周根旺
[摘 ? 要]立體幾何解答題是歷年高考必考的熱點(diǎn),對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是一大難點(diǎn),他們往往找不到解題的突破口.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是讀好題.讀題有明確的思維步驟,讀題時(shí)可按照“初讀[→]聯(lián)想讀題[→]結(jié)合問(wèn)題讀題[→]回顧”的步驟進(jìn)行.
[關(guān)鍵詞]立體幾何;讀題;解題
[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058(2019)26-0023-01
立體幾何抽象、邏輯性強(qiáng),學(xué)生覺(jué)得難學(xué)不易掌握.其解答題更是學(xué)生的一大難點(diǎn),學(xué)生往往找不到解題的突破口.對(duì)于立體幾何問(wèn)題,讀題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,讀題需要有明確的思維步驟.
第一步,初讀——數(shù)形結(jié)合.
閱讀時(shí)全局把握,將信息在圖中對(duì)應(yīng)勾畫(huà),把數(shù)與形結(jié)合起來(lái);明確題目中的面面、線面、線線之間的關(guān)系.重點(diǎn)留意圖形中的面面垂直、線面垂直、線線平行、線面平行等關(guān)系;挖掘幾何體中的隱含條件,弄清問(wèn)題的類型;對(duì)照?qǐng)D形將已知條件回顧一遍,避免解題時(shí)將條件漏掉,導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法解答.
第二步,聯(lián)想讀題——條件轉(zhuǎn)化.
認(rèn)真分析已知條件,展開(kāi)聯(lián)想,進(jìn)行推理,將每一個(gè)條件細(xì)化和衍生.其實(shí),就是對(duì)已知條件的再加工.有時(shí),需先研究清楚空間幾何體的某一個(gè)面.當(dāng)題中某一個(gè)面中關(guān)系較多時(shí),可將此面單獨(dú)畫(huà)出來(lái),以便于充分利用圖形提供的信息解決問(wèn)題.有時(shí),也可通過(guò)作截面將三維問(wèn)題二維化.有的問(wèn)題,條件是以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中,審題時(shí)要善于觀察圖形,挖掘圖形中所隱含的特殊關(guān)系.條件給出具體數(shù)據(jù)較多時(shí),可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算得出一些位置關(guān)系.
第三步,結(jié)合問(wèn)題讀題——尋找結(jié)論成立的充分條件.
從問(wèn)題本身出發(fā),聯(lián)想常規(guī)解決模式,思考問(wèn)題解決途徑,尋找所需要的條件.把握已知與未知間的聯(lián)系,并及時(shí)提取記憶中的有關(guān)信息,構(gòu)思解決方案.如果這些條件題目中沒(méi)有直接給出,可尋找與之接近的條件或結(jié)合第二步“聯(lián)想讀題”轉(zhuǎn)化所得的條件.通常,第二步中對(duì)某一平面的研究會(huì)發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的許多條件,應(yīng)加以重視.
第四步,回顧——查漏補(bǔ)缺.
解題后還需要回顧,觀察已知條件有沒(méi)有用到位、是否有疏漏,角度范圍是否合理,求解過(guò)程與求解結(jié)果是否統(tǒng)一,解答過(guò)程是否規(guī)范.
[例題](2016·天津卷)如圖1所示,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=[6],DE=3,∠BAD=60°,G為BC的中點(diǎn).
(1)求證:FG∥平面BED;
(2)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.
讀題第二步:
①[四邊形ABCD是平行四邊形?]AB[∥]CD,BC[∥]AD;
②EF∥AB [?] EF∥面ABCD,EF∥CD;
[③ ? ? ? ? ? AB=2BC=AD=1∠BAD=60°?BD⊥AD ? ? ? ? ? ? ? 面AED⊥面ABCD][?BD⊥面AED?面BDE⊥面ADE;]
④由“G為BC的中點(diǎn)”通常會(huì)聯(lián)想到“三線合一”“中位線”“直角三角形中線性質(zhì)”.
讀題第三步:
(1)求證FG∥平面BED聯(lián)想常用方法:
①線面平行的判定,線線平行(在面BED中找一線與FG平行),通常尋找中位線或構(gòu)造平行四邊形.
②面面平行的性質(zhì)定理,[過(guò)FG的一個(gè)平面]∥面BEG.
③定義,線面無(wú)交點(diǎn)(反證法).
本題在面BED中尋找與線BD平行的線,根據(jù)前面的分析,取BD的 中點(diǎn)為O,抓住中位線.當(dāng)然,有時(shí)也可讓學(xué)生直觀觀察線的大體位置,形成直觀感覺(jué),再到線,然后加以證明.OG∥DC且OG=DC=1.又因?yàn)镋F∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FG∥OE.
(2) 求直線EF與平面BED所成角的正弦值常用方法:
①作線面角:作(找)面的垂線,找斜線的射影,斜線與射影所成角即線面角.
②線面角不好作時(shí),可計(jì)算斜線上一點(diǎn)到面的距離(即垂線段長(zhǎng)度),通??捎玫润w積法、對(duì)稱點(diǎn)法或平行線轉(zhuǎn)化法.垂線段的長(zhǎng)除以斜線段的長(zhǎng)即為線面角的正弦值.
③平行線轉(zhuǎn)化,兩條平行線與同一平面所成角相等.本題EF∥AB,所以直線EF與平面BED所成的角,即為直線AB與平面BED所成的角.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H,連接BH.又平面BED ∩平面AED =ED,由(2)知平面BED⊥平面AED,所以AH⊥平面BED,所以直線AB與平面BED所成的角即為∠ABH.
通過(guò)以上讀題,問(wèn)題基本得到解決,部分學(xué)生如果在解題過(guò)程中被卡住,建議再次審題,從已知條件出發(fā)檢查是否有信息漏掉.
(責(zé)任編輯 黃春香)