廖永福

(福建省廈門(mén)第二中學(xué) 361009)

離心率是圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)重要性質(zhì)，求圓錐曲線(xiàn)的離心率是解析幾何中的重要題型，也是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn).下表給出了近5年全國(guó)卷考查離心率的情況，其中文5表示文科數(shù)學(xué)第5題.本人對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行了認(rèn)真的分析、歸納和整理，總結(jié)出求圓錐曲線(xiàn)離心率的幾種有效策略，闡述如下，希望對(duì)廣大師生有所幫助.

20152016201720182019卷Ⅰ文5理15文4文10理16卷Ⅱ理11理11理9文11理12文12理11卷Ⅲ文12理11文11理10理11

分析由已知c=2，求出a，就可以求出橢圓的離心率．

點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．

例2(2018·新課標(biāo)Ⅱ文11)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為( ).

分析設(shè)橢圓的焦距為2c，利用已知條件求出|PF1|和|PF2|，根據(jù)橢圓的定義列出關(guān)于a、c的方程，即可求出橢圓的離心率．

圖1

點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．

圖2

分析根據(jù)題意求出直線(xiàn)AP的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線(xiàn)AP的方程，得到關(guān)于a、c的方程，即可求出橢圓的離心率．

點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓的性質(zhì)，直線(xiàn)方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

圖3

分析畫(huà)圖，根據(jù)圖形特征找出相等關(guān)系，列出關(guān)于a、c的方程，即可求出橢圓的離心率．

解答如圖，連結(jié)OP、PF、FQ、QO，由題意知PQ和OF互相垂直、平分且相等.

點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)和平面幾何的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

分析同例3.

點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓和平面幾何的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

圖5

點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的定義及離心率的求解，關(guān)鍵是找出幾何量之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

例8(2015·新課標(biāo)Ⅱ理11)已知A，B為雙曲線(xiàn)E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為( ).

點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

分析利用已知條件，通過(guò)點(diǎn)A到漸近線(xiàn)的距離的兩種不同表示式，列出關(guān)于a、b的方程，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．

點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．

解答畫(huà)出圖形，由已知可得線(xiàn)段OA是△BF1F2的中位線(xiàn)，∴OA∥F2B.

點(diǎn)評(píng)本題考查雙曲線(xiàn)和平面幾何的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法和計(jì)算能力，是中檔題．

分析設(shè)出橢圓的方程，求出直線(xiàn)的方程，利用已知條件列出關(guān)于b、c的方程，即可求解橢圓的離心率．

點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，橢圓的離心率的求法和計(jì)算能力．

四、列出關(guān)于a、b、c的方程，再結(jié)合a、b、c之間的平方關(guān)系，消去一個(gè)量，即可求出圓錐曲線(xiàn)的離心率.

點(diǎn)評(píng)本題考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，余弦定理和離心率的求法，屬于中檔題．

可以看出，求圓錐曲線(xiàn)離心率的關(guān)鍵在于尋找相等關(guān)系，列出關(guān)于a、b、c的方程.常用的途徑有：①借助已知的相等關(guān)系，如例1、例6和例11；②利用圓錐曲線(xiàn)的定義，如例2和例7；③根據(jù)“若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線(xiàn)的方程”，如例3和例8；④利用正、余弦定理，如例12；⑤根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，如例4、例5、例9和例10.