王康康

一、序言

泊松過程是經濟生活中非常重要的分布形式。例如，在公交車站固定時間內到達的乘客數量也近似地服從泊松過程。此外，泊松過程也存在于大量服務系統(tǒng)中，因此泊松分布在運籌學和管理科學中起著重要作用。如物料訂單的規(guī)劃，道路交通信號燈的設計，生產計劃的安排，出貨時間表的安排等等都需要用到泊松過程。同時，在物理學中，熱電子的發(fā)射、顯微鏡下落在某區(qū)域中的血球或微生物的數目等也都近似于泊松過程。在工業(yè)生產中，每米布的疵點數、紡織機上每小時的斷頭數、每件鋼鐵鑄件的缺陷數等也近似地服從泊松過程。

另外，天空中一定時間內流星的數量，溶液中微生物的濃度等都服從泊松過程。因此，可以看出泊松過程是具有廣泛應用范圍的基本且重要的過程。下面將主要舉出在國民經濟中的一些泊松過程的例子。

二、泊松過程在商場管理中的應用

例1：商店每天營業(yè)12個小時,前三個小時到達的顧客平均為10人/小時,

最后三個小時到達的顧客平均為15人/小時,中間6個小時到達的顧客20人/小時.求某天接待顧客少于100人的概率。

解：設顧客流N(t)為非齊次泊松過程，強度函數

例2：某商店每天八點開始營業(yè)，從八點到十一點平均顧客到達率成線性增長，顧客平均到達率在八點的時候為每小時5人,顧客到達率在十一點的時候最大為每小時20人。從十一點至下午一點，平均顧客到達率保持不變，是每小時20人，從下午一點至五點，顧客到達率線性下降，到下午五點顧客到達率變成每小時12人。如果到達商店的顧客數在不相重疊的時間區(qū)間內是相互獨立的，那么在八點半到九點半之間沒有顧客到達商店的概率為多少，在這一時間區(qū)間內顧客到達商店的數學期望為多少?

解：將時間從八點至下午五點平移為零點到九點，那么得顧客到達率為：

由題意，顧客的變化可用非齊次泊松過程描述。因此有：

在十二點半到一點半沒有顧客到達商店的概率：

所以顧客在這一時間區(qū)間內到達商店的數量的數學期望：

三、泊松過程在人壽保險問題中的應用

設N(t)表示在時間區(qū)間(0,t]內持有保險單且已死亡的人數，由于更新計數過程服從參數為λ的負指數分布，故隨機過程為齊次泊松過程。同時，若保險公司在時間間隔(]0,t內，對所有持有保險單且已死亡人員支付的總金額為而第k個持有保險單人員，在時刻死亡時，向保險公司索賠的所有保險金為顯然是隨機序列，且有以下關系式成立:

綜上所述，人壽保險過程

{W(t),t≥0}屬于復合泊松過程的范疇。

可由上面的結論，計算出W(t)的數字特征。

1、W(t)的特征函數

說明保險公司支付的總金額W(t)的特征函數與每一個持有保險單人員死亡時所索取的所有保險金金額ξ的特征函數有關。

2、W(t)的數學期望E{W(t)}=λtE(ξ)

說明{W(t),t≥0}是非穩(wěn)恒過程，其均值E{W(t)}隨時間t而隨機變化，有一定的風險性。E{W(t)}與tE(ξ)成正比，比例常數為泊松流強度λ。

(3)W(t)的方差Var{W(t)}=λtE(ξ2)

說明Var{W(t)}與tE(ξ2)成正比，比例常數為泊松流強度λ。Var{W(t)}顯示了隨機變量W(t)在人壽保險過程中的一切可能之值在其均值E{W(t)}周圍的分散程度，E(ξ2)越大，t越長，則W(t)也越分散，Var{W(t)}之值越小越好，否則在(0,t]這一漫長的時間間隔內，保險公司所賠付的保險金總金額W(t),變化起伏較大，不便對其進行宏觀調控，所以我們一般把所歷時間取成三年或五年為一次單位進行結算。而ξ概率密度分布函數fξ(s)可用負指數分布模擬。

復合泊松過程還具有泊松分布的可加性。在經典風險模型中的一些較好的結論，如破產概率的漸進性、上界、破產瞬間盈余分布等由于索賠過程的復雜性很難在新的模型中得到類似證明。這樣可以把兩個泊松過程描述的索賠過程化簡為一個復合泊松過程描述的索賠過程。

故對于復合泊松過程來說，在λ較大時，我們可以用正態(tài)過程近似，同時也就可以運用正態(tài)過程的一些特性，從而更好的解決問題。

例3：設保險公司接到的索賠次數服從強度為λ=5次/月的泊松過程，每次理賠數均服從[2000,10000]（單位：元）上的均勻分布，則一年中保險公司平均賠付總額是多少？