王康康

一、序言

泊松過程是經(jīng)濟(jì)生活中非常重要的分布形式。例如，在公交車站固定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的乘客數(shù)量也近似地服從泊松過程。此外，泊松過程也存在于大量服務(wù)系統(tǒng)中，因此泊松分布在運(yùn)籌學(xué)和管理科學(xué)中起著重要作用。如物料訂單的規(guī)劃，道路交通信號燈的設(shè)計(jì)，生產(chǎn)計(jì)劃的安排，出貨時(shí)間表的安排等等都需要用到泊松過程。同時(shí)，在物理學(xué)中，熱電子的發(fā)射、顯微鏡下落在某區(qū)域中的血球或微生物的數(shù)目等也都近似于泊松過程。在工業(yè)生產(chǎn)中，每米布的疵點(diǎn)數(shù)、紡織機(jī)上每小時(shí)的斷頭數(shù)、每件鋼鐵鑄件的缺陷數(shù)等也近似地服從泊松過程。

另外，天空中一定時(shí)間內(nèi)流星的數(shù)量，溶液中微生物的濃度等都服從泊松過程。因此，可以看出泊松過程是具有廣泛應(yīng)用范圍的基本且重要的過程。下面將主要舉出在國民經(jīng)濟(jì)中的一些泊松過程的例子。

二、泊松過程在商場管理中的應(yīng)用

例1：商店每天營業(yè)12個小時(shí),前三個小時(shí)到達(dá)的顧客平均為10人/小時(shí),

最后三個小時(shí)到達(dá)的顧客平均為15人/小時(shí),中間6個小時(shí)到達(dá)的顧客20人/小時(shí).求某天接待顧客少于100人的概率。

解：設(shè)顧客流N(t)為非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù)

例2：某商店每天八點(diǎn)開始營業(yè)，從八點(diǎn)到十一點(diǎn)平均顧客到達(dá)率成線性增長，顧客平均到達(dá)率在八點(diǎn)的時(shí)候?yàn)槊啃r(shí)5人,顧客到達(dá)率在十一點(diǎn)的時(shí)候最大為每小時(shí)20人。從十一點(diǎn)至下午一點(diǎn)，平均顧客到達(dá)率保持不變，是每小時(shí)20人，從下午一點(diǎn)至五點(diǎn)，顧客到達(dá)率線性下降，到下午五點(diǎn)顧客到達(dá)率變成每小時(shí)12人。如果到達(dá)商店的顧客數(shù)在不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)是相互獨(dú)立的，那么在八點(diǎn)半到九點(diǎn)半之間沒有顧客到達(dá)商店的概率為多少，在這一時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)商店的數(shù)學(xué)期望為多少?

解：將時(shí)間從八點(diǎn)至下午五點(diǎn)平移為零點(diǎn)到九點(diǎn)，那么得顧客到達(dá)率為：

由題意，顧客的變化可用非齊次泊松過程描述。因此有：

在十二點(diǎn)半到一點(diǎn)半沒有顧客到達(dá)商店的概率：

所以顧客在這一時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)商店的數(shù)量的數(shù)學(xué)期望：

三、泊松過程在人壽保險(xiǎn)問題中的應(yīng)用

設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間(0,t]內(nèi)持有保險(xiǎn)單且已死亡的人數(shù)，由于更新計(jì)數(shù)過程服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布，故隨機(jī)過程為齊次泊松過程。同時(shí)，若保險(xiǎn)公司在時(shí)間間隔(]0,t內(nèi)，對所有持有保險(xiǎn)單且已死亡人員支付的總金額為而第k個持有保險(xiǎn)單人員，在時(shí)刻死亡時(shí)，向保險(xiǎn)公司索賠的所有保險(xiǎn)金為顯然是隨機(jī)序列，且有以下關(guān)系式成立:

綜上所述，人壽保險(xiǎn)過程

{W(t),t≥0}屬于復(fù)合泊松過程的范疇。

可由上面的結(jié)論，計(jì)算出W(t)的數(shù)字特征。

1、W(t)的特征函數(shù)

說明保險(xiǎn)公司支付的總金額W(t)的特征函數(shù)與每一個持有保險(xiǎn)單人員死亡時(shí)所索取的所有保險(xiǎn)金金額ξ的特征函數(shù)有關(guān)。

2、W(t)的數(shù)學(xué)期望E{W(t)}=λtE(ξ)

說明{W(t),t≥0}是非穩(wěn)恒過程，其均值E{W(t)}隨時(shí)間t而隨機(jī)變化，有一定的風(fēng)險(xiǎn)性。E{W(t)}與tE(ξ)成正比，比例常數(shù)為泊松流強(qiáng)度λ。

(3)W(t)的方差Var{W(t)}=λtE(ξ2)

說明Var{W(t)}與tE(ξ2)成正比，比例常數(shù)為泊松流強(qiáng)度λ。Var{W(t)}顯示了隨機(jī)變量W(t)在人壽保險(xiǎn)過程中的一切可能之值在其均值E{W(t)}周圍的分散程度，E(ξ2)越大，t越長，則W(t)也越分散，Var{W(t)}之值越小越好，否則在(0,t]這一漫長的時(shí)間間隔內(nèi)，保險(xiǎn)公司所賠付的保險(xiǎn)金總金額W(t),變化起伏較大，不便對其進(jìn)行宏觀調(diào)控，所以我們一般把所歷時(shí)間取成三年或五年為一次單位進(jìn)行結(jié)算。而ξ概率密度分布函數(shù)fξ(s)可用負(fù)指數(shù)分布模擬。

復(fù)合泊松過程還具有泊松分布的可加性。在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的一些較好的結(jié)論，如破產(chǎn)概率的漸進(jìn)性、上界、破產(chǎn)瞬間盈余分布等由于索賠過程的復(fù)雜性很難在新的模型中得到類似證明。這樣可以把兩個泊松過程描述的索賠過程化簡為一個復(fù)合泊松過程描述的索賠過程。

故對于復(fù)合泊松過程來說，在λ較大時(shí)，我們可以用正態(tài)過程近似，同時(shí)也就可以運(yùn)用正態(tài)過程的一些特性，從而更好的解決問題。

例3：設(shè)保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)服從強(qiáng)度為λ=5次/月的泊松過程，每次理賠數(shù)均服從[2000,10000]（單位：元）上的均勻分布，則一年中保險(xiǎn)公司平均賠付總額是多少？