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        圓錐曲線(xiàn)離心率的求解策略

        2019-11-25 04:00:28廖永福
        數(shù)理化解題研究 2019年31期
        關(guān)鍵詞:雙曲線(xiàn)數(shù)形計(jì)算能力

        廖永福

        (福建省廈門(mén)第二中學(xué) 361009)

        離心率是圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)重要性質(zhì),求圓錐曲線(xiàn)的離心率是解析幾何中的重要題型,也是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn).下表給出了近5年全國(guó)卷考查離心率的情況,其中文5表示文科數(shù)學(xué)第5題.本人對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行了認(rèn)真的分析、歸納和整理,總結(jié)出求圓錐曲線(xiàn)離心率的幾種有效策略,闡述如下,希望對(duì)廣大師生有所幫助.

        20152016201720182019卷Ⅰ文5理15文4文10理16卷Ⅱ理11理11理9文11理12文12理11卷Ⅲ文12理11文11理10理11

        分析由已知c=2,求出a,就可以求出橢圓的離心率.

        點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

        例2(2018·新課標(biāo)Ⅱ文11)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為( ).

        分析設(shè)橢圓的焦距為2c,利用已知條件求出|PF1|和|PF2|,根據(jù)橢圓的定義列出關(guān)于a、c的方程,即可求出橢圓的離心率.

        圖1

        點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

        圖2

        分析根據(jù)題意求出直線(xiàn)AP的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo),再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線(xiàn)AP的方程,得到關(guān)于a、c的方程,即可求出橢圓的離心率.

        點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓的性質(zhì),直線(xiàn)方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

        圖3

        分析畫(huà)圖,根據(jù)圖形特征找出相等關(guān)系,列出關(guān)于a、c的方程,即可求出橢圓的離心率.

        解答如圖,連結(jié)OP、PF、FQ、QO,由題意知PQ和OF互相垂直、平分且相等.

        點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)和平面幾何的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.

        分析同例3.

        點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓和平面幾何的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.

        點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.

        圖5

        點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的定義及離心率的求解,關(guān)鍵是找出幾何量之間的關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

        例8(2015·新課標(biāo)Ⅱ理11)已知A,B為雙曲線(xiàn)E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,頂角為120°,則E的離心率為( ).

        點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì),主要考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法,運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

        分析利用已知條件,通過(guò)點(diǎn)A到漸近線(xiàn)的距離的兩種不同表示式,列出關(guān)于a、b的方程,即可求出雙曲線(xiàn)的離心率.

        點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

        解答畫(huà)出圖形,由已知可得線(xiàn)段OA是△BF1F2的中位線(xiàn),∴OA∥F2B.

        點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)和平面幾何的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合的思想方法和計(jì)算能力,是中檔題.

        分析設(shè)出橢圓的方程,求出直線(xiàn)的方程,利用已知條件列出關(guān)于b、c的方程,即可求解橢圓的離心率.

        點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,橢圓的離心率的求法和計(jì)算能力.

        四、列出關(guān)于a、b、c的方程,再結(jié)合a、b、c之間的平方關(guān)系,消去一個(gè)量,即可求出圓錐曲線(xiàn)的離心率.

        點(diǎn)評(píng)本題考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,余弦定理和離心率的求法,屬于中檔題.

        可以看出,求圓錐曲線(xiàn)離心率的關(guān)鍵在于尋找相等關(guān)系,列出關(guān)于a、b、c的方程.常用的途徑有:①借助已知的相等關(guān)系,如例1、例6和例11;②利用圓錐曲線(xiàn)的定義,如例2和例7;③根據(jù)“若點(diǎn)在曲線(xiàn)上,則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線(xiàn)的方程”,如例3和例8;④利用正、余弦定理,如例12;⑤根據(jù)圖形的幾何性質(zhì),如例4、例5、例9和例10.

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