江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部 吳明艷

又是一年六七月，轉(zhuǎn)眼間學(xué)生由八年級進(jìn)入九年級，教育教學(xué)的重要任務(wù)向快速結(jié)束教材內(nèi)容和進(jìn)入中考備考狀態(tài)轉(zhuǎn)軌，任課教師也倍感壓力，怎樣才能在平常的課堂教學(xué)中做好新的知識學(xué)習(xí)的同時(shí)又不失引領(lǐng)學(xué)生科學(xué)備考呢？筆者所在的數(shù)學(xué)備課組成員展開了一系列的研討，就一些教材中的關(guān)鍵章節(jié)進(jìn)行了說課.筆者以點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系為例談了怎樣實(shí)現(xiàn)“研究課堂結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)科能力”.

一、分析點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系在初中數(shù)學(xué)中的核心素養(yǎng)，找準(zhǔn)教學(xué)方向

從教材內(nèi)容來看，知識含“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”“直線和圓的位置關(guān)系”“圓和圓的位置關(guān)系”，這是在學(xué)生已經(jīng)掌握眾多的幾何圖形知識的基礎(chǔ)之后的延伸，將曲折的圖形“圓滑化”.三塊內(nèi)容本身也具有遞進(jìn)性，使得點(diǎn)、線、面渾然一體.因此，本章節(jié)內(nèi)容無論從數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建，還是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)來講，都占有舉足輕重的地位.

因此，筆者從四個(gè)方面給出了教學(xué)目標(biāo)，來達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)：

（1）在認(rèn)知點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的幾種位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，明確科學(xué)考向.

（2）以循序漸進(jìn)的方法理解各種位置關(guān)系中，d與R、r的數(shù)量關(guān)系，體會數(shù)形轉(zhuǎn)換的學(xué)科思維.

（3）在針對訓(xùn)練中提升學(xué)生的探究能力、識圖能力、推理判斷能力.

（4）觀察現(xiàn)實(shí)生活中的空間圖形，體驗(yàn)學(xué)科思維，以解決生活中的實(shí)際問題.

筆者將切線的判定，兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系作為重點(diǎn)，真正體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換的學(xué)科思維；將各知識點(diǎn)之間的整合和在實(shí)際生活中的應(yīng)用作為難點(diǎn).以問題情境引入—基礎(chǔ)知識整合—綜合知識應(yīng)用為課堂活動環(huán)節(jié)，來打造課堂結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)科能力.

二、預(yù)設(shè)點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系在課堂教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，打造課堂結(jié)構(gòu)

一節(jié)課是以引入課題為起點(diǎn)的，首先預(yù)設(shè)一個(gè)與生活息息相關(guān)的圓的情境（用媒體播放圓與球：跨時(shí)代、跨文化的數(shù)學(xué)故事），然后引入“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”內(nèi)容.

1.新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)的預(yù)設(shè)

預(yù)設(shè)問題：有哪幾種點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？你該怎樣判定？

點(diǎn)到圓心的距離用d表示、圓的半徑用r表示，讓學(xué)生在探究過程中明確點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系（如圖1）.

圖1

幾何圖形對應(yīng)的數(shù)的關(guān)系：圖1左是d＜r、圖1中是d=r、圖1右是d＞r.

預(yù)設(shè)練習(xí)1：如圖2，已知直角△ABC的直角邊AB=3cm，AC=4cm.

圖2

（1）以點(diǎn)A為圓心、4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B、C與⊙A的位置關(guān)系如何？

（2）若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，你認(rèn)為B、C兩點(diǎn)可能出現(xiàn)幾種情況？分析對應(yīng)的⊙A的半徑r的取值范圍是什么.

（3）你能否找到一圓使A、B、C三點(diǎn)共圓？圓心在什么位置？半徑r是多少？

預(yù)設(shè)目的：從新知認(rèn)知，感悟點(diǎn)和圓的位置關(guān)系其實(shí)是一種數(shù)形轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想.然后對新知進(jìn)一步鞏固，尤其是（2）中學(xué)生出現(xiàn)了以下情況：

r＜3cm，B、C兩點(diǎn)都在⊙A外；r=3cm，點(diǎn)B在⊙A上、點(diǎn)C在⊙A外；3cm＜r＜4cm，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)、點(diǎn)C在⊙A外；r=5cm，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)、點(diǎn)C在⊙A上；r＞5cm，B、C兩點(diǎn)都在⊙A內(nèi).不可能出現(xiàn)B、C兩點(diǎn)都在⊙A上的情況.

（3）難度較大，要利用直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半解決問題.因此，使A、B、C三點(diǎn)共圓，圓心是斜邊的中點(diǎn)，半徑r是斜邊的一半，再利用勾股定理，r=

2.新課探究環(huán)節(jié)的預(yù)設(shè)

可以讓學(xué)生以“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”的學(xué)習(xí)方法探究“直線和圓的位置關(guān)系”，得出直線和圓的三種位置關(guān)系（如圖3）：

圖3

找出圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系：

圖3中，①是d＞r，無交點(diǎn)；②是d=r，有1個(gè)切點(diǎn)；③是d＜r，有2個(gè)交點(diǎn).

預(yù)設(shè)練習(xí)2：請各個(gè)小組討論，用相交、相切、相離回答下列問題.看哪組同學(xué)答得又快又好.

已知⊙O的半徑是10，根據(jù)下列條件，判斷⊙O與直線l的位置關(guān)系.

表1

講授要點(diǎn)知識——圓的切線、切線的有關(guān)性質(zhì)及判定.注意總結(jié)規(guī)律：

判斷一條直線是圓的切線的方法有：（1）若直線與圓有唯一的公共點(diǎn)，則此直線為圓的切線；（2）圓心到直線的距離等于圓的半徑，則此直線為圓的切線；（3）過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線.

預(yù)設(shè)練習(xí)3：（2019年江蘇省宿遷市中考第24題）在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）如圖4，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心、OB長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F.求證：∠1=∠2.

圖4

圖5

（2）在圖5中作⊙M，使它滿足以下條件：

①圓心在邊AB上；②經(jīng)過點(diǎn)B；③與邊AC相切.（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

預(yù)設(shè)目的：將導(dǎo)學(xué)案前置，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，然后分組討論并搶答問題.一方面，培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力，另一方面，還可以增強(qiáng)集體榮譽(yù)感.預(yù)設(shè)練習(xí)2中⑤和⑥有一定的難度，學(xué)生對⑤和⑥可能理解不全面，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系進(jìn)行分析.在預(yù)設(shè)練習(xí)3中，可以引導(dǎo)學(xué)生不斷深化.解題的簡約思路如下：

（1）連接OF，則OF⊥AC，OF為⊙O的半徑.

圓的半徑OF=OB，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出∠2=∠OFB.

再根據(jù)∠C=90°，推出OF∥BC.

∠OFB=∠1，則∠1=∠2，原命題得以證明.

（2）方法1：作∠B的平分線交AC于點(diǎn)F，再作MF⊥AC交AB于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心、MB為半徑作圓，⊙M即為所求作的圓.

方法2：作∠B的平分線交AC于點(diǎn)F，再作BF的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心、MB為半徑作圓，⊙M即為所求作的圓.

選擇本中考試題的目的在于讓學(xué)生在平常的課堂學(xué)習(xí)中既能體會到中考試題的考向，又明確中考試題的解法是多元化的，可能的“定理”就在題干之中，如本題第（2）問的求解可以運(yùn)用第（1）問中證明出的結(jié)論.

生活中處處有數(shù)學(xué).圓與圓的位置關(guān)系也是如此，圓和圓有五種位置關(guān)系，這里就不再一一贅述了.

3.反思點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系在課堂教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)

第一，進(jìn)入九年級，要自主探究，不是放任自由.預(yù)設(shè)這節(jié)課需要有導(dǎo)學(xué)案前置的自主學(xué)習(xí)、課堂上的小組合作及展示等環(huán)節(jié)，教師再重點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥.這種學(xué)習(xí)方式特別有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)的不足.教學(xué)實(shí)踐表明，只有在教師充滿睿智的引導(dǎo)下，才能強(qiáng)化學(xué)生的自主學(xué)習(xí).所以，課堂環(huán)節(jié)的預(yù)設(shè)中將引導(dǎo)作為一種真誠的幫助，作為一種精當(dāng)?shù)膯⒌?，作為一種熱情的激勵(lì).讓教師的引導(dǎo)融合到學(xué)生的自主探究中，形成學(xué)習(xí)合力.

第二，小組探究學(xué)習(xí)，要讓合作成為智慧的交融.

合作學(xué)習(xí)是一種學(xué)習(xí)方式，預(yù)設(shè)的這節(jié)課根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容而定，在“直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系”關(guān)鍵環(huán)節(jié)采用了小組合作的學(xué)習(xí)方法.預(yù)案中指導(dǎo)合作學(xué)習(xí)時(shí)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn).（1）提前做好合作鋪墊，在“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”的新知學(xué)習(xí)過程中要有引導(dǎo).即對初中生要教給他們學(xué)習(xí)方法，這是一種學(xué)科素養(yǎng)的培訓(xùn).同時(shí)，在小組合作探究之前，預(yù)設(shè)中有導(dǎo)學(xué)案的前置，留給學(xué)生充足的獨(dú)立思考的時(shí)間，只有學(xué)生對所需要學(xué)習(xí)的知識有初步的認(rèn)識和了解，才能進(jìn)行有效的小組合作學(xué)習(xí).（2）用電子白板給出合作目標(biāo)，要讓學(xué)生明確小組合作是干什么的、通過合作要達(dá)到的目標(biāo)是怎樣的，等等，要在小組合作中明確角色定位，讓合作探究有的放矢.

總之，教學(xué)是一門藝術(shù).只有一線教師不斷研究課堂結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)科能力，初中教育教學(xué)才會艷陽高照.