數(shù)學競賽則是1938年開始的.這兩個國家除第二次世界大戰(zhàn)期間各停止了3年外,均已舉行過50多屆.其他有長久數(shù)學競賽歷史的國家是羅馬尼亞(始于1902年)、保加利亞(始于1949年)和中國(始于1956年).一些重大數(shù)學競賽的優(yōu)勝者,大多在他們后來的事業(yè)中卓有建樹.因此,世界發(fā)達國家都十分重視數(shù)學競賽活動.

最近十余年來,我國中學數(shù)學競賽活動蓬勃發(fā)展,其影響越來越大,特別是我國中學生在影響最大、水平最高的國際數(shù)學奧林匹克競賽中,多次榮登榜首,成績令世人矚目,充分顯示了中華民族的聰明才智和數(shù)學才能.

縱觀我國初中數(shù)學競賽的題目分類,以幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四類為主.在《2017年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題》中,第一試(A)選擇題的第2題、第4題、第5題,填空題的第2題,第二試(A)的第二大題均是幾何題,合計53分,約占總分140分的37.9%.若按幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四類各占25%來比較,37.9%遠遠超過了25%的平均比例.題型分類所占比例每年應所差不大,并且在高中數(shù)學聯(lián)賽中幾何題所占比例也不低,筆者這里就不再選取其他年份加以驗證.另外還可以看出,在《2017年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題》中,第一試(A)三道大題幾何題位于第2題,第二試(B)三道大題幾何題位于第3題,可見幾何位于較重要、較難題型位置.

綜上所述,在數(shù)學競賽中,學生是否能夠很好把握幾何題型的做題思想方法,是取得分數(shù)的關(guān)鍵因素之一.故數(shù)學競賽幾何題的解題思想方法也極其值得學者、教師進行深入研究.

二、研究分析

筆者查閱相關(guān)文獻資料并加以歸納總結(jié)后研究發(fā)現(xiàn),在數(shù)學競賽幾何題的解題思想方法可以從大的方向分為以下三類,即初等幾何思想方法、高等幾何思想方法、代數(shù)思想方法.

1.初等幾何思想方法

筆者認為的“初等幾何思想方法”是,在歐幾里得幾何的公理化體系中,運用相關(guān)性質(zhì)解決相應問題.也就是用中學課本上我們學習的如三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等,還有一些平面幾何的重要定理,如托勒密定理、定差冪線定理、梅涅勞斯定理、共邊比例定理、分角定理等,來解決相應幾何問題.

例題1已知△ABC與△A′B′C′的三邊分別為a,b,c與a′,b′,c′,且∠B=∠B′,∠A+∠A′=180°.求證：aa′=bb′+cc′.

證明如圖1,作△ABC的外接圓,過點C作CD//AB,交圓于點D,連結(jié)AD、BD.因為∠A+∠A=180°=∠A+∠CDB,∠B′=∠B=∠BCD,所以∠A′=∠CDB,∠B′=∠BCD,所以△A′B′C′相似△DCB,于是即所以在四邊形ACDB中,由托勒密定理得AC·BD+AB·CD=AD·BC,即因為AB//CD,易知AD=BC=a.即證即aa′=bb′=cc′.

圖1

例題1所用到的主要知識點為,托勒密(Ptolemy)定理：圓內(nèi)接四邊形中,兩條對角線長度之積等于兩雙對邊乘積之和.注意到例題1所求證等式形式與托勒密定理相似,結(jié)合已知條件考慮構(gòu)造圓、添加輔助線,使用托勒密定理.

托勒密定理是初等幾何中圓一部分的重要定理之一,例題1除了用到托勒密定理,同時用到了平行線內(nèi)錯角相等、三角形相似性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形對角和性質(zhì)等,這都是初等幾何常用的一些重要性質(zhì)與定理.

通過例題1我們還可以看出,在中學數(shù)學競賽中幾何題是相對較難的題型,運用什么定理,如何添加輔助線,這都是做題的關(guān)鍵.托勒密定理本身的內(nèi)容看似很簡單,但用到做題上,如何用,何時用,這都需要日積月累的做題實踐.運用“初等幾何思想方法”做競賽幾何題時,對于常用的定理、性質(zhì)一定要牢記于心,并要學會遷移類比,對于幾何題的關(guān)鍵“添加輔助線”,要在做題中善于總結(jié)經(jīng)驗.

2.高等幾何思想方法

筆者認為的“高等幾何思想方法”是,運用高等幾何的數(shù)學思想,如仿射幾何、射影幾何,來解決初等幾何問題.即解決問題不再是在歐氏幾何體系之下,而是可以如在射影幾何的公理體系之下解決初等幾何的問題.這也是當下一些知名學者比較關(guān)心的高觀點下的中學數(shù)學.也許可能讓我們更加清晰的看出問題的本質(zhì),從“不識廬山真面目”到“會當凌絕頂,一覽眾山小”的飛躍.

例題2(蝴蝶定理)如圖2,設(shè)PQ是圓的弦,M是弦PQ的中點,通過M任意作兩條弦AB和CD,設(shè)AD,BC交PQ于T,S,求證：TM=MS.

圖2

證明如圖2,連結(jié)C,P;C,Q;A,P;A,Q.對于以C為中心的線束,被直線PQ所截,得C(CPCD,CBCQ)=(PM,SQ).同樣,以A為中心的線束,被直線PQ所截,得A(APAD,ABAQ)=(PT,MQ).由同弧所對的圓周角相等,得所以又因為M是PQ的中點,故PM=MQ.所以把TQ=TM+MQ,PS=PM+MS代入上式,得再由PM=MQ知MS=TM.

例題2中所用到解題知識,如中心投影的線束,交比性質(zhì)等都已不屬于中學所學歐氏幾何的范疇了,而是屬于高等幾何分支射影幾何體系的知識.從證明的過程可以發(fā)現(xiàn),證明簡潔流暢,條理清晰,如果要用初等幾何本身的知識去證明會非常的困難.

1872年,克萊因在《關(guān)于現(xiàn)代幾何學研究的比較評論》一文中總結(jié)了射影幾何、仿射幾何以及其他幾何在當時的發(fā)展結(jié)果,明確地表述了構(gòu)成這些幾何的普遍原則,給出了幾何學的近代定義,即考慮空間的任何一個變換群G,研究G的一切不變性和不變量就構(gòu)成了一種幾何.根據(jù)這個觀點,研究在正交群下圖形的不變性和不變量的學科稱為歐式幾何學.類似地,仿射群對應的幾何叫仿射幾何,射影群對應的幾何叫射影幾何.從群的包含關(guān)系來看,仿射幾何是射影幾何的子幾何,而歐氏幾何又是仿射幾何的子幾何.就幾何學包含的內(nèi)容多少來看,歐氏幾何內(nèi)容最豐富,仿射幾何次之,射影幾何的內(nèi)容最少.在歐氏幾何里可以討論仿射性質(zhì)和射影性質(zhì),在仿射幾何里可以討論攝影性質(zhì)而不能討論歐式性質(zhì).這讓我們對于中學競賽里面的幾何題運用“高等幾何思想方法”解題提供了理論依據(jù).如例題2中用到的“線束”知識.

3.代數(shù)思想方法

筆者認為的“代數(shù)思想方法”是,運用代數(shù)學的方法解決幾何問題,如建立直角坐標系計算、向量法等等.這也是數(shù)學中數(shù)形結(jié)合重要思想的體現(xiàn).

例題3在銳角△ABC中,BD是AC邊上的高,E是AB邊上的一點,滿足∠AEC=45°,BD=2CE,且DE//BC.求證：CE=AC+AD.

證明如圖3,過點C作CE⊥AB,交AB于點F.設(shè)AD=x,CE=a,則在Rt△CEF中,∠CEF=45°,故EF=由于Rt△ACF相似Rt△ABD,從而故因為DE//BC,所以從而解得故進而AC+AD=a=CE.

例題3顯然是一道幾何證明題,但我們通過解題過程可以看出,整個過程更像代數(shù)題目的量化計算,而不是用幾何本身的定理性質(zhì)加以證明,這樣可以避免很多較難的思考,直接通過長度之間的和差關(guān)系進行證明.并且采取了設(shè)置中間變量x和a,我們并不需要求出x和a的具體數(shù)值,只是為了證明出最后的結(jié)果,這也是一種證明的有效手段方法.

正如華羅庚教授說的那樣：“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”競賽幾何題中,運用代數(shù)學的方法,正是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn),同樣做代數(shù)題的時也可以考慮用幾何學的方法解題.

三、研究結(jié)論與啟示

對于筆者梳理的數(shù)學競賽幾何題的解題思想方法,即初等幾何思想方法、高等幾何思想方法、代數(shù)思想方法.每種方法各有各自的優(yōu)勢,也有各自的缺點.

初等幾何思想方法運用的歐氏幾何公理體系下的定理性質(zhì)解決問題,對于中學生來講,這更為熟悉,但正像數(shù)學家克萊因提出的歐氏幾何是仿射幾何的子幾何,亦是射影幾何的子幾何,包含內(nèi)容豐富,對于那么多定理與性質(zhì)如何選擇也是做題的困難之處.

高等幾何思想方法運用更為一般的幾何學知識解題,如用射影幾何知識解題,一道看似很難的題,有可能幾步就被解決了,但對于中學生來講,高等幾何并不是中學的知識,如果想要用高等幾何知識解題,那就必須要付出更多的時間進行學習,同時,高等幾何富含知識越來越少,定理性質(zhì)越來越一般,解題時也可能忽略題目的細節(jié)所在.

代數(shù)思想方法有可能避免了添加輔助線,減輕了題目的難度,但也要因題而異,有的題目本身用初等幾何的定理性質(zhì)就可以很快解決,用代數(shù)運算反而會增加做題時間,顯得更加繁瑣.

總之,對于競賽幾何題：“沒有最好的方法,只有最適合的方法.”用自己最熟悉的知識體系,在最快的時間內(nèi),做對題目,即達到目的.

由于筆者學術(shù)水平有限,對于競賽幾何題的解題思想方法僅進行了簡單的梳理總結(jié)和分析,希望能起到一個拋磚引玉的作用,能給競賽教師和學生一些經(jīng)驗啟示,并在附錄作了一份《競賽幾何題解題思想方法》教學設(shè)計,僅供參考.

四、附錄：教學設(shè)計

《競賽幾何題解題思想方法》教學設(shè)計

1.教學目標

1.知識與技能目標

(1)掌握競賽幾何題的三種解題思想方法;

(2)對于一道競賽幾何題嘗試用兩種或三種方法分別解題.

2.過程與方法目標

從一道競賽幾何題出發(fā),引導學生從不同方向進行思考解題,加深學生對競賽幾何題解題思想方法的認識.

3.情感與態(tài)度目標

從學生熟悉的競賽題目出發(fā),讓學生體會學習過程,又體現(xiàn)知識的應用過程,激發(fā)學生學習興趣,鍛煉邏輯思維,處理問題的能力,有利于學生理性處理身邊的事物,培養(yǎng)一種社會責任感.

2.教學重點、難點

(1)重點：競賽幾何題的三種解題思想方法.

(2)難點：高等幾何思想方法解決競賽幾何問題.

3.教學方法和手段

基于本節(jié)課的內(nèi)容的特點和學習競賽學生的心理及思維發(fā)展特征,在教學中選擇講授法、討論法和總結(jié)法相結(jié)合.與學生建立平等融洽的互動關(guān)系,營造合作交流的學習氛圍.

4.教學過程

環(huán)節(jié)一例題1分析講解,運用“初幾”和“高幾”兩種方法

問題1：在初等幾何上我們學習了很多定理,哪位同學還知道賽瓦定理得內(nèi)容是什么?

問題2：對于“完全四邊形”、“調(diào)和四邊形”、“調(diào)和點列”這些概念大家有了解嗎?

設(shè)計意圖所選擇的典型例題1運用“初等幾何思想方法”需要用到賽瓦定理,故先復習定理本身內(nèi)容;另外運用“高等幾何思想方法”要先講解基礎(chǔ)知識,提出一些學生從未聽過的概念名詞,激發(fā)學生學習興趣.

所涉及知識點

1.賽瓦定理：在△ABC內(nèi)任取一點O,延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則.(如圖4)

圖4

2.調(diào)和點列：對于線段AB的內(nèi)分點C和外分點D滿足則稱點列A、B、C、D是調(diào)和點列.

3.完全四邊形：兩兩相交,且沒有三線共點的四條直線及它們的六個交點所構(gòu)成的圖形叫完全四邊形.

例題1在△AEF中,B、D分別為邊AE、AF的中點,連結(jié)BF、DE交于點C,連結(jié)AC延長交EF于M.求證：M為EF中點.

法一初等幾何思想方法

圖5

法二高等幾何思想方法

如圖5,在完全四邊形ABCD中,E、M、F、W∞成調(diào)和點列,所以即ME=MF,則M為EF的中點.

講解分析通過一道競賽幾何題用“初等幾何思想方法”和“高等幾何思想方法”兩種方法講解,讓學生一目了然的理解兩種方法各自的優(yōu)勢與特點.

例題1兩種證明方法思路都比較簡明,法一需要很好的掌握賽瓦定理,法二需要學生打破歐氏幾何公理體系的范疇,在歐式幾何中兩條平行線是沒有交點的,而在射影幾何公理體系下,兩條平行線是交于無窮遠點的,這樣就能很快證明出結(jié)果.

環(huán)節(jié)二例題2分析講解,運用“初幾”和“代數(shù)”兩種方法

問題1：在初等幾何上最重要的圖形之一就是三角形,三角形的五心分別是?五心分別有哪些重要性質(zhì)呢?

問題2：平面向量基本定理的內(nèi)容是什么呢?

設(shè)計意圖所選擇的典型例題2運用“初等幾何思想方法”需要用三角形五心知識,故先復習相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容;另外本題“代數(shù)思想方法”主要用到平面向量知識,故先復習回憶最重要的知識點平面向量基本定理.這兩種方法所用到的知識都是學生非常熟悉的,故不需要用很長時間進行復習.

例題2設(shè)O為△ABC的外心,AB=AC,D是AB的中點,G是△ACD的重心.求證：OG⊥CD.

圖6

法一初等幾何思想方法(利用垂心性質(zhì)：兩⊥?第三⊥)如圖6,F、D分別為AB、BC的中點,有E為△ABC的重心.所以CE：ED=2：1.又G為△ACD的重心,所以CG：GH=2：1,所以EG//DH.因為OD⊥DH,所以O(shè)D⊥EG(1),因為G為△ACD的重心,所以M為AC中點,所以DM為中位線,又因為AF⊥BC,所以AF⊥DG,即AE⊥DG(2),由(1)和(2)可得,O為△DEG的垂心,所以O(shè)G⊥CD.

法二代數(shù)思想方法(結(jié)合向量法計算證明)

講解分析通過一道競賽幾何題用“初等幾何思想方法”和“代數(shù)思想方法”兩種方法講解,同樣可以像例題1那樣讓學生一目了然的理解兩種方法各自的優(yōu)勢與特點.

例題2兩種證明方法可以看出法二的代數(shù)法利用向量進行機械計算即可,思考的過程相對法一少了許多,但這也要求學生對平面向量基本定理能有深刻的理解.

環(huán)節(jié)三總結(jié)反思,作業(yè)布置

通過兩道競賽幾何例題讓學生體會三種思想方法,課后可讓學生在以前做過的競賽幾何題運用不同方法再進行求解求證,鼓勵他們下節(jié)課展示給全班,這樣也可以讓他們對競賽幾何題有更多的求知欲與學習興趣.