高桂英 劉怡娣

微積分學(xué)中兩個(gè)非常重要的概念——導(dǎo)數(shù)和微分，二者之間有區(qū)別，也有聯(lián)系。初學(xué)者在導(dǎo)數(shù)和微分計(jì)算方面掌握的很好，但是導(dǎo)數(shù)和微分兩個(gè)概念的內(nèi)涵方面往往引起混淆，下面從幾個(gè)方面談?wù)勥@兩個(gè)概念。

1 導(dǎo)數(shù)與微分的歷史淵源

眾所周知，牛頓和萊布尼茲兩個(gè)人在不同領(lǐng)域里從不同的角度創(chuàng)立了微積分思想。微積分是一種數(shù)學(xué)思想，簡(jiǎn)單的表述：微分是‘無(wú)限細(xì)分，積分是‘無(wú)限求和。而這里無(wú)限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)。我國(guó)古代就已經(jīng)有了微分和積分的思想的萌芽?！肚f子》的“天下篇”中，把這種無(wú)限的思想表述為“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。從中也可以看出中國(guó)古代文化的精髓。但微積分思想的逐漸建立還要從17世紀(jì)開(kāi)始，由于生產(chǎn)實(shí)際的需求，數(shù)學(xué)的研究由常量進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，微積分不斷完善成為一門(mén)學(xué)科，世界各地?cái)?shù)學(xué)家付出了很多的努力，在這眾多的數(shù)學(xué)家中貢獻(xiàn)尤其突出的還是牛頓和萊布尼茲。

牛頓和萊布尼茲兩大家從不同的角度創(chuàng)立了微積分思想.牛頓側(cè)重從物理學(xué)的角度研究微積分的，在解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題過(guò)程中，創(chuàng)立了“流數(shù)術(shù)”的理論，即借助數(shù)學(xué)理論解決物理概念，實(shí)際上就是微積分理論?！傲鲾?shù)術(shù)”最先提出是在牛頓1665年5月20目的一份手稿中提到，因而這一天被數(shù)學(xué)家們看作誕生微積分具有標(biāo)志性的一天。而德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲采取了與牛頓不同的途徑與方法，他著手于研究面積問(wèn)題，即曲線的切線和曲線所圍成的圖形的面積，使用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念，進(jìn)而得出運(yùn)算法則的。在微積分的應(yīng)用上牛頓結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，比萊布尼茲造詣高一籌，但是萊布尼茲采用數(shù)學(xué)符號(hào)表示微積分卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，這些符號(hào)的使用既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確，更好的揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，對(duì)高等數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了強(qiáng)有力地促進(jìn)作用，可以說(shuō)萊布尼茲創(chuàng)造的微積分符號(hào)，正像阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，對(duì)微積分學(xué)的發(fā)展也起到了促進(jìn)作用，萊布尼茲是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一。

牛頓和萊布尼茲在探討問(wèn)題的過(guò)程中，都遇到了無(wú)窮小量導(dǎo)致的麻煩，直到19世紀(jì)用語(yǔ)言量化了極限的概念之后，無(wú)窮小量在探討微積分思想過(guò)程中產(chǎn)生的麻煩才得到解決.為此數(shù)學(xué)家們把在極限概念量化之前的微積分?jǐn)?shù)學(xué)史上稱為古典微積分，而我們現(xiàn)在普遍使用的微積分是用極限理論加以定義的古典微積分是先定義微分再有的導(dǎo)數(shù)，先定義導(dǎo)數(shù)再有的微分卻是極限微積分的定義過(guò)程。

盡管兩個(gè)偉人在不同領(lǐng)域用不同的方法創(chuàng)立了微積分思想，但是牛頓提出這一思想比萊布尼茲早，而萊布尼茲發(fā)表自己的成果要比牛頓在先.在當(dāng)時(shí)信息不是很發(fā)達(dá)的社會(huì)條件下，兩個(gè)偉大的數(shù)學(xué)大家為誰(shuí)是微積分思想的真正創(chuàng)立者，進(jìn)行了長(zhǎng)達(dá)十年之間的知識(shí)產(chǎn)權(quán)之爭(zhēng)。但導(dǎo)數(shù)和微分，二者在本質(zhì)上是一樣的，僅僅表示形式不同，而微積分體系的另一個(gè)方面---積分，是導(dǎo)數(shù)（也是微分）的逆運(yùn)算。

2 導(dǎo)數(shù)與微分的之間的區(qū)別

古典微積分是先定義微分，在此基礎(chǔ)上再定義的導(dǎo)數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)也叫做微商。而相反，極限微積分卻是先定義導(dǎo)數(shù)，借此基礎(chǔ)上再定義的微分，導(dǎo)數(shù)的概念用極限重新嚴(yán)格定義后，導(dǎo)數(shù)因此就脫離了微商的概念，這時(shí)，導(dǎo)數(shù)被當(dāng)成一個(gè)整體看待，導(dǎo)數(shù)和微分是兩個(gè)不同的概念，二者研究問(wèn)題的側(cè)重點(diǎn)也不同，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的變化率問(wèn)題，微分是研究函數(shù)的改變量的問(wèn)題。

2.1 定義形式不同

導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)在某一點(diǎn)變化快慢的程度，即變化率;而微分則主要是表示函數(shù)在某一點(diǎn)的增量（也叫改變量）的近似程度.

2.2 應(yīng)用不同

函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示它在該點(diǎn)的變化率，在不同學(xué)科中變化率問(wèn)題廣泛存在，所以凡是涉及到研究變化率的問(wèn)題都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示，幾何上常用的就是上面提到的曲線的切線斜率問(wèn)題，在物理學(xué)中也同樣有著廣泛的應(yīng)用，簡(jiǎn)單地講位移對(duì)時(shí)間的變化率是速度，速度對(duì)時(shí)間的變化率是加速度，旋轉(zhuǎn)的角度對(duì)時(shí)間的變化率是角速度等等問(wèn)題，都可以用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)表示.而微分通常用來(lái)進(jìn)行近似計(jì)算。

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3 導(dǎo)數(shù)與微分二者的一致性

再者，微分為改變量的主要線性部分 ，更適宜多元函數(shù)情形的研究，大家都知道，一元函數(shù)可導(dǎo)和可微是等價(jià)的。但是對(duì)于多元函數(shù)而言，可導(dǎo)卻是很狹隘的概念，而可微則是深刻的概念，多元函數(shù)二者不等價(jià)。從一元函數(shù)可微向多元函數(shù)可微概念延續(xù)，還是用無(wú)窮小定義為妥.微分概念的引進(jìn)，有，這樣就把本為一體的導(dǎo)數(shù)記號(hào)，可分解成函數(shù)微分與自變量微分之比，這雖說(shuō)具有一定的形式色彩，但這樣的理解無(wú)疑給導(dǎo)數(shù)的某些運(yùn)算帶來(lái)了方便。

從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)看，有了微分的概念，它就可以改寫(xiě)成，此即無(wú)論是自變量還是中間變量，總是成立的，這就是一階微分形式的不變性。

總之，不管從歷史的發(fā)展淵源還是精確的導(dǎo)數(shù)和微分的定義來(lái)看，導(dǎo)數(shù)和微分之間都存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，二者密不可分。

（作者單位：大連理工大學(xué)城市學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部）