劉廣華

(山東省濟(jì)南市平陰縣第一中學(xué) 250400)

一、整體代入

整體代入法在實(shí)際解題應(yīng)用中，大部分被運(yùn)用到代數(shù)解題中，通過(guò)將某些存在關(guān)聯(lián)的算式看作整體，將之變形，可以代入另外公式中，而將不確定的變量求解過(guò)程簡(jiǎn)化，進(jìn)一步減少解題的難度及過(guò)程，提升解題的準(zhǔn)確率.而這種解題思想，在實(shí)際運(yùn)用中，理解難度較低，因此，在很多代數(shù)式解題中，都得到了廣泛運(yùn)用.

例題1已知f(x)=ax3+bsinx+2，f(-1)=10，求f(1).

解(方法一)由f(-1)=10得f(-1)=a(-1)3+bsin(-1)+2=10，即，-[a×13+bsin1]+2=10.

∴[a×13+b·sin1]=-8,f(1)=a×13+b·sin1+2=-6.

在本題中，將a×13+b·sin1看作是一個(gè)整體，而代入f(1)中計(jì)算.

(方法二)令φ(x)=ax3+bsinx,則，f(x)=φ(x)+2.

由題意知φ(x)為奇函數(shù)，由f(-1)=10得f(-1)=φ(-1)+2=10.

∴φ(-1)=8,∴φ(1)=-8.f(1)=φ(1)+2=-8+2=-6.

在本題中，將φ(x)=ax3+bsinx看成整體，利用整體為奇函數(shù)解決問(wèn)題.

因此，整體代入法考查的是學(xué)生需要學(xué)會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，當(dāng)無(wú)法從已知條件中提取問(wèn)題中的未知量時(shí)，發(fā)現(xiàn)條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系，通過(guò)整體代入方式將問(wèn)題中的未知量用其他含有未知量的式子進(jìn)行代替，從而代入最終問(wèn)題實(shí)現(xiàn)消元進(jìn)行求解.老師進(jìn)行教學(xué)時(shí)，需要讓學(xué)生感受到方法運(yùn)用的優(yōu)勢(shì)，從課堂中培養(yǎng)學(xué)生觀察細(xì)節(jié)的能力，滲透整體思想，加深對(duì)題目的理解.

二、整體換元

整體換元法是整體思想中的重要組成部分，對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的多種題目類型的解答都具有重要的運(yùn)用價(jià)值.在運(yùn)用這種解題方法過(guò)程中，主要思想是通過(guò)分析，得到例題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)法則，設(shè)未知數(shù)代表其中一部分公式值，從而使整個(gè)題目轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單算式，更加有利于減少不必要的步驟，降低運(yùn)算難度，從而也降低了計(jì)算的出錯(cuò)率.

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.由Δ>0得m2<4+16k2①.

然后求得S△的最大值在t=1處取得.

因此，整體換元法的主要思想在于將其中的某個(gè)式子整體用變量替代，使問(wèn)題的解決過(guò)程更加簡(jiǎn)化，因此，這種解題思想的實(shí)質(zhì)是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，通過(guò)構(gòu)造元和設(shè)元的方式，實(shí)現(xiàn)式子之間的等量代換.通過(guò)代換，我們可以發(fā)現(xiàn)，原本將要面臨的問(wèn)題經(jīng)過(guò)一系列步驟，所要運(yùn)用的知識(shí)背景將會(huì)變得更加簡(jiǎn)潔、熟悉化、標(biāo)準(zhǔn)化，而這種改變正是進(jìn)行整體換元的直接目的.

三、整體補(bǔ)形

在高中數(shù)學(xué)中，大部分幾何圖形類題目由于不規(guī)則及其特殊性，從而使解題的難度提升，不能夠套用以往的解題方式.在這種情況下，如不能及時(shí)找到突破口，就會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題處理效率降低.而針對(duì)這類問(wèn)題，能夠通過(guò)添加輔助線等辦法，將復(fù)雜的圖形分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形或?qū)D形放入長(zhǎng)方體或正方體，從而利用長(zhǎng)方體或正方體的特性簡(jiǎn)化過(guò)程，降低整體難度.例如一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為1，2，3，求這個(gè)三棱錐的外接球的半徑.我們可以將兩兩垂直的棱看成長(zhǎng)方體的三條棱，由于長(zhǎng)方體都在一個(gè)球面上，所以三棱錐的頂點(diǎn)也在球面上，由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是三棱錐外接球的直徑

四、整體思考

整體思想不僅要求我們掌握以上幾種解題方式，也需要我們能夠從問(wèn)題的整體出發(fā)進(jìn)行思考，在以往整體解題法無(wú)法得到實(shí)際效果時(shí)，應(yīng)當(dāng)及時(shí)轉(zhuǎn)換思路.在高中數(shù)學(xué)階段，很多問(wèn)題往往由于給定的條件有限，我們很難從一、兩個(gè)條件中得到最終答案的有效解題方案，因此，在這種情況下，我們應(yīng)當(dāng)積極利用隱藏條件，嘗試將其轉(zhuǎn)化為熟悉的解題套路.如，很多三角函數(shù)問(wèn)題中，往往需要通過(guò)函數(shù)變形進(jìn)行突破.

綜上所述，我們?cè)诶谜w思想解決問(wèn)題時(shí)，我們可以利用整體代入、整體換元、整體補(bǔ)形等多種方法，使用處理一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)更加的簡(jiǎn)便，更能找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生解題過(guò)程中的整體思想的運(yùn)用是培養(yǎng)學(xué)生很重要的一個(gè)學(xué)科素養(yǎng).