浙江省杭州第十四中學(xué)(310006) 樓思遠(yuǎn) 申東奎
一次高三試卷講評(píng)課后,部分學(xué)生對(duì)筆者課堂上展示的解法無異議,但對(duì)自己思路的錯(cuò)誤緣由卻百思不得其解,筆者由此重新審視該題,在找到學(xué)生的思維盲區(qū)后,及時(shí)的對(duì)該類題型進(jìn)行了拓展與訓(xùn)練,整個(gè)過程基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)層層推進(jìn),取得了較好的教學(xué)效果.以下是具體的過程:
試題如圖1,橢圓,以C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T和橢圓C交于點(diǎn)M和點(diǎn)N.
圖1
(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M和N的任意一點(diǎn),且直線MP和NP分別與x軸交于點(diǎn)R和S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證為定值.
標(biāo)準(zhǔn)解答(課堂呈現(xiàn))
(1)易知T(-2,0),令M(x1,y1),N(x1,-y1),由M,N都在橢圓上知:
(2)設(shè)P(x0,y0),則令y=0得,同理可得,因此,注意到點(diǎn)M,P均在橢圓上,故從而
筆者認(rèn)為該解答清晰流暢,學(xué)生易于接受.然而在接下去的幾天,卻陸續(xù)有學(xué)生提出了臨場考試時(shí)的困惑,幾位學(xué)生的思路如下:
生甲:根據(jù)?>0,方程恒有兩不同的實(shí)數(shù)解,但是根據(jù)題目所給的圖象,應(yīng)該是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解(M與N的橫坐標(biāo)相同)才對(duì)啊?
生丙:我的想法與乙差不多……,然后就算不下去了.(其余幾位同學(xué)都小聲附和:為什么圖象與方程對(duì)不上呢?).
筆者發(fā)現(xiàn)幾位學(xué)生的錯(cuò)誤原因其實(shí)是一樣的,同時(shí)意識(shí)到這是學(xué)生中普遍存在的思維盲點(diǎn),應(yīng)及時(shí)抓住這個(gè)時(shí)機(jī)發(fā)掘問題本質(zhì),進(jìn)而提升思維品質(zhì).于是提示學(xué)生將函數(shù)圖象與解析幾何圖形放一起,將具體解得的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都標(biāo)在上面進(jìn)行比較,并請(qǐng)他們?cè)谡n堂上分享所思所想;另一方面筆者也精心準(zhǔn)備了幾道同類型的題,準(zhǔn)備在課堂上加深學(xué)生對(duì)問題的理解.
教學(xué)片段(學(xué)生分享所思所想)
生甲:(黑板上畫出解析幾何圖形與二次函數(shù)圖象),由方程組
消去y2得到
但(1)(2)并不等價(jià),因?yàn)?1)中涉及兩個(gè)封閉圖形的方程,兩個(gè)變量x,y相互聯(lián)系相互制約,根據(jù)y2的非負(fù)性知:x∈[-2,2],因此應(yīng)該是
在x∈[-2,2]上有唯一實(shí)數(shù)解才對(duì).
師:在由幾何圖形向代數(shù)方程轉(zhuǎn)化的過程中,一定要注意隱含條件的挖掘,轉(zhuǎn)化的過程必須做到等價(jià).接下來我們看看大家是否真的理解了問題的本質(zhì),請(qǐng)看題1:
題1已知橢圓和圓C2:x2+(y+1)2=r2(r>0),若這兩條曲線沒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)r的取值范圍.
解將方程聯(lián)立得:5y2-8y+4r2-40=0,由(1)知y∈[-2,2],故原題等價(jià)于f(y)=5y2-8y+4r2-40=0在[-2,2]上無實(shí)根,結(jié)合圖象分類討論:
1.若?<0,則此時(shí)無解,滿足題意,如圖2;
圖2
3.若?>0,則結(jié)合二次函數(shù)圖象知:為了滿足y∈[-2,2]時(shí)無解,只需f(-2)<0,解得r<1,因此0<r<1,如圖4.
圖3
圖4
師:注意以下幾點(diǎn):
(1)此題聯(lián)立方程消去x是為了使計(jì)算更簡潔,消去y求解亦可;
(2)有的同學(xué)會(huì)有疑問:由(1)知y∈[-2,2],由(2)知y∈[-r-1,r-1],是否取二者的交集作為限制條件?其實(shí),由y∈[-2,2]知x2≥0,代入(2)可推得y∈[-r-1,r-1],故取y∈[-2,2]即可.
(3)從圖三可以看出,當(dāng)二次方程滿足?=0時(shí)圖象卻有兩個(gè)交點(diǎn),這是因?yàn)橥粋€(gè)y對(duì)應(yīng)兩個(gè)x的值,這也是部分解析幾何圖形與函數(shù)圖象的區(qū)別.
總結(jié)對(duì)于該類問題,應(yīng)先列出函數(shù)方程,根據(jù)隱含條件對(duì)實(shí)根的分布進(jìn)行分類討論,最后結(jié)合圖形驗(yàn)證;若先根據(jù)幾何圖形的移動(dòng)來討論,則會(huì)出現(xiàn)漏解的情況.我們?cè)倏磶桌?/p>
題2若橢圓C1:x2+4(y-a)2=4和拋物線C2:x2=2y有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解將方程聯(lián)立得:2y2+(1-4a)y+2a2-2=0,由(2)知y∈[0,+∞),原題等價(jià)于:f(y)=2y2+(1-4a)y+2a2-2=0在[0,+∞)上有實(shí)根,結(jié)合圖象知只需滿足:是較大的實(shí)數(shù)根),解得,通過移動(dòng)圖5可以驗(yàn)證結(jié)論成立.
圖5
圖6
題3若曲線(a為正常數(shù))和C2:y2=2(x+m)在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(用a表示).
解將方程聯(lián)立得:x2+2a2x+2ma2-a2=0,由題意知x∈(-a,a),原題等價(jià)于:f(x)=x2+2a2x+2ma2-a2=0在(-a,a)上有唯一實(shí)數(shù)根,結(jié)合圖象分類討論:
2.f(a)·f(-a)<0,此時(shí)m∈(-a,a),a>0;
3.f(-a)=0,此時(shí)m=a,而方程得另外一個(gè)解為x=a-2a2,令-a<a-2a2<a得a∈(0,1);
4.f(a)=0,同(3)討論知無解.
綜上,當(dāng)a∈(0,1)時(shí)或者m∈(-a,a];當(dāng)a∈[1,+∞)時(shí):m∈(-a,a).通過移動(dòng)圖6可驗(yàn)證結(jié)論成立.
通過課堂練習(xí),學(xué)生對(duì)于問題的本質(zhì)有了更深刻的理解.筆者也意識(shí)到:在解析幾何的復(fù)習(xí)教學(xué)中,一定要去認(rèn)真了解學(xué)生的解題思路,能夠從學(xué)生的思考角度出發(fā)對(duì)教學(xué)策略作出適當(dāng)調(diào)整,并對(duì)解題方法進(jìn)行模型提煉,進(jìn)而讓他們意識(shí)到直觀想象與邏輯推理兩者的相輔相成與辯證統(tǒng)一性,體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的豐富內(nèi)涵,提高復(fù)習(xí)的效率.
古語有云:學(xué)貴有疑,于不疑處生疑,方是進(jìn)矣.第一問解決后,筆者仍覺意猶未盡,對(duì)第二問也產(chǎn)生了興趣,翻閱資料后發(fā)現(xiàn)2015年陜西省數(shù)學(xué)競賽考了如下問題:
題4如圖7,已知圓O:x2+y2=4與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,以A為圓心的圓A(x-2)2+y2=r2(r>0)與圓O交于點(diǎn)B和點(diǎn)C.
圖7
(2)設(shè)點(diǎn)P是圓O上異于B和C的任意一點(diǎn),且直線PB和PC分別與x軸交于點(diǎn)M和N,求S△POM·S△PON的最大值.
(1)-2;(2)同試題思路知xM·xN=4,故S△POM·因?yàn)?2≤yp≤2,所以當(dāng)yp=±2時(shí),S△POM·SΔPON取最大值4.
圖8
圖9
對(duì)比試題與題4可以發(fā)現(xiàn):xM·xN=4=R2,xR·xS=4=a2,這里R與a恰好是圓O和橢圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo),這是巧合還是必然?經(jīng)過認(rèn)真的思考與探索,筆者利用高等幾何中極點(diǎn)與極線的觀點(diǎn)得到如下證法(以試題第(2)問為例):
(2)如圖8,連結(jié)MN,連結(jié)RN交橢圓于點(diǎn)G,連結(jié)MG,PG,由對(duì)稱性可知直線MG經(jīng)過S點(diǎn),G和P兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.從圖象中看出點(diǎn)R的極線lR經(jīng)過點(diǎn)S.令點(diǎn)R(t,0),則即,從而于是xR·xS=4,即.
由該解法可知結(jié)論是必然的,且對(duì)于一般的圓錐曲線都有類似的結(jié)論,下再舉一例:
證明如圖9,連結(jié)MN,連結(jié)RN交雙曲線C1于點(diǎn)G,連結(jié)MG,PG,由對(duì)稱性知MG經(jīng)過S點(diǎn),G和P兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.從圖象中看出點(diǎn)R的極線lR經(jīng)過點(diǎn)S,令點(diǎn)R(t,0),則,從而于是xR·xS=a2,即.其余情況都可類似證明之,不再贅述.
一點(diǎn)思考
一方面,在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師若要擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的桎梏,提高復(fù)習(xí)效率,僅僅滿足于講清楚標(biāo)準(zhǔn)答案是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,很多時(shí)候?qū)W生對(duì)同一個(gè)問題有著截然不同的思考與看法,若是教師不注意這點(diǎn),就無法和學(xué)生產(chǎn)生共情,課堂教學(xué)也隨之變成了教師的獨(dú)角戲,若要減少這類情況出現(xiàn),筆者認(rèn)為可從以下兩點(diǎn)入手:對(duì)于正確而巧妙的思路,應(yīng)及時(shí)通過師生的辯證與分析,在課堂上內(nèi)化為學(xué)生自身的經(jīng)驗(yàn);對(duì)于較典型的錯(cuò)誤,則應(yīng)耐心細(xì)致的去了解學(xué)生的思考過程,幫助他們找到思維盲區(qū)后深入挖掘嚴(yán)謹(jǐn)剖析,讓他們?cè)谡n堂上分享自己的所思所得,從而使學(xué)生之間產(chǎn)生共鳴,進(jìn)而起到正強(qiáng)化的作用.
另一方面,學(xué)生的困惑也促成了筆者對(duì)于試題的二次思考與開發(fā),在翻閱高等幾何相關(guān)書籍后,筆者從極點(diǎn)與極線這一高觀點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過探索得到了第二問的一般性結(jié)論,在這個(gè)過程中筆者的專業(yè)水平得到了很大提高.正所謂教學(xué)相長也!
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,遇到一些看似平凡的內(nèi)容,能夠透過本質(zhì)豐富內(nèi)涵,這是舉輕若重;遇到一些看似疑難的問題,能夠透過本質(zhì)輕松化解,這是舉重若輕.上述對(duì)我們教師提出了更高的要求:若要給學(xué)生一杯水,教師須有一桶水,只有充分認(rèn)清數(shù)學(xué)本質(zhì)、深刻理解數(shù)學(xué)思想、靈活掌握數(shù)學(xué)方法,才能做到高屋建瓴,胸有成竹.