江蘇省南京市第十二初級中學(xué) 李正球

每次考試過后，總有教師埋怨：這個因式分解題平時都練過好幾次了，可還是有許多學(xué)生不會做或做錯！那個平面幾何對稱性問題，只是將作業(yè)題中圖形的位置改變了一下，怎么還是有好多人做不出！于是，教師往往懷疑學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，甚至認(rèn)為，有些學(xué)生根本不是學(xué)習(xí)的料兒，大有“朽木不可雕也”之嫌.于是問題來了，學(xué)生每天坐在教室里，說辛苦真的很辛苦，可辛苦之后卻收獲不大.難道他們真的不會學(xué)習(xí)？還是教師的引導(dǎo)出了問題？在筆者看來，學(xué)生如何學(xué)固然重要，但從教師教的角度看，教師的責(zé)任更大.學(xué)生出錯，往往是對課堂上所學(xué)的知識一知半解所致，要徹底改變這種想象，必須要讓學(xué)生學(xué)會深度學(xué)習(xí).所謂數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，即要求學(xué)生真正感悟數(shù)學(xué)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的規(guī)律，從而自覺地利用這些規(guī)律去解決數(shù)學(xué)問題.筆者認(rèn)為，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，離不開教師的引領(lǐng)，脫離了教師引領(lǐng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)只能浮于表面，既達(dá)不到廣度，更達(dá)不到深度.因此，教師教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，應(yīng)在知識的廣度上和深度上做足文章.

一、由點(diǎn)連線，構(gòu)建知識的完整性

一知半解是學(xué)習(xí)的大忌，尤其是數(shù)學(xué)這門學(xué)科.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的根本原因在于，學(xué)生所學(xué)的知識往往是孤立的、零散的，因而，考試時，不會把相關(guān)知識串聯(lián)起來.比如，見到矩形的四邊中點(diǎn)的連線是菱形，卻不知道等腰梯形的四邊中點(diǎn)的連線也是菱形.遇到相關(guān)問題，學(xué)生只會回憶以前有沒有遇到這道題，遇到的或許會做，沒有遇到的就自然不會做了.這種思維僵化的根本原因，是在學(xué)習(xí)中只能看見一道一道題，即一個一個點(diǎn)，卻看不到一個一個點(diǎn)背后的一條線，缺乏對知識的完整性與系統(tǒng)性的構(gòu)建.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，首先應(yīng)教會學(xué)生從每天做的題目出發(fā)，由點(diǎn)連線，構(gòu)建知識的完整性.

比如，實(shí)數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基石，初中數(shù)學(xué)的許多問題與實(shí)數(shù)有關(guān)，比如，研究一元二次方程的實(shí)數(shù)解，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，實(shí)數(shù)比大小問題等，這就要求學(xué)生從整體上認(rèn)識實(shí)數(shù).或許，有的教師認(rèn)為，實(shí)數(shù)就是有理數(shù)與無理數(shù)的統(tǒng)稱，沒有必要大做文章.其實(shí)，這種看法高估了學(xué)生，有一次我問一名學(xué)生，π是什么數(shù)？他回答“π是3.14”.我接著問，3.14是什么數(shù)？他回答“是無限小數(shù)”.我再問“無限小數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)”，他就猶豫了，想了很大一會兒，回答說“是有理數(shù)”.然后我又問“那π是有理數(shù)嗎”，他又猶豫了，還是旁邊一名學(xué)生回答得干脆——“π是無理數(shù)”.于是產(chǎn)生了一對矛盾：π是3.14，是有限小數(shù)，卻是無理數(shù).這名學(xué)生的臉上一片茫然.而產(chǎn)生這種錯誤的認(rèn)識的真正原因，其實(shí)是這名學(xué)生平時只看到一個一個數(shù)，卻沒有去關(guān)注數(shù)其實(shí)是個體系，于是會犯“一葉障目”或者“只見樹木不見森林”的錯誤.可見，引導(dǎo)學(xué)生建立知識體系是何等重要.

其實(shí)，初中數(shù)學(xué)的每一塊核心內(nèi)容都是一個完整的知識體系，如實(shí)數(shù)體系，代數(shù)式體系，平面幾何體系，函數(shù)體系，方程體系，概率與統(tǒng)計(jì)體系等，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握住各體系的結(jié)構(gòu)，由點(diǎn)連線，才能使學(xué)生深刻把握住課本知識.

二、由淺入深，鍛煉思維的深刻性

數(shù)學(xué)，是思維的體操.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以讓人明智，因此，由淺入深，鍛煉思維的深刻性顯得尤為重要，而思維的深刻性，從來不是與生俱來的，需后天培養(yǎng)，需要教師引導(dǎo).在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如果教師只注重知識的傳授，而不注重能力的培養(yǎng)，學(xué)生的思維往往只停留在表層，遇到稍有點(diǎn)難度的問題，他們往往或畏縮不前，或知難而退.因此，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，必須要有問題載體，需要教師對問題的預(yù)設(shè).在數(shù)學(xué)課堂上，教師可以設(shè)計(jì)探究性問題，由淺入深，在系列問題的解決中，鍛煉學(xué)生思維的深刻性.問題應(yīng)源于課本，但不囿于課本.

如一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理，無論是在中考還是未來的高考中，都有著廣泛的應(yīng)用，這是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的極好素材.在教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了如下問題引導(dǎo)學(xué)生探究：

問題1：方程（1998x）2-1997×1999x-1=0的大根為a，方程x2+1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值.（答案：a=1，b=-1999，a-b=2000）

問題2：已知a≥0，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，m≠n，求（m-1）2+（n-1）2的最小值.（答案：-2.提示：m、n是關(guān)于x的方程x2-2ax+2=0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=2a，mn=2，將代數(shù)式用完全平方公式展開，再根據(jù)完全平方公式恒等變形為（m-1）2+（n-1）2=m2-2m+1+n2-2n+1=（m+n）2-2mn-2（m+n）+2，然后整體代入，根據(jù)代數(shù)式極值的算法得出答案）

問題3：已知方程2x2-9x+8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一根為原方程兩根差的平方.（答案：36x2-161x+34=0）

問題4：設(shè)x2-px+q=0的兩實(shí)數(shù)根為α、β.

（1）求以α3、β3為兩根的一元二次方程；（答案：x2-p（p2-3q）x+q3=0）

（2）若以α3、β3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有這樣的一元二次方程.（答案：x2-2x+1=0，x2+2x+1=0，x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0）

問題來源于課本，問題的設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā).上面四個問題緊緊圍繞韋達(dá)定理，難度呈上升趨勢，可以讓學(xué)生的思維螺旋式上升，問題探究過程中，學(xué)生的思維完成質(zhì)的飛躍.有道是，玉不琢，不成器；人不學(xué)，不知道.教師應(yīng)充分相信學(xué)生，積極創(chuàng)設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生，才能讓學(xué)生的思維越走越遠(yuǎn).

四、由此及彼，助推思維的廣闊性

數(shù)學(xué)知識從來不是孤立存在的，無論是數(shù)學(xué)知識，還是數(shù)學(xué)方法，它們互相聯(lián)系，互相作用，才支撐起這個“數(shù)學(xué)大世界”，這一點(diǎn)必須讓學(xué)生明白，這其實(shí)也是辯證唯物主義的觀點(diǎn)，體現(xiàn)了科學(xué)的方法論.前面說到，教師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建了各個知識體系，運(yùn)用問題培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生溝通各知識體系間的聯(lián)系，尤其是在解題方法的引導(dǎo)上，要打破常規(guī)，一題多解，代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面審視數(shù)學(xué)問題，這樣才能使他們進(jìn)入“廣闊的思維空間”.

例如，如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)C，任作一直線與AB、AD的延長線分別交于點(diǎn)E、F.求證：AE+AF≥4AB.

圖1

本題是“形”的問題，但直接從“形”入手較難解決，若將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，則結(jié)論變?yōu)椋ˋE+AF）2-4ABx×（AE+AF）≥0.則可聯(lián)想起一元二次方程根的判別式，從而把它轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題來解決.對這類問題的探討，可以幫助學(xué)生溝通代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，幫助他們樹立科學(xué)的解題觀.

又如，已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x=6-y，z2=xy-9，求證：x=y.

本題本質(zhì)上是個方程問題，可以將條件變形成x+y=6，xy=z2+9，于是引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程題，嘗試?yán)酶呐袆e式加以解決.

證明：因?yàn)閤+y=6，xy=z2+9，所以x、y是二次方程t2-6t+（z2+9）=0的兩個實(shí)根，于是這個方程的判別式Δ=36-4（z2+9）=-4z2≥0，即z2≤0.因z為實(shí)數(shù)，顯然應(yīng)有z2≥0.要使兩式同時成立，只有z=0，從而Δ=0，故上述關(guān)于t的二次方程有等根，即x=y.

由此及彼，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的廣闊性.在學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維經(jīng)常受阻或凝固，其實(shí)也無可厚非，只要教師積極引導(dǎo)他們及時調(diào)整思維角度，就可打通思維關(guān)節(jié)，將所謂的難題一網(wǎng)打盡.

引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，教師應(yīng)注重教學(xué)的每一個細(xì)節(jié).當(dāng)深度學(xué)習(xí)既成為教師教學(xué)的一種常態(tài)，又成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種習(xí)慣時，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率必然有一個質(zhì)的變化，倘若如此，每次考試后，看到的必然是一張張笑臉，而教師的抱怨聲也將成為“過去式”.