袁華風

[摘 ?要] 立體幾何是高中數(shù)學的重點知識，以其為基礎命制的考題也是高考的重點題型. 問題突破時需要學生準確把握幾何特性，靈活運用理論知識建模轉化. 一般而言從不同的角度思考問題可以獲得不同的解題思路，實現(xiàn)問題的多解，文章對一道立體幾何題開展多解探究、空間拆解，并開展解后反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 立體幾何;多解;體積;余弦定理;轉化;拆解

考題呈現(xiàn)，試題點評

1. 考題呈現(xiàn)

（2019年高考全國卷理數(shù)第12題）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（ ?）

A. 8 π B. 4 π

C. 2 π？搖？搖？搖 D. ?π

2. 試題點評

上述試題是高中常見的立體幾何求體積問題，其特點在于依托正三棱錐構建了外接球，因此解題的關鍵就是利用正棱錐的特性，求解外接球的半徑. 從題干信息及核心突破點來看，主要考查學生對立體幾何特性的掌握及空間聯(lián)想能力. 對于該考題有多種突破思路，下面對其深入探究.

思路構建，多解探究

所求幾何體積是正三棱錐的外接球，突破的關鍵是求出外接球的半徑，考慮到正棱錐的特殊性，可以通過求正棱錐的邊長實現(xiàn)，也可以轉化為分析內(nèi)接正方體與外接球的半徑關系. 題干給出了三棱錐的相關中線、構建的幾何角，突破時可以從不同的角度進行.

方法一：依托公式構建，定理轉化獲解

求外接球的體積，只需要求出其半徑即可，所給三棱錐為正三棱錐，底面三角形為邊長為2的正三角形，則△ABC的截面圓半徑r= ?，則后續(xù)只需要求解點P到平面ABC的距離即可.

解：如圖1所示，三棱錐P-ABC為正三棱錐，可設三棱錐的棱長PA=PB=PC=2a，底邊三角形ABC的外接圓的半徑為r，若設△ABC的重心為G，則CG=r.

E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，則EF=a，CF= ，在△PAC中由余弦定理可得cos∠PAC= = . 而在△EAC中，可求得EC2=a2+2. ∠CEF=90°，由勾股定理可得EC2+EF2=CF2，可解得a= ，即PC= . 在Rt△PCG中，CG=r= ?，GP=h= = ，利用正三棱錐外接球的半徑公式R= ，可得R= ，再結合球的體積公式V= πR3，可得球O的體積為 π.

評析：上述方法的總體思路是借助正三棱錐外接球的半徑公式R= ，將問題轉化為求底面正三角形外接圓的半徑為r和頂點到底面正三角形的距離h. 前者可以借助三角形的余弦定理、勾股定理轉化來獲得，后者則可以由正三角形性質直接獲得.

方法二：綜合分析體積，關系轉化構形

該球是正棱錐的外接球，因此可以依托正三棱錐的特性來分析兩者的體積關系，已知△ABC是邊長為2的正三角形，則底邊中線CF= ，又因∠CEF=90°，由勾股定理可得CF2=EF2+CE2. 在△APC和△EPC中使用余弦定理，可求得PA=PC= ，所以PA⊥PC，同理可推得PA⊥PB，PB⊥PC，因此分析可得三棱錐P-ABC的體積是外接球O的內(nèi)接正方體體積的一半，因此可通過求內(nèi)接正方體的邊長來轉化求外接球的半徑.

解：設正三棱錐的棱長PA=PB=PC=b，由中線性質可得EF= PB= . ∠CEF=90°，由勾股定理可得CE= . 在△PEC中使用余弦定理可得cos∠EPC= - ，在△PAC中使用余弦定理可得cos∠APC=1- . 由∠EPC=∠APC可得 - =1- ，解得b= ，則∠APC=90°，2R= ，所以R= ，由球的體積公式V= πR3可得球O的體積為 π.

評析：上述在求解時采用了體積分析、半徑轉化的思路. 首先由三棱錐的特性入手，確定了外接球與內(nèi)接正方體的體積關系，進而獲得了半徑與邊長之間的長度關系. 解析過程是形象思維與邏輯推理的有效融合.

方法三：先猜后證入題，關系轉化破題

題干給出了三棱錐為正三棱錐，且PA=PB=PC，因此可猜想P，A，B，C四點是球O內(nèi)接正方體相鄰的四個頂點，因此可以由內(nèi)接正方體邊長與外接球半徑關系來求解，則只需要證明PA，PB，PC兩兩垂直即可.

解：取AC的中點為D，然后連接PD，BD，則PD⊥AC，BD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，則PB⊥AC. 又因為∠CEF=90°，所以EF⊥EC. 點E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，所以EF∥PB，則有PB⊥EC. 而EC，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，所以PB⊥平面PAC，則有PB⊥PA，PB⊥PC，同理可證PC⊥PA. 因此可由內(nèi)接正方體與外接球的關系獲得半徑長，即2R= ，可得R= . 由球的體積公式V= πR3可得球O的體積為 π.

評析：上述在求外接球的半徑時采用“猜想—證明”的方式，即猜想正三棱錐的四個頂點位于內(nèi)接正方形上，通過證明線段的兩兩垂直證明了結論. 該方法的優(yōu)勢是摒棄了繁復的計算過程，從幾何證明角度入手進行推理，但對解析思維具有較高的要求，推理過程需嚴密、有序.

關于考題的空間拆解

考題要求三棱錐的外接球體積，因此需要關注三棱錐在球O的空間位置，同時利用三棱錐的相關特性構建相應的數(shù)量關系，下面對三棱錐進行空間拆解.

拆解1：關注球心O的位置

從三棱錐擺放的空間位置來看，可將其視為是以△ABC為底面，以點P為頂點. 由于△ABC為正三角形，結合正棱錐的特性可得點P在底面上的投影就為△ABC的中心O1. 要確保三棱錐外接于球O，則頂點P，A，B，C四點到球心的距離需相等. 從平面角度考慮，則球心O在底面△ABC上的投影與△ABC的中心點O 重合，也就是其外心. 而從空間角度考慮，該點應位于過外心O1且垂直于底面△ABC的直線上.

拆解2：關于平面條件的建立

求球O的體積實際上就是求其半徑，因此需要在平面內(nèi)構建相應的等量關系，包括求三棱錐的棱長和底面各點、頂點到△ABC中心的距離兩部分. 前者可以依托中線性質、余弦定理，后者則可以由正三角形的特性直接獲得.

解后反思，教學思考

本考題是高中常見的立體幾何體積問題，其特殊之處在于所求球的體積是正三棱錐的外接球，因此在突破求解時采用了不同的策略，構建了不同的思路. 同時其解法思路具有一定的代表性，具有一定的參考價值，下面對其深入總結反思.

1. 把握圖形特性，明確突破目標

立體幾何問題通常會涉及線段、面積、周長等內(nèi)容，但在實際分析時均需要將其定位到核心線段長上，然后通過剖析圖形的幾何特性，結合相應的定理、公式來構建思路，因此問題突破時需要整體把握特性，明確突破目標. 以上述考題為例，無論采用何種思路，均需要將問題定位到求球的半徑長上，然后由正三棱錐、正三角形、直角三角形特性來構建線段關系. 另外，在把握幾何特性時應關注定點、定線、定面在空間內(nèi)的位置，構建合理的模型.

2. 培養(yǎng)空間觀念，樹立模型意識

解決立體幾何問題一般按照“幾何解讀→模型構建→平面轉化”的策略進行，即首先根據(jù)題干條件讀懂圖形，然后結合問題來提煉模型，最后轉化為平面問題來拆解分析. 在該過程中需要學生具備較強的空間幾何觀，能夠合理地對圖形進行拆分重組. 以上述考題為例，不僅需要把握正三棱錐的特性，還要對映射圖像有著一定的認識，能夠完成“空間”與“平面”之間的任意切換. 在實際教學中需要教師關注線線、面面、線面關系的講解，從基本的定理入手幫助學生培養(yǎng)模型意識. ?？嫉膸缀螆D形較多，教學中可以用幾何元素作為研究基礎，引導學生從元素角度來看待問題，通過以“點”破“面”，由“面”窺“體”的方式完成空間觀念培養(yǎng).

3. 重視數(shù)形結合，發(fā)展數(shù)學思想

數(shù)形結合方法在函數(shù)中有著廣泛的應用，同樣適用于立體幾何問題，尤其是求值類幾何問題可以采用數(shù)形結合的方法. 以上述考題的方法為例，首先結合題干信息來識別圖形，然后通過對圖形的拆解重組轉化為相應的平面問題，從而輔助后續(xù)的計算分析，即以“數(shù)”輔“形”，由“形”助“數(shù)”. 實際上，數(shù)形結合不僅是一種常用的方法策略，同樣也是一種重要的數(shù)學思想，該思想的核心是“數(shù)”與“形”的互助. 在教學立體幾何問題時，需要教師逐步滲透數(shù)形結合思想，結合具體內(nèi)容使學生體會該思想的應用價值，深入感受運用數(shù)學思想解析問題的本質內(nèi)涵，逐步提升學生的思想水平.

寫在最后

求解立體幾何問題，需要剖析問題本質，明確突破目標，充分利用圖形特性來構建模型. 考慮到問題的切入點不同，其解題思路也具有一定的差異，在學習時需要學生牢固理論知識，熟識模型構造、條件轉化等基本方法，培養(yǎng)良好的空間觀念，以“不變應萬變”來突破考題.